Set de sume trigonometrice mari

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 mai 2019; verificările necesită 6 modificări .

Mulțimea sumelor mari trigonometrice este o noțiune de teorie a numerelor - o mulțime de indici în care transformata Fourier a funcției caracteristice a unui anumit submulțime a unui grup ia valori suficient de mari.

Pentru comoditatea prezentării, abrevierea MBTS este folosită în continuare în articol, deși nu este în general acceptată.

Condiții preliminare pentru învățare

În metoda clasică a sumelor trigonometrice, este adesea necesar să se estimeze de sus valoarea modulului sumei pentru o anumită submulțime a grupului ciclic. Dacă această sumă are un modul mic pentru toate , atunci din aceasta putem trage concluzii despre uniformitatea distribuției între segmente continue de reziduuri modulo . Acest lucru se dovedește a fi adevărat, de exemplu, pentru mulțimea de resturi pătratice [1] (și resturile de putere în general [2] ), logaritmi discreti de numere succesive [3] , sau (pentru simple ) expresii de forma , unde este elementul invers față de înmulțire ( suma Kloosterman ) [4 ] . $\sum \limits _{x\in X}{e^{\frac {ax}{n}})$ $X\subset {\mathbb {Z} }_{n)$ $a\not \equiv 0{\pmod {n}}$ $X$ $n$ $n$ $a+a^{-1}$ $a^{{-1}}$ ${\mathbb {F} }_{n}$

Întrebarea se pune în mod firesc: dacă sumele luate în considerare nu au un modul mic pentru toate, atunci pentru câți poate acest modul să fie foarte mare și pentru ce seturi particulare de valori poate fi adevărat? De exemplu, este evident că dacă acest lucru este adevărat pentru , atunci și pentru , dar se pune întrebarea cu privire la existența altor astfel de legi generale care nu depind de natura mulțimii . $a\not \equiv 0{\pmod {n}}$ $A$ $A$ $A$ $-A$ $X$

Această problemă a găsit o atenție largă în combinatoria aditivă , ideea care este de a identifica modele în structura mulțimilor cu restricții minime asupra acestora, iar coeficienții Fourier sunt utilizați pe scară largă în aceasta.

Definiție

Regularitățile referitoare la MBTS sunt luate în considerare, de regulă, pe baza a doi parametri - dimensiunea setului principal și limita de-a lungul căreia sunt separate valorile sumelor trigonometrice. Uneori, pentru comoditate, granița sumelor trigonometrice nu este scrisă explicit, ci este parametrizată prin relația sa cu mărimea mulțimii (deoarece modulul sumei, evident, nu este niciodată mai mare decât dimensiunea mulțimii). Din această cauză, precum și din normalizarea diferită a coeficienților Fourier, expresiile din formulările de definiții și teoreme ale diferiților autori pot diferi, dar esența relațiilor studiate rămâne aceeași.

Fie un număr natural, , $N$ $A\subset {\mathbb {Z} }_{N)$ $|A|=\delta N$

Să notăm și coeficientul Fourier (nenormalizat) al funcției caracteristice . ${\widehat {A}}(\xi )=\sum \limits _{x\in A}{e^{2\pi {\frac {\xi x}{N}}i}}$ $\xi$ $A$

Apoi seturile de sume trigonometrice mari cu un parametru sunt definite (până la parametru ) ca $\alfa$

{\mathcal {R}}_{\alpha }={\mathcal {R}}_{\alpha }(A)=\left\lbrace {\xi :|{\widehat {A}}(\ xi )|\geq \alpha N}\right\rbrace

[5]

Unele metode de studiu

Aproximarea unei funcții printr-o mulțime

Pentru a construi exemple de mulțimi care au MBTS cu anumite proprietăți, adesea se construiesc funcții care au coeficienții Fourier corespunzători, iar apoi pe această bază se precizează existența mulțimilor ai căror coeficienți Fourier nu diferă mult de coeficienții acestor funcții [6] [7] [8] . Motivele pentru aceasta sunt date de următoarea lemă, a cărei demonstrație se întoarce la ideea generală liniar-algebrică și depășește domeniul de aplicare al științei MBTS.

