Teorema lui Noether

Versiunea stabilă a fost verificată pe 20 octombrie 2022 . Există modificări neverificate în șabloane sau .

Teorema lui Emmy Noether este o teoremă demonstrată de Emmy Noether în 1918. A fost definit pentru prima dată în lucrările oamenilor de știință de la școala din Göttingen D. Gilbert , F. Klein și însăși Emmy Noether .

Informații generale

Simetria în fizică
transformare	Invarianța corespunzătoare	Legea conservării corespunzătoare
↕ Ora de difuzare	Uniformitatea timpului	…energie
⊠ C , P , CP și T - simetrii	Izotropia timpului	... paritate
↔ Spațiu de difuzare	Omogenitatea spațiului	…impuls
↺ Rotația spațiului	Izotropia spațiului	… impuls
⇆ grup Lorentz (amplificare)	Covarianța relativității Lorentz	…mișcări ale centrului de masă
~ Transformarea gabaritului	Invarianța gabaritului	... taxa

Teorema lui Noether afirmă că fiecare simetrie continuă a unui sistem fizic corespunde unei legi de conservare :

omogenitatea timpului corespunde legii conservării energiei ,
omogenitatea spațiului corespunde legii conservării impulsului ,
izotropia spațiului corespunde legii conservării momentului unghiular ,
simetria gauge corespunde legii conservării sarcinii electrice etc.

Teorema este de obicei formulată pentru sisteme cu acțiune funcțională și exprimă invarianța Lagrangianului față de un grup continuu de transformări.

Dacă acțiunea este invariantă sub un grup continuu de transformări cu n parametri, atunci există n legi independente de conservare.

Teorema lui Noether formulează o condiție suficientă pentru existența legilor de conservare. Totuși, această condiție nu este necesară, așa că pot exista legi de conservare care nu decurg din ea (se cunosc astfel de exemple) [1] . Există o binecunoscută teoremă care formulează condițiile necesare și suficiente pentru existența legilor de conservare [2] .

Formulare

Prima teoremă a lui Noether

Dacă integrala de acțiune este invariantă în raport cu un grup de Lie finit -parametric , atunci combinațiile liniar independente de derivate lagrangiene (partele din stânga ecuațiilor Lagrange-Euler) se transformă în divergențe; și invers, ultima condiție implică invarianța față de un grup [3] . $S$ $r$ $G_{r}$ $r$ $S$ $G_{r}$

În fizica teoretică, expresiile sub semnul divergențelor se numesc curenți. Dacă derivatele lagrangiene sunt egale cu zero (ecuațiile lui Euler sunt satisfăcute), atunci divergențele curenților dispar. Acest lucru are ca rezultat legi diferențiale de conservare. Legile de conservare integrală precum legea conservării sarcinii electrice sau legea conservării energiei sunt obținute prin integrarea legilor de conservare diferențială pe o hipersuprafață tridimensională special selectată în anumite condiții la limită [4] .

Prima teoremă inversă a lui Noether

Dacă combinațiile liniar independente de derivate lagrangiene (părțile din stânga ecuațiilor Lagrange-Euler) se transformă în divergențe, atunci integrala de acțiune este invariantă față de grupul -parametric finit Lie [4] . $r$ $r$

A doua teoremă a lui Noether

O generalizare a primei teoreme a lui Noether pentru cazul funcționalelor invariante sub grupuri arbitrare infinite de Lie este a doua teoremă a lui Noether. $G_{\infty r)$

Dacă integrala de acțiune este invariantă față de un grup infinit -parametric de Lie , în care există derivate până la ordinul -lea inclusiv, atunci există relații identice între derivatele lagrangiene și derivatele lor până la ordinul -lea. Este adevărat și invers. [3] $S$ $r$ $G_{\infty r)$ $k$ $r$ $k$

A doua teoremă inversă a lui Noether

Dacă există relații identice între derivatele lagrangiene și derivate din ele până la ordinul --lea inclusiv, atunci integrala de acțiune este invariantă față de grupul infinit de Lie , ale cărui transformări conțin derivate până la --lea ordin [4] . $r$ $k$ $G_{\infty r)$ $k$

