Tetrare

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 17 aprilie 2021; verificările necesită 6 modificări .

Tetrația ( hiperoperator -4 ) în matematică este o funcție iterativă a exponentului, următorul hiperoperator după exponențiere . Tetrarea este folosită pentru a descrie numere mari.

Termenul „tetrație” , constând din cuvintele „ tetra- ” (patru) și „ iterație ” (repetiție), a fost folosit pentru prima dată de matematicianul englez Reuben Goodstein în 1947 [1] .

Definiții

Tetrarea ca turn de putere

Pentru orice număr real pozitiv și întreg nenegativ , tetrarea poate fi definită recursiv: $a>0$ $n\geqslant 0$ ${}^{n}a$

${}^{0}a=1,$
${}^{n}a=a^{{({}^{{n-1}}a)}},\,n>0.$

Conform acestei definiții, calculul tetrației, scris ca „turn de putere”, exponentiația începe de la cele mai îndepărtate niveluri până la cel inițial (în această notație, de la cel mai înalt exponent):

{}^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)} =2^{(2^{4})}=2^{16}=65536.

{}^{5}2=2^{{{2^{{2^{{2^{2}}}}}}}=2^{{\left(2^{{\left(2^{{ \left(2^{2}\right)}}\right)}}\right)}}=2^{{(2^{{16}})}}=2^{{65536}}.

În același timp, deoarece exponențiația nu este o operație asociativă , atunci calculul expresiei într-o ordine diferită va duce la un răspuns diferit:

2^{{2^{{2^{2}}}}}\neq \left((2^{2})^{2}\right)^{2}=2^{{2\cdot 2\ cdot 2}}=2^{8}=256.

2^{{2^{{2^{{2^{2}}}}}}}\neq \left(((2^{2})^{2})^{2}\right)^{ 2}=2^{{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}}=2^{{{16}}=65536.

Astfel, turnurile de putere trebuie calculate de sus în jos (sau de la dreapta la stânga), adică, cu alte cuvinte, au asociativitate dreaptă.

Tetrarea ca hiperoperator

Tetrarea este a patra hiperoperație la rând :

plus : $a+b=a+\underbrace {1+1+\ldots +1}_{b};$
inmultire : $a\times b=\underbrace {a+a+\ldots +a}_{b};$
exponentiare : $a^{b}=\underbrace {a\times a\times \ldots \times a}_{b};$
tetrare: ${^{b}a}=\underbrace {a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{a))))))))))))_{b} .$

Aici, fiecare operație este o iterație a celei anterioare.

Proprietăți

Tetrarea nu este considerată o funcție elementară (cu excepția cazurilor cu exponent natural constant, când tetrarea este exprimată ca un turn de putere de înălțime constantă).
Datorită necomutativității , tetrarea are două operații inverse - superlogaritm și superrădăcină (similar cu modul în care exponențiația are două funcții inverse: rădăcina aritmetică și logaritmul ).

Pentru tetrare, în cazul general, următoarele proprietăți caracteristice operatorilor anteriori sunt incorecte:

${}^{b}({}^{c}a)\neq {}^{c}({}^{b}a)$ , de exemplu: dar . ${}^{3}({}^{2}2)=({}^{2}2)^{({}^{2}2)^{({}^{2}2) }}=4^{4^{4}}=4^{256}$ ${}^{2}({}^{3}2)=({}^{3}2)^{({}^{3}2)}=16^{16}=4^{ 32}$
${}^{b+c}a$ nu este egal cu nici , nici , de exemplu: , deoarece . ${}^{b}a+{}^{c}a$ ${}^{b}a\times {}^{c}a$ ${}^{1+2}3={}^{3}3=3^{27}\neq {}^{1}3+{}^{2}3\neq {}^{1 }3\ori {}^{2}3$ ${}^{1}3+{}^{2}3=30;{}^{1}3\time {}^{2}3=81$

Notă: totuși, adevărat sau . $\underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a)))}} _{b}{({}^{b+c}a) }={}^{c}a$ $\underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a)))}} _{c}{({}^{b+c}a) }={}^{b}a$

Tetrarea minus unu este egală cu minus unu:

${^{n}(-1)}=\underbrace {(-1)^{(-1)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{(-1)))))} } } _{n}=-1,n>0$

Terminologie

Există mai mulți termeni pentru definirea conceptului de tetrare și fiecare dintre ei are propria sa logică, dar unii dintre ei nu au devenit general acceptați dintr-un motiv sau altul. Mai jos sunt câteva astfel de exemple.