Dacă , atunci există un set de dimensiuni astfel încât [9] $f:{\mathbb {Z} }_{N}\la [0;1]$ $S\subset {\mathbb {Z} }_{N)$ $\left\lfloor {\sum \limits _{x}{f(x)))\right\rfloor$ $\forall r\in {\mathbb {Z} }_{N}:|{\widehat {S}}(r)-{\widehat {f}}(r)|\leq 20{\sqrt { N}}$

Filtrarea coeficienților Fourier

Pentru a deriva afirmații generale despre MBTS-ul unor mulțimi, este convenabil să se utilizeze [10] [11] funcțiile formate din funcția indicator a mulțimii prin filtrarea coeficienților Fourier în raport cu acest MBTS, adică o astfel de funcție care $f$

{\widehat {f}}(\xi )={\begin{cases}{\widehat {1_{A}}}(\xi )&\xi \in {\mathcal {R}}_{\ alfa }(A)\\0&\xi \not \in {\mathcal {R}}_{\alpha }(A)\end{cases}}

Se pare că pentru astfel de funcții, cea mai mare parte a sumei valorilor este concentrată și în . $A$

Proprietăți

Dimensiune

Din egalitate este ușor de obținut. ce . $\sum \limits _{\xi }{|{\widehat {A}}(\xi )|^{2}}=|A|^{2}$ $|{\mathcal {R}}_{\alpha }|<{\frac {\delta }{\alpha ^{2)}}$

Pentru unele valori , această estimare este destul de precisă în ceea ce privește ordinea de creștere a . $\delta ,\alpha$

Un exemplu sunt reziduurile pătratice

Dacă este mulțimea de resturi patratice modulo , , atunci pentru , estimarea se transformă într-o inegalitate apropiată de . $Q_{p}\subset {\mathbb {Z} }_{p)$ $p$ $\delta ={\frac {p+1}{2p)),\ \alpha \aprox {\frac {1}{2{\sqrt {p}})}$ $|{\mathcal {R}}_{\alpha }(Q_{p})|=p$ $|{\mathcal {R}}_{\alpha }(Q_{p})|<2(p+1)$

Folosind o construcție a formei, această idee poate fi generalizată la MBTS cu o limită inferioară față de modul prin valoarea sumei. În același timp, se formează aceeași diferență între dimensiunea estimată și cea reală a MBTS. $\bigcup \limits _{s=0}^{k-1}{(sp+Q_{p})}\subset {\mathbb {Z} }_{kp)$

Un exemplu sunt numerele consecutive

În exemplul cu reziduuri pătratice, valoarea este aproape fixă. Pentru a găsi exemple cu o valoare arbitrară , este suficient să luăm în considerare mulțimea , unde . $\delta ={\frac {p+1}{2p}}\aprox {\frac {1}{2}}$ $\delta$ $A=\{1,2,\dots ,m\}\subset {\mathbb {Z} }_{N)$ $m\ll N$

Apoi (adică direcțiile vectorilor corespunzători sunt limitate de un unghi destul de îngust) și, prin urmare , astfel încât limita inferioară este adevărată . Mai mult, din moment ce , este chiar adevărat că $\forall \xi <{\frac {N}{4m}}\forall a\in A:\ \arg \left({e^{2\pi {\frac {\xi a}{N}} i}}\dreapta)<{\frac {\pi }{2}}$ $e^{2\pi {\frac {\xi a}{N}}i)$ $\forall \xi <{\frac {N}{4m)):|{\widehat {A}}(\xi )|\gg {\frac {m}{2}}$ $|{\mathcal {R}}_{\frac {m}{2N}}(A)|\geq \left\lfloor {\frac {N}{4m}}\right\rfloor$ $|{\widehat {A}}(\xi )|=|{\widehat {A}}(-\xi )|$ $|{\mathcal {R}}_{\frac {m}{2N}}(A)|\geq \left\lfloor {\frac {N}{2m}}\right\rfloor$

Cu toate acestea, pentru , estimarea superioară se transformă într-o inegalitate . $\delta ={\frac {m}{N)),\ \alpha ={\frac {m}{2N)}$ $|{\mathcal {R}}_{\alpha }(A)|\leq 4{\frac {N}{m}}$

Rezultă că estimarea superioară este, de asemenea, exactă până la înmulțirea cu o constantă. $\left\lfloor {\frac {N}{2m}}\right\rfloor \leq |{\mathcal {R}}_{\alpha }(A)|\leq 4{\frac {N}{ m}}$

Structura

Gradul de structurare a MBTS în diferite sensuri poate fi estimat destul de precis atunci când sunt suficient de mari. În cazul în care sunt mici, MBTS poate fi destul de arbitrar.

Energie aditivă

Pe de o parte, MBTS-urile permit o estimare mai mică pentru energia aditivă a oricăruia dintre subseturile lor.

Dacă , atunci [11] $B\subset {\mathcal {R}}_{\alpha }$ $T_{k}(B)\gg _{k}{\frac {\alpha ^{2k)} {\delta ^{2k-1)}}|B|^{2k)$

Scurtă descriere a ideii de probă

Este suficient să estimăm energia mulțimilor de formă într-un mod similar și să însumăm rezultatele peste valori $B'\subset {\mathcal {R}}_{\alpha }\setminus {\mathcal {R}}_{2\alpha }$ $\alpha ,2\alpha ,4\alpha ,\dots$

Funcția este utilizată pentru a estima energia . ai căror coeficienţi Fourier sunt coeficienţii filtraţi de . Deoarece, din considerente generale, valorile unei astfel de funcții sunt foarte saturate în , este suficient, folosind o serie de inegalități Hölder și operații cu convoluții, să se estimeze această saturație prin construcție și un anumit factor în funcție de (adică , pe ). Construcția , datorită scăderii din (adică datorită condiției de estimare de sus), este estimată de sus prin valoarea energiei aditive (cu un factor suplimentar). $B'$ $1_{A}$ $B'$ $A$ $\sum \limits _{u}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{r}({\widehat {f))(r){\overline {{\widehat {f)} (ro)}}}}{\Bigg \vert }}^{2}}$ $|A|$ $\delta$ $\sum \limits _{u}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{r}({\widehat {f))(r){\overline {{\widehat {f)} (ro)}}}}{\Bigg \vert }}^{2}}$ ${\mathcal {R}}_{2\alpha }$ $B'$ ${\widehat {f}}(\xi )$

Pe de altă parte, în unele condiții suplimentare (nu prea puternice) asupra parametrilor, există o mulțime pentru care și limita superioară este adevărată , de altfel [12] . Acest lucru sugerează că uneori MBTS poate fi încă destul de mare și nestructurat în același timp. $k,\alpha ,\delta$ $A$ $T_{k}({\mathcal {R}}_{\alpha })\ll _{k}{\frac {\delta }{\alpha ^{2k)}}$ $|{\mathcal {R}}_{\alpha }|\gg {\frac {\delta }{\alpha ^{2)}}$

Proiecta

Pentru construcție, se folosește setul , care are o proprietate de disociativitate special îmbunătățită. $\lambda$

Setul în sine este definit ca unirea deplasărilor diferitelor progresii aritmetice cu diferențe , iar deplasările sunt alese în acest fel. astfel încât fiecare nouă progresie adăugată la mulțime să aibă cât mai puțină intersecție cu mulțimea deja construită. $A$ $|\Lambda |$ $\lambda \in \Lambda$

MBTS-ul unui astfel de set conține unirea aceluiași număr de alte progresii aritmetice (ceea ce ne permite să vorbim despre dimensiunea sa mare) și în același timp este el însuși cuprins în unirea acelorași progresii aritmetice, doar mai extins în ambele direcții (și acest lucru ne permite să deducem din considerente combinatorii generale că energia sa aditivă nu este mare).

În cazul în care are dimensiunea maximă posibilă, aceste estimări (dacă prima este luată în considerare pentru ) coincid până la o constantă în funcție de . Adică, pentru o clasă destul de largă de valori ale parametrilor, există seturi a căror măsură de structurare MBTS este determinată aproape unic, iar MBTS-urile lor se dovedesc a fi cu cât mai nestructurate, cu atât conțin mai multe elemente (cu atât diferența dintre și ) este mai mare. ${\mathcal {R}}_{\alpha }$ $B={\mathcal {R}}_{\alpha }$ $k$ $\delta ,\alpha$ $\delta$ $\alfa$

Dimensiunea aditivului

O altă caracteristică studiată este dimensiunea aditivă a MBTS, adică dimensiunea setului disociativ maxim conținut în acesta . În plus, această valoare este notată ca . $\dim _{+}({\mathcal {R}}_{\alpha })$

Chang a demonstrat în 2002 că [13] [14] . Baza demonstrației a fost aplicarea inegalității lui Rudin la funcția formată din funcția indicator a mulțimii prin filtrarea coeficienților Fourier conform [10] . ${\displaystyle \dim _{+}({\mathcal {R}}_{\alpha })\ll {\left({\frac {\delta }{\alpha }}\right)}^{2}\ jurnal {\left({\frac {1}{\delta }}\right)))$ ${\mathcal {R}}_{\alpha }$

În același timp, Green a arătat în 2003 că în condițiile

$\delta \leq {\frac {1}{8)}$

$\alpha \leq {\frac {\delta {32)}$

${\left({\frac {\delta }{\alpha }}\right)}^{2}\log {\left({\frac {1}{\delta }}\right)}\leq {\frac {\log N}{\log \log N))$

există un set pentru care [15] [7] . $A$ ${\displaystyle \dim _{+}({\mathcal {R}}_{\alpha })\gg {\left({\frac {\delta }{\alpha }}\right)}^{2}\ jurnal {\left({\frac {1}{\delta }}\right)))$

Adică, atunci când se iau în considerare valori suficient de mari ale sumelor, dimensiunea aditivă a MBTS poate fi, de asemenea, estimată destul de precis.

Arbitrarul

Dacă MBTS este suficient de mic în comparație cu dimensiunea maximă posibilă, atunci estimarea globală pentru energia aditivă se dovedește a fi banală, adică nu ne permite să spunem nimic despre structura internă a setului.

Se pare că în acest caz nu se poate spune nimic despre asta - adică un set arbitrar poate fi un mic MBTS.

Teorema (Shkredov)

În cazul în care un

$\delta <{\frac {1}{2}}$

$20{\frac {1}{\sqrt {N}}}<\alpha \leq {\frac {\delta }{2}}$

$|S|\leq {\frac {\delta }{2\alpha }}$

$S=-S$

apoi [ 6] $\exists A:\ |A|=\left\lfloor {\delta N}\right\rfloor$ ${\mathcal {R}}_{\alpha }(A)=S$

Scurtă descriere a ideii de probă

Este suficient să luăm în considerare o funcție astfel încât $f$

{\widehat {f}}(\xi )={\begin{cases}\delta &\xi =0\\2\alpha &\xi \in S\setminus \{0\}\\0&\ xi \nu \în S\end{cazuri}}

și aplicați lema privind aproximarea coeficienților lui Fourier în termenii coeficienților Fourier ai funcției indicator a mulțimii.