Mecanica clasică

Fiecare grup de difeomorfisme cu un parametru care păstrează funcția Lagrange corespunde primei integrale a sistemului egală cu $g^{s}(q_{i})$

I=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {d}{ds}}g^{s}(q_{i})\right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\Bigg |}_{s=0}

În ceea ce privește transformările infinitezimale: fie transformarea de coordonate infinitezimale să aibă forma

g^{s}({\vec q})={\vec q}_{0}+s{\vec \psi }({\vec q},\;t)

iar funcția Lagrange este invariantă sub aceste transformări, i.e. $L(q,\;{\punct q},\;t)$

{\frac {d}{ds}}L({\vec q}_{0}+s{\vec \psi }({\vec q},\;t),\;{\dot {{\vec q}_{0}}}+s{\dot {{\vec \psi }}}({\vec q},\;t),\;t)=0

s=0.

Atunci sistemul are o primă integrală egală cu

I=\left({\vec \psi }({\vec q},\;t);\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {{\vec q))))}\ dreapta)=\sum _{{i=1}}^{n}\psi _{i}({\vec q},\;t){\frac {\partial L}{\partial {\dot q} _{i}}}.

Teorema poate fi generalizată la cazul transformărilor care afectează și timpul, dacă ne imaginăm mișcarea acestuia ca fiind dependentă de un anumit parametru și în procesul de mișcare . Apoi de la transformări $\tau$ $t=\tau$

g^{s}({\vec {q)})={\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}}),\ ; t),

g^{s}(t)=t_{0}+s\xi ({\vec {q)),\;t),

urmează prima integrală

I=\xi L+\left({\vec {\psi }}-\xi {\dot {\vec {q}}};\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}}\dreapta).

Teoria câmpului

Teorema lui Noether permite generalizarea directă la cazuri de sisteme cu un număr infinit de grade de libertate , exemple dintre care sunt câmpurile gravitaționale și electromagnetice . Și anume, să fie funcția Lagrange a sistemului să depindă de potențiale, care la rândul lor depind de coordonate. Acțiunea funcțională va arăta ca $n$ $k$

S=\int L(A^{i},\;\partial _{\mu }A^{i},\;x^{\mu })\,d\Omega ,\quad i=1,\ldots ,\;n,\quad \mu =1,\;\ldots ,\;k,\quad d\Omega =dx^{1}\ldots dx^{k}.

Fie grupul cu un parametru de difeomorfisme ale spațiului potențial păstrează funcția Lagrange; atunci vectorul este salvat $g^{s}$

J^{\mu }=\left({\frac {d}{ds}}g^{s}A^{i}\right){\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\ mu }A^{i})}},

numit vectorul fluxului Noether . Prin indici repetați se presupune însumarea: . Scopul păstrării vectorului fluxului Noether este că $\partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu ))}$

\ \partial _{\mu }J^{\mu }=0,

prin urmare, fluxul prin orice suprafață închisă în spațiul coordonatelor este egal cu 0. În special, dacă evidențiază una dintre coordonate, numită timp și luăm în considerare hiperplane de timp constant, atunci fluxul printr-un astfel de hiperplan este constant în timp, cu condiția ca câmpul să cadă rapid la infinit și hipersuprafața să nu fie compactă energia -tensorul de impuls pentru un câmp electromagnetic are această proprietate. În vid, câmpul Lagrangian nu depinde în mod explicit de coordonate, deci există o cantitate conservată asociată cu fluxul energie-impuls. $J$ $J$

Ecuații diferențiale

Să existe o problemă variațională cu funcționalitatea de acțiune . Aici este Lagrangianul , sunt variabile independente, sunt variabile dependente, adică funcții ale lui . poate depinde, de asemenea, de derivate cu privire la , nu neapărat de ordinul întâi. $S=\int L({\vec u},{\vec x},\dots )\,d{\boldsymbol x}$ $L$ $X$ $u$ $X$ $L$ $u$ $X$

