Sânii metric

Metrica Tits este o metrică de un anumit tip pe absolutul spațiului Hadamard . Numit după Jacques Tits .

Clădire

Să fie spațiul Hadamard. Notează prin absolutul său, adică setul de raze emanate dintr-un punct . $X$ $\partial _{\infty}X$ $p$

Pentru două raze și din , unghiul este definit ca limita unghiului de comparație într-un triunghi la , adică unghiul dintr-un triunghi plat cu aceleași laturi ca y la vârful corespunzătoare . $\alfa$ $\beta$ $\partial _{\infty}X$ $\measuredangle _{\infty}(\alpha,\beta)$ $[p\,\alpha (t)\,\beta (t)]$ $t\la \infty$ $[p\,\alpha (t)\,\beta (t)]$ $p$

Unghiul definește o așa-numită metrică unghiulară pe , cu valori în intervalul . $\measuredangle _{\infty )$ $\partial _{\infty}X$ $[0,\pi ]$

Metrica intrinsecă asociată cu se numește metrica Tits; ia valori în intervalul . $\measuredangle _{\infty )$ $[0,\infty ]$

Note

Metrica Tietz coincide cu metrica unghiulară pe perechi de puncte cu o distanță mai mică de $\pi$
Metrica nu depinde de alegerea punctului . $p$
Absolutul poate fi definit și ca factorul de spațiu al tuturor razelor în paralelism , adică relația de echivalență pe raze definită ca și cum distanțele ar fi mărginite la toate valorile lui . $\partial _{\infty}X$ $X$ $\alpha \parallel \beta$ $|\alpha (t)-\beta (t)|_{X)$ $t$

Exemple

Pentru un spațiu euclidian , o abolire cu metrica Tits este izometrică față de sfera unității.
Pentru spațiul Lobachevsky, metrica Tits este discretă, distanțele dintre orice puncte diferite sunt . $\infty$

Proprietăți

Un absolut cu o metrică Tits este un spațiu CAT(1) . $\partial _{\infty}X$
Produsul absolut a două spații Hadamard cu metrica Tits este izometric față de îmbinarea sferică a absolutelor corespunzătoare cu metrica Tits. $\partial _{\infty}(X\time Y)$ $(\partial _{\infty}X)\star (\partial _{\infty}Y)$