Termenul de tetrație , folosit de Reuben Goodstein în 1947 în Ordinals Transfinite în Teoria Numerelor Recursive (o generalizare a reprezentărilor recursive din teorema lui Goodstein folosită pentru operatori superiori), domină terminologia. Termenul a fost popularizat și în Infinity and the Mind de Rudy Rucker .
Termenul „superexponentiation” a fost publicat de Bromer în lucrarea sa „ Superexponentiation” în 1987 . [2] Termenul a fost folosit anterior de Ed Nelson în cartea sa Predicative Arithmetic [3 ] .
Termenul „hiperputere” ( în engleză hyperpower ) [4] este o combinație naturală a conceptelor „hiper-” și „grad” , care descrie în mod corespunzător tetrarea. Problema constă în conceptul însuși al termenului „hiper” în raport cu ierarhia hiperoperatorilor . Când luăm în considerare hiperoperatorii, termenul „hiper” se referă la toate rangurile, iar termenul „super” se referă la rangul 4, sau tetrare. Astfel, în aceste circumstanțe, conceptul de „hipergrad” poate induce în eroare, deoarece se referă doar la conceptul de tetrare.
Termenul „power tower” ( în engleză power tower ) [5] este uneori folosit, sub forma „power tower of order ” pentru . $n$ $\underbrace {a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{a))))))))))_{n}$

De asemenea, tetrarea este adesea confundată cu alte funcții și expresii strâns legate. Mai jos sunt câțiva termeni înrudiți:

Forma	Terminologie
$a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{a)))))))))))))}$	tetrare
$a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{{a^{x)))))))))))))}$	Exponenți iterativi
$a_{1}^{{a_{2}^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{{a_{n))))))))))))}$	Expozanți imbricați (și turnuri)
$a_{1}^{{a_{2}^{{a_{3}^{{\cdot ^({\cdot ^{\cdot )))))))))}}$	Exponenți infiniti (și turnuri)

Primele două expresii au o bază , iar numărul care apare este înălțimea . În a treia expresie, există o înălțime, dar toate bazele sunt diferite. $A$ $A$ $n$

Notație

Sistemele de notație în care poate fi utilizată tetrarea (unele dintre care permit utilizarea unor iterații și mai mari) includ:

Nume	Forma	Descriere
Notație standard	${}^{n}a$	Folosit de Maurer [1901] și Goodstein [1947]; popularizat în Infinity and the Mind de Rudy Ruecker .
Notație cu săgeată Knuth	$a{\uparrow \uparrow }n$	Permite extensia prin adăugarea de săgeți incrementale sau indexate, ceea ce este mai puternic.
Lanț Conway	$a\la n\la 2$	Permite alungirea prin adăugarea a 2 (echivalent cu metoda de mai sus), dar o modalitate și mai puternică de scriere este posibilă și prin creșterea lanțului.
Funcția Ackermann	${}^{n}2={\mathrm {A}}(4,\;n-3)+3$	Permite un caz special în scris în ceea ce privește funcția Ackermann. $a=2$
Notație exponențială iterabilă	${}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)$	Permite extensia simplă la exponenți iterativi începând cu alte valori decât 1.
Notație Hoosmand ( în engleză Hooshmand ) [6]	${\mathrm {uxp}}_{a}n,\quad a^{{\frac {n}{}}}$
Sistem de notare hiperoperator	$a^{{(4)}}n,\quad {\mathrm {hiper}}_{4}(a,\;n)$	Permite alungirea prin adaugarea a 4; aceasta dă o familie de hiperoperatori .
Sistem de scriere ASCII	a^^n	Deoarece notația săgeată în sus este utilizată în mod identic cu ^notația marcajului ( ), operatorul de tetrare poate fi scris ca ( ^^).
Notație Bowers / Bird [7]	{a,b,2}	{a, b, c} = a^^^…^^^b (c săgeți de supergrad).

Unul dintre sistemele de mai sus folosește o notație de exponent iterată; în general, se definește după cum urmează:

\exp _{a}^{n}(x)=\underbrace {a^{{a^{{\cdot ^({\cdot ^({\cdot ^{{a^{x)))))) ) }}}}}}_{n}.

Nu există multe notații pentru exponenții iterați, dar câteva sunt prezentate mai jos:

Nume	Forma	Descriere
Notație standard	$\exp _{a}^{n}(x)$	Sistemul de notație și sistemul de notație iterativă au fost introduse de Euler . $\exp _{a}(x)=a^{x}$ $f^{n}(x)$
Notație cu săgeată Knuth	$(a{\uparrow })^{n}(x)$	Permite superputeri și funcții superexponențiale pentru a crește numărul de săgeți.
Notație hiper-E	E(a)x#n
Ioannis Galidakis ( ing . Ioannis Galidakis ) sistem de notație	${}^{n}(a,\;x)$	Permite utilizarea expresiilor mari în bază. [opt]
ASCII (suplimentar)	a^^n@x	Pe baza concepției că exponentul iterativ este o tetrare suplimentară .
ASCII (standard)	exp_a^n(x)	Pe baza notației standard.

Exemple

În tabelul de mai jos, cele mai multe dintre valori sunt prea mari pentru a fi scrise în notație exponențială, așa că o notație exponențială iterativă este folosită pentru a le reprezenta în baza 10. Valorile care conțin un punct zecimal sunt aproximative. De exemplu, a patra tetrație de la 3 (adică ) începe cu 1258, se termină cu 39387 și are 3638334640025 de cifre, secvența OEIS este A241292 . ${\displaystyle 3^{3^{3^{3)}))$

$X$	${}^{2}x$	${}^{3}x$	${}^{4}x$
unu	unu	unu	unu
2	patru	16	65 536
3	27	7 625 597 484 987	$\exp _{{10}}^{3}(1{,}09902)$
patru	256	$\exp _{{10}}^{2}(2{,}18788)$	$\exp _{{10}}^{3}(2{,}18726)$
5	3 125	$\exp _{{10}}^{2}(3{,}33931)$	$\exp _{{10}}^{3}(3{,}33928)$
6	46 656	$\exp _{{10}}^{2}(4{,}55997)$	$\exp _{{10}}^{3}(4{,}55997)$
7	823 543	$\exp _{{10}}^{2}(5{,}84259)$	$\exp _{{10}}^{3}(5{,}84259)$
opt	16 777 216	$\exp _{{10}}^{2}(7{,}18045)$	$\exp _{{10}}^{3}(7{,}18045)$
9	387 420 489	$\exp _{{10}}^{2}(8{,}56784)$	$\exp _{{10}}^{3}(8{,}56784)$
zece	10.000.000.000	$\exp _{{10}}^{3}(1)$	$\exp _{{10}}^{4}(1)$

Probleme deschise

Nu se știe dacă n π sau n e sunt numere întregi pentru orice n > 4 natural . Nici măcar nu se știe dacă este întreg ${^4\pi}=\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$ .
Nu se știe dacă poate fi un număr rațional dacă este un număr întreg mai mare decât 3 și este un număr rațional, dar nu un număr întreg (căci răspunsul este negativ) [9] . ${^nq}$ $n$ $q$ $n=2,\,3$
Nu se știe pentru niciun număr întreg dacă rădăcina pozitivă a ecuației este un număr rațional, algebric irațional sau transcendental . $n>3$ ${^{n}x}=2$

Note

↑ Goodstein RL Ordinale transfinite în teoria numerelor recursive (neopr.) // Journal of Symbolic Logic. - 1947. - T. 12 . - doi : 10.2307/2266486 .
↑ Bromer N. Superexponentiation // Mathematics Magazine : magazine . - 1987. - Vol. 60 , nr. 3 . - P. 169-174 . Arhivat din original pe 27 ianuarie 2017.
↑ Nelson E. Predicative Arithmetic. — Princeton University Press, 1986.
↑ MacDonnell JF Somecritical points of the hyperpower function $\scriptstyle {x^{{x^{{\dots }}}}}$ // International Journal of Mathematical Education : journal. - 1989. - Vol. 20 , nr. 2 . - P. 297-305 .
^ Weisstein , Eric W. Power Tower pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Hooshmand MH Ultra putere și funcții ultra exponențiale (neopr.) // Transformări integrale și funcții speciale. - 2006. - T. 17 , nr 8 . - S. 549-558 . - doi : 10.1080/10652460500422247 .
↑ Sursa . Data accesului: 20 ianuarie 2013. Arhivat din original pe 21 octombrie 2014. (nedefinit)
↑ Galidakis I. On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals Arhivat 25 mai 2006 la Wayback Machine .
↑ Marshall, Ash J. și Tan, Yiren, „A rational number of the form a a with a irational”, Mathematical Gazette 96, martie 2012, pp. 106-109. . Consultat la 28 aprilie 2013. Arhivat din original pe 6 mai 2014. (nedefinit)

Link -uri

Site despre tetrare de Andrew Robins .
Site-ul despre tetrare de Daniel Geisler .
Forumul de discuții Tetracy .
Kuznetsov D. Tetrația ca funcție specială // Vladikavkaz Mathematical Journal. — 2010.

Cifre mari
Numerele	googol Numărul Shannon Googlelplex Număr înclinat numărul Moser Numărul Graham TREE(3) Numărul Rayo
Funcții	Funcția Ackermann Funcția Veblen Funcțiile Psi ale lui Buchholz tetrare Pentație Hiperoperator Ierarhie în creștere rapidă Ierarhie în creștere lent Ierarhie Hardy
Notații	Notația Steinhaus-Moser Notație cu săgeată Knuth Notație săgeată Conway Notație masivă Bowers