Plan proiectiv complex

Planul proiectiv complex este un spațiu proiectiv complex bidimensional ; este o varietate complexă bidimensională , dimensiunea sa reală este 4.

De obicei notat . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2)$

Clădire

Punctele din planul proiectiv complex și sunt descrise prin coordonate complexe omogene

(z_{1},z_{2},z_{3})\in \mathbb {C} ^{3},\qquad (z_{1},z_{2},z_{3})\ neq(0,0,0).

În acest caz, triplele care diferă printr-un scalar sunt considerate identice:

(z_{1},z_{2},z_{3})\equiv (\lambda z_{1},\lambda z_{2},\lambda z_{3});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.

Topologie

$\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2)$ este homeomorf la coeficientul celor 5 sfere prin acțiunea Hopf . $\mathbb {S} ^{5}\subset \mathbb {C} ^{3)$ ${\mathbb S}^{1}$

Numerele Betty : 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

$\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2)$ este pur și simplu conectat , grupul său fundamental este trivial.
Grupurile de homotopie netriviale ale planului proiectiv complex sunt $\pi _{2}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\pi _{5}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {Z}$ .

în dimensiuni mai mari, grupurile de homotopie sunt aceleași cu cele ale 5-sferei.

Geometrie algebrică

În geometria birațională, o suprafață rațională complexă este orice suprafață algebrică care este echivalentă birațional cu planul proiectiv complex. Se știe că orice varietate rațională nesingulară se obține din plan ca urmare a unei succesiuni de transformări explozive și a curbelor lor inverse („contracții”), care trebuie să aibă o formă foarte specifică. Ca un caz special , suprafețele complexe de ordinul doi, nesingulare din P 3 sunt obținute din plan prin suflarea a două puncte în curbe și apoi contractarea unei linii drepte prin aceste două puncte. Transformările inverse pot fi observate dacă luăm un punct P pe o suprafață Q de ordinul doi, îl umflam și îl proiectăm pe un plan obișnuit în P 3 prin trasarea unor drepte prin P .

Grupul automorfismelor biraționale ale planului proiectiv complex este grupul Cremona .

Geometrie diferențială

Planul proiectiv complex este o varietate cu 4 dimensiuni. Are o metrică naturală, așa-numita metrică Fubini -Study, cu curbură în secțiune cu 1/4 pini ; adică curbura sa maximă în secțiune este 4 și minimă este 1. Această metrică este inițiată pe factor de acțiunea Hopf pe . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {S} ^{5}/\mathbb {S} ^{1)$ ${\mathbb S}^{1}$ $\mathbb {S} ^{5}$

Vezi și

Note

Literatură

P.S. Alexandrov. Curs de Geometrie Analitică din Algebră Liniară. - M . : „Nauka”, Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1979. - P. 598.
CE Springer. Geometria și analiza spațiilor proiective. - W. H. Freeman and Company , 1964. - S. 140-3.
M. Gromov. Semnul și semnificația geometrică a curburii. - Izhevsk: Centrul de cercetare „Dinamica regulată și haotică”, 1999. - ISBN 5-93972-020-X .
Weisstein, Eric W. Complex Projective Plane (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .