Matrice triunghiulară

O matrice triunghiulară este o matrice pătrată  în algebră liniară , în care toate elementele de sub (sau deasupra) diagonalei principale sunt egale cu zero.

Definiții de bază

O matrice triunghiulară superioară (sau o matrice triunghiulară superioară ) este o matrice pătrată în care toate elementele de sub diagonala principală sunt egale cu zero: la [1] [2]

O matrice triunghiulară inferioară (sau matrice triunghiulară inferioară ) este o matrice pătrată în care toate intrările de deasupra diagonalei principale sunt egale cu zero: la [1] [2] .

O matrice unitarunghiulară (superioară sau inferioară) este o matrice triunghiulară în care toate elementele de pe diagonala principală sunt egale cu unul: [3] .

O matrice diagonală este atât triunghiulară superioară, cât și triunghiulară inferioară [4] .

Aplicație

Matricele triunghiulare sunt utilizate în principal în rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE). De exemplu, metoda Gaussiană pentru rezolvarea SLAE se bazează pe următorul rezultat [5] :

• orice matrice prin transformări elementare peste rânduri și permutări ale rândurilor poate fi redusă la o formă triunghiulară.

Astfel, soluția SLAE inițială se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare cu o matrice triunghiulară de coeficienți, ceea ce nu este dificil.

Există o variantă a acestei metode (numită schemă Gaussiană compactă ) bazată pe următoarele rezultate [6] :

• orice matrice pătrată cu minore principale principale diferite de zero poate fi reprezentată ca un produs al unei matrice triunghiulare inferioară și al unei matrice triunghiulare superioară : fie unitarunghiulară;
• orice matrice pătrată nedegenerată poate fi reprezentată  în următoarea formă :

Proprietăți

• Determinantul unei matrici triunghiulare este egal cu produsul elementelor diagonalei sale principale [7] (în special, determinantul unei matrice unitariunghiulare este egal cu unu).
• Mulțimea matricelor triunghiulare superioare nedegenerate de ordin n prin înmulțire cu elemente din câmpul k formează un grup [4] , care se notează cu UT ( n , k ) sau UT n ( k ).
• Mulțimea matricelor triunghiulare inferioare nedegenerate de ordinul n prin înmulțire cu elemente din câmpul k formează un grup [4] , care se notează cu LT ( n , k ) sau LT n ( k ).
• Mulțimea matricelor unitariunghiulare superioare cu elemente din câmpul k formează un subgrup de UT n ( k ) prin înmulțire, care se notează SUT ( n , k ) sau SUT n ( k ). Un subgrup similar de matrici triunghiulare unitare inferioare este notat SLT ( n , k ) sau SLT n ( k ).
• Mulțimea tuturor matricelor triunghiulare superioare cu elemente din inelul asociativ k formează o algebră cu privire la operațiile de adunare, înmulțire cu elemente de inel și înmulțire a matricei. O afirmație similară este valabilă pentru matricele triunghiulare inferioare.
• Grupul UT n este rezolvabil , iar subgrupul său unitar triunghiular SUT n este nilpotent .

Vezi și

• Sistem de ecuații algebrice liniare
• Transformări matriceale elementare
• Matrice de identitate
• Matricea diagonală

Note

1. ↑ 1 2 Voevodin și Kuznețov, 1984 , p. 27.
2. ↑ 1 2 Ikramov, 1991 , p. 9-10.
3. ↑ Ikramov, 1991 , p. zece.
4. ↑ 1 2 3 Gantmakher, 1988 , p. 27.
5. ↑ Gantmakher, 1988 , p. 42-43.
6. ↑ Voevodin și Kuznetsov, 1984 , p. 76, 174-175.
7. ↑ Voevodin și Kuznetsov, 1984 , p. treizeci.

Literatură

• Voevodin V.V. , Kuznetsov Yu.A. Matrici și calcule. — M .: Nauka , 1984. — 320 p.
• Gantmakher F. R.  . Teoria matricelor. a 4-a ed. — M .: Nauka , 1988. — 552 p. — ISBN 5-02-013722-7 .
• Ikramov H. D. . Problemă cu valori proprii asimetrice. Metode numerice. — M .: Nauka , 1991. — 240 p. — ISBN 5-02-014462-2 .