Problema variațională pentru o astfel de funcțională duce la ecuațiile diferențiale Euler-Lagrange , care pot fi scrise ca

\mathrm {E_{\alpha }} (L)=0~,~\alpha =1\dots q,

unde sunt operatorii Euler-Lagrange: $\mathrm{E}$

\mathrm {E_{\alpha }} ={\frac {\partial }{\partial u_{\alpha }}}-\sum _{i=1}^{p}{\frac {d}{ dx_{i))}{\frac {\partial }{\partial u_{x_{i))^{\alpha ))}+\dots ,

$u_{{x_{i}}}^{{\alpha }}$ este derivata functiei fata de variabila . Punctele de suspensie înseamnă că, dacă depinde de derivate de ordin mai mare decât primul, atunci trebuie să adăugați termenii corespunzători la . În notație compactă $u^{{\alpha }}$ $x_{i}$ $L$ $\mathrm{E}$

{\mathrm {E_{\alpha }}}=\sum _{J}(-D)_{J}{\frac {\partial }{\partial u_{J}^{{\alpha ))))

unde este un multi-index. Însumarea se efectuează pe toți termenii astfel încât derivatul să fie inclus în . $J$ $u_{J}^{{\alpha ))$ $L$

Teorema lui Noether leagă așa-numitele simetrii variaționale ale funcționalei cu legile de conservare care sunt valabile pentru soluțiile ecuațiilor Euler-Lagrange. $S$

Legile de conservare

Legea conservării unui sistem de ecuații diferențiale este o expresie a formei

\mathrm {Div} {\vec {P}}=0,

care este valabil pe soluțiile acestui sistem, adică astfel încât dacă aceste ecuații diferențiale sunt substituite în el, se va obține o identitate. În acest caz, sunt luate în considerare ecuațiile diferențiale Euler-Lagrange. Iată divergența totală (divergența cu derivatele totale ) față de . sunt funcții netede ale , și derivate cu privire la . ${\mathrm {Div}}$ $X$ ${\vec P}$ $u$ $X$ $u$ $X$

Legile de conservare triviale sunt legile de conservare

pentru care în sine este o identitate fără a lua în considerare nicio ecuație diferențială; ${\mathrm {Div}}{\vec P}=0$
sau pentru care se transformă în 0 imediat după înlocuirea ecuațiilor diferențiale, fără a calcula divergența (zerul identic se păstrează pe soluții); ${\vec P}$
sau pentru care există o combinație liniară a tipurilor anterioare. ${\vec P}$

Dacă pentru două legi de conservare cu funcții și diferența dă o lege de conservare trivială, atunci se spune că aceste două legi de conservare sunt echivalente. ${\vec P}$ $\vec R$ ${\vec P}-{\vec R}$

Fiecare lege de conservare este echivalentă cu o lege de conservare în formă caracteristică, adică una pentru care

\mathrm {Div} {\vec {P}}={\vec {Q}}\cdot {\vec {\Delta )),

unde sunt expresiile care sunt incluse în definiţia sistemului de ecuaţii diferenţiale: . Pentru cazul descris și $\Delta$ ${\vec \Delta }=0$ $\Delta _{\alpha }=E_{\alpha }(L)$

\mathrm {Div} {\vec {P}}=\sum _{\alpha }Q_{\alpha }E_{\alpha }(L).

$Q_{\alpha}$ depind de , iar derivatele în raport cu și se numesc caracteristici ale legii conservării. $u$ $X$ $u$ $X$

Simetrii variaționale

Să existe un câmp vectorial generalizat

{\vec {v}}=\sum _{i=1}^{p}\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum _ {\alpha =1}^{q}\varphi _{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.

