Forma normală a ecuațiilor diferențiale

Forma normală a ecuațiilor diferențiale este cea mai simplă formă echivalentă a ecuațiilor originale. Forma normală se obține cu ajutorul substituțiilor speciale ale variabilelor dependente și independente ale problemei pentru a simplifica cât mai mult structura ecuațiilor. În matematică, aceste modificări ale variabilelor sunt legate de transformările infinitezimale ale grupurilor Lie . În fizică, problemele legate de forma normală au fost reflectate în teorema lui Emmy Noether .

Pentru prima dată, ideea de a construi o formă normală de ecuații a fost formulată de remarcabilul om de știință francez Henri Poincaré în lucrarea sa asupra noilor metode de mecanică cerească. Ideea principală exprimată de Poincare este să nu încercați cu toată puterea să rezolvați ecuațiile inițiale, ci să găsiți o astfel de modificare a variabilelor care să aducă ecuațiile la cea mai simplă, dacă este posibil, la o formă liniară. Folosind schimbarea inversă a variabilelor, puteți restaura soluția originală. Întrebarea cheie – dacă există întotdeauna o astfel de schimbare unu-la-unu a variabilelor care are ca rezultat ecuații liniare – are un răspuns negativ în cazul general. S-a dovedit că dacă sistemul are o rezonanță la un punct singular, atunci nu este necesară înlocuirea în vecinătatea acestui punct. Ecuațiile obținute ca urmare a transformărilor de normalizare au primit denumirea scurtă de „formă normală”.

Exemple de forme normale

1. Forma normală a unui sistem autonom de ecuații diferențiale în vecinătatea unui punct „nesingular” (unde câmpul vectorial specificat de acest sistem în spațiul fazelor este diferit de zero): $(x_{1},\ldots ,x_{n})$

${\frac {dx_{1}}{dt}}=1,\ {\frac {dx_{2}}{dt}}=\cdots ={\frac {dx_{n}}{dt}} =0,$

2. Forma normală a ecuațiilor degenerate de „instabilitate explozivă”

${\frac {dx}{dt}}=x^{2}$

este forma originală. Ecuațiile nu sunt reduse la liniare din cauza valorii proprii zero. Dacă valoarea proprie este zero, atunci există întotdeauna rezonanță.

3. Forma normală a ecuațiilor oscilatorului liniar

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x=0$

este reprezentată de o pereche de ecuații liniare pentru variabile conjugate complexe

${\frac {dz}{dt}}+iz=0$

și

${\frac {dz^{*}}{dt}}-iz^{*}=0,$

unde este coordonata normală. $z=x+i{\frac {dx}{dt})$

4. Forma normală a ecuației logistice cu neliniaritate pătratică

${\frac {dx}{dt}}=-x+cx^{2}$

au următoarea formă liniară

${\frac {dy}{dt}}=-y.$

Că există o coordonată normală poate fi verificată prin substituție directă $y$

$x=y+{\frac {y}{1+cy)),$

care se obţine ca urmare a aplicării procedeului asimptotic de construire a unei transformări normalizatoare.

5. Forma normală a ecuațiilor pentru un oscilator neliniar amortizat

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\epsilon {\frac {dx}{dt}}+x+f(x)=0$

există o pereche de ecuații conjugate liniare complexe

${\frac {dz}{dt}}-(i{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}-\epsilon )z=0$

și

${\frac {dz^{*}}{dt}}+(i{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}+\epsilon )z^{*}=0,$

unde este coordonata normală dorită. Funcția este o serie de puteri arbitrară în raport cu argumentul , pornind de la termenii patratici ai expansiunii. $z$ $f$ $X$

6. Forma normală a ecuațiilor neliniare ale mișcării în vecinătatea „șeii”

${\frac {dx_{1}}{dt}}=-x_{1}+h_{1}(x_{1},x_{2});$

${\frac {dx_{2}}{dt}}=x_{2}+h_{1}(x_{1},x_{2}),$

unde și sunt serii de puteri arbitrare care încep cu termeni pătratici din variabile și , există o pereche de ecuații neliniare $h_{1)$ $h_{2}$ $x_1$ $x_{2}$

${\frac {dy_{1}}{dt}}=-y_{1}+y_{1}f(y_{1}y_{2});$

${\frac {dy_{2}}{dt}}=y_{2}+y_{2}g(y_{1}y_{2}),$

unde și sunt serii de puteri arbitrare în raport cu un singur argument . În acest caz, sistemul nu poate fi redus la o formă normală liniară din cauza prezenței rezonanței . $f$ $g$ $y_{1}y_{2)$

7. Forma normală a unei ecuații care nu este rezolvată în raport cu derivata în vecinătatea celui mai simplu punct singular (adică, punctul în apropierea căruia ecuația nu poate fi rezolvată în mod unic în raport cu derivata) - așa-numitul Cibrario forma normala

${\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}^{2}=x,$

Literatură

Arnold V. I. Capitole suplimentare ale teoriei ecuațiilor diferențiale ordinare, - Orice ediție.
Arnold V. I. Metode geometrice în teoria ecuațiilor diferențiale ordinare, - Orice ediție.
Arnol'd V. I., Ilyashenko Yu. S. Ecuații diferențiale ordinare, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. mat. Fundam. regia, 1985, volumul 1.
Arnold V. I., Afraimovich V. S., Ilyashenko Yu. S., Shilnikov L. P. Teoria bifurcațiilor, — Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. mat. Fundam. regia, 1986, volumul 5.
Bruno A. D. Metoda locală de analiză neliniară a ecuațiilor diferențiale, Nauka, Moscova, 1979.
Bruno A. D. Geometria puterii în ecuații algebrice și diferențiale, Fizmatlit, Moscova, 1998.
Hartman F. Ecuații diferențiale ordinare, - Mir, Moscova, 1970.
Ilyashenko Yu. S., Yakovenko S. Yu. Forme normale finite netede ale familiilor locale de difeomorfisme și câmpuri vectoriale, Uspekhi Mat. Nauk, 1991, 46:1 (277).