Principala limitare aici este că restul se datorează naturii generale a sumelor trigonometrice. $|S|\leq {\frac {\delta }{2\alpha }}$

Constrângerea de dimensiune poate fi relaxată prin adăugarea condiției că are o proprietate care este o variație a disociativității [16] . $|S|\leq {\frac {\delta }{\alpha }}\log {\frac {1}{\delta }}$ $S$

Relația dintre MBTS ale diferitelor seturi

MBTS-urile de seturi de dimensiuni (jumătate din dimensiunea grupului) acoperă într-un sens structura tuturor celorlalte MBTS. $\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor$

Teorema (verde)

Dacă , atunci pentru oricare există astfel încât și [8] $\alpha \geq 80{\frac {1}{\sqrt {N}}}$ $A\subset {\mathbb {Z} }_{N)$ $B\subset {\mathbb {Z} }_{N)$ $|B|=\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor$ ${\mathcal {R}}_{\alpha }(A)\subset {\mathcal {R}}_{\frac {\alpha }{4}}(B)$

Generalizări

MBTS poate fi studiat nu numai pentru ciclic, ci și pentru orice grup, dacă conceptul de coeficient Fourier este generalizat corespunzător [17] .

De exemplu, pentru orice și setul său -MBTS conține un subgrup de dimensiune (ultima expresie înseamnă tetrație ) [18] . $\alpha <{\frac {1}{2)}$ $A\subset {\mathbb {Z} }_{2}^{n)$ $\alfa$ ${}^{\left({\frac {1}{\alpha ^{3)}}\right)}2$

Aplicații

Chang a aplicat limite pe dimensiunea aditivă a MBTS pentru a îmbunătăți limitele din teorema lui Freiman [14] .

Literatură

B. I. Segal. Sume trigonometrice și unele dintre aplicațiile lor la teoria numerelor // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 1946. - Emisiune. 3-4 (13-14) . - S. 147-193 . (Rusă)

M. A. Korolev. Metode de estimare a sumelor scurte ale lui Kloosterman // Chebyshevskii sbornik. - 2016. - T. 17 , nr. 4 . - S. 79-109 . (Rusă)

I. D. Shkredov. Câteva exemple de mulțimi de sume trigonometrice mari // Colecție matematică. - 2007. - T. 198 , nr. 12 . - S. 105-140 . (Rusă)

I. D. Shkredov. Pe seturi de sume trigonometrice mari // Izvestiya RAN, Mathematics Series. - 2008. - T. 72 , nr. 1 . - S. 161-182 . (Rusă)

Mei-Chu Chang. Un polinom legat în teorema lui Freiman // Duke Mathematical Journal. - 2002. - Vol. 113 , iss. 3 . - P. 399-419 .

Ben Green. Câteva construcții în teoria spectrală inversă a grupurilor ciclice // Combinatorică, probabilitate și calcul. - 2003. - Vol. 12 , iss. 2 . — P. 127-138 .

Ben Green. O lemă de regularitate de tip Szemerédi în grupuri abeliene, cu aplicații (engleză) // Geometric & Functional Analysis GAFA. - 2005. - Vol. 15 , iss. 2 . — P. 340-376 .

Note

↑ Segal, 1946 , p. 151.
↑ Segal, 1946 , p. 159-160.
↑ Segal, 1946 , p. 163.
↑ Korolev, 2016 , p. 81-82.
↑ Shkredov, 2008 , p. 161.
↑ 1 2 Shkredov, 2007 , p. 109, Propunerea 2.1.
↑ 1 2 Green, 2003 , p. 131-133, Lemele 3.2, 3.3.
↑ 1 2 Green, 2003 , p. 129, Lema 2.3.
↑ Green, 2003 , p. 129, Lema 2.2.
↑ 1 2 Preprint a lucrării lui Chang Arhivat la 1 decembrie 2016 la Wayback Machine , p. 17, Lema 3.1
↑ 1 2 Shkredov, 2008 , p. 163, teorema 5.
↑ Shkredov, 2007 , p. 118, Teorema 2.11.
↑ Shkredov, 2008 , p. 162, Teorema 1 (fără dovadă).
↑ 1 2 Chang, 2002 .
↑ Shkredov, 2008 , p. 162, Teorema 4 (fără dovadă).
↑ Shkredov, 2007 , p. 112, Propunerea 2.9.
↑ Shkredov, 2007 , p. 108.
↑ Green, 2005 , p. 345, teorema 2.1.