Grup modular

Grupul modular este grupul tuturor transformărilor Möbius ale formei $\Gamma$

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d)),

unde sunt numere întregi și . $a,\;b,\;c,\;d$ $ad-bc=1$

Grupul modular este identificat cu grupul de factori . Iată grupul de matrici $PSL(2,\mathbb {Z} )=SL(2,\;\mathbb {Z} )/\{I,\;-I\)$ $SL(2,\;\mathbb {Z} )$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}),

unde sunt numere întregi , . $a,\;b,\;c,\;d$ $ad-bc=1$

Grupul modular este un grup discret de transformări ale semiplanului complex superior ( planul Lobachevsky ) și admite o reprezentare prin generatoare. $H=\{z:\mathrm {Im} \,z>0\)$

S:z\mapsto -1/z,

T:z\mapsto z+1

iar relațiile , adică este un produs liber al unui grup ciclic de ordinul 2 generat de , și al unui grup ciclic de ordinul 3 generat de . $S^{2}=(ST)^{3}=1$ $S$ $SF$

Pentru o transformare arbitrară dintr-un grup modular, este valabilă următoarea egalitate: $g(z)={\frac {az+b}{cz+d)}$

\mathrm {Im} \,g(z)={\frac {\mathrm {Im} \,z}{|cz+d|^{2}}}.\qquad \qquad (1)

Deoarece partea imaginară este diferită de zero, iar numerele și sunt numere întregi diferite de zero în același timp, valoarea este separată de zero (nu poate fi arbitrar mică). Aceasta înseamnă că pe orbita oricărui punct există unul pe care partea imaginară atinge maximul. $z$ $c$ $d$ $|cz+d|^{2}$

Domeniul fundamental (canonic) al unui grup modular este domeniul închis

D=\{z\in H:|z|\geqslant 1,\;|\mathrm {Re} \,z|\leqslant 1/2\}.

Este ușor de verificat folosind (1) că transformările grupului modular nu măresc partea imaginară a punctelor din . De aici rezultă că pentru ca două puncte să aparțină lui , partea lor imaginară trebuie să fie aceeași: . Următoarele transformări și puncte îndeplinesc aceste condiții: $D$ $z,\;g(z)$ $D$ $|cz+d|^{2}=1$

$g(z)=z,\;z$ - orice punct;
$g(z)=z-1,\;\mathrm {Re} \,z=1/2;$
$g(z)=z+1,\;\mathrm {Re} \,z=-1/2;$
$g(z)=-1/z,\;|z|=1.$

În special, toate punctele din regiune au un stabilizator banal , cu excepția a trei: $D$

$\mathrm {St} (i)=\{1,\;S\};$
$\mathrm {St} (e^{2\pi i/3})=\{1,\;ST,\;(ST)^{2}\};$
$\mathrm {St} (-e^{-2\pi i/3})=\{1,\;TS,\;(TS)^{2}\}.$

În plus, rezultă din aceasta că atunci când semiplanul superior este factorizat prin acțiunea grupului modular, punctele interioare sunt afișate injectiv, în timp ce cele de delimitare sunt lipite de punctele „oglindă” de ele în raport cu linia. . $D$ $\mathrm {Re} \,z=0$

Pentru a arăta că orice punct de la este congruent cu un punct de la , luăm în considerare în orbita lui generată de transformările și , punctul cu partea imaginară maximă și, folosind o deplasare întreagă, ne deplasăm astfel încât partea reală a imaginii sale să devină nu. mai mult de 1/2 în valoare absolută. Atunci imaginea aparține (în caz contrar, dacă modulul ei ar fi mai mic de 1, ar fi posibilă creșterea strictă a părții imaginare cu ajutorul unei transformări). $H$ $D$ $S$ $T$ $D$ $S$

De asemenea, este ușor să arăți că transformările și generează întregul grup modular. Fie o transformare modulară arbitrară și un punct interior al . După cum este descris mai sus, să găsim o transformare care se traduce în zonă . Punctele și se află în , și este intern, prin urmare, . Apoi, transformarea se află în stabilizatorul punctual , care este banal. Prin urmare, se află în grupul generat de transformări și . $S$ $T$ $g$ $z$ $D$ $g'$ $g(z)$ $D$ $z$ $g'g(z)$ $D$ $z$ $g'g(z)=z$ $g'g$ $z$ $g=(g')^{-1)$ $S$ $T$

Interesul pentru grupul modular este asociat cu studiul funcțiilor modulare , a căror suprafață Riemann este spațiul coeficient , identificat cu domeniul fundamental al grupului modular. Domeniul fundamental are o zonă finită (în sensul geometriei Lobachevsky), adică grupul modular este un grup fuchsian de primul fel. $H/\,\Gamma$ $G$ $G$