„Generalizat” este înțeles în sensul că și poate depinde nu numai de și , ci și de derivate cu privire la . $\xi$ $\varphi$ $u$ $X$ $u$ $X$

Definiție: se numește simetrie variațională a unei funcționale dacă există un astfel de set de funcții care ${\vec {v}}$ $S$ ${\vec {{\mathrm {B}}}}({\vec u},{\vec x},\dots )$

\mathrm {pr} \,{\vec {v}}(L)+L\,\mathrm {Div} \,{\vec {\xi }}=\mathrm {Div} \,{\vec {\mathrm {B} )).

${\mathrm {pr}}\,{\vec v}$ - continuarea . Continuarea ia în considerare faptul că acțiunea asupra și provoacă, de asemenea, o modificare infinitezimală a derivatelor și este dată de formulele ${\vec {v}}$ ${\vec {v}}$ $u$ $X$

\mathrm {pr} \,{\vec {v}}={\vec {v}}+\sum _{\alpha,J}\varphi _{\alpha }^{J}{\frac { \partial }{\partial u_{J}^{\alpha }}}~,~\varphi _{\alpha }^{J}=D_{J}{\bigl (}\varphi _{\alpha }-\ suma _{i}\xi ^{i}u_{i}^{\alpha }{\bigr )}.

În formula de continuare, este necesar să se preia, pe lângă , termeni cu asemenea pentru care intră sau, în cazul general, în expresia asupra căreia acționează continuarea. ${\vec {v}}$ $\partial /\partial u_{J}^{\alpha }$ $u_{J}^{\alpha }$ $L$

Semnificația definiției simetriei variaționale este că - acestea sunt transformări infinitezimale care schimbă funcționalitatea în primul rând în așa fel încât ecuațiile Euler-Lagrange să fie transformate în echivalente. Corect ${\vec {v}}$ $S$

teorema : dacă este o simetrie variațională, atunci este o simetrie (generalizată) a ecuațiilor Euler-Lagrange: ${\vec {v}}$ ${\vec {v}}$

\mathrm {pr} \,{\vec {v}}\,\mathrm {E} _{\alpha }(L)\vert _{\mathrm {E} _{\alpha }(L)= 0}=0.

Această formulă înseamnă că modificările infinitezimale ale expresiilor , scrise aici ca , se transformă la 0 pe soluții. ${\mathrm {E}}_{\alpha }(L)$ ${\mathrm {pr}}\,{\vec v}\,{\mathrm {E}}_{\alpha }(L)$

Caracteristicile câmpurilor vectoriale

Mulțimea de funcții (în notația dată mai sus) se numește caracteristica câmpului vectorial . În schimb , puteți lua câmpul vectorial $Q_{\alpha }=\varphi _{\alpha }-\sum _{i}\xi ^{i}u_{i}^{\alpha }$ ${\vec {v}}$ ${\vec {v}}$

{\vec {v}}_{Q}=\sum _{\alpha }Q_{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}},

care se numeste reprezentantul evolutiv . ${\vec {v}}$

${\vec {v}}$ și determinăm în esență aceeași simetrie, prin urmare, dacă caracteristicile sunt cunoscute , putem presupune că și simetria este astfel dată. Continuarea este definită în mod similar cu continuarea , dar este formal mai simplă, deoarece contribuția de la . ${\vec v}_{Q}$ $Q_{\alpha}$ ${\vec v}_{Q}$ ${\vec {v}}$ $\xi$

Teorema lui Noether stabilește o legătură între caracteristicile legilor de conservare și caracteristicile câmpurilor vectoriale.

Teorema lui Noether

Un câmp vectorial generalizat definește un grup de simetrie al unei funcționale dacă și numai dacă caracteristica sa este o caracteristică a legii de conservare pentru ecuațiile corespunzătoare Euler-Lagrange. ${\vec {v}}$ $S$ ${\vec Q}$ ${\mathrm {Div}}{\vec P}=0$

Legile de conservare

În mecanica clasică, legile conservării energiei, impulsului și momentului unghiular sunt derivate din omogenitatea/izotropia Lagrangianului sistemului - Lagrangianul (funcția Lagrange) nu se schimbă în timp de la sine și nu se modifică prin translație. sau rotația sistemului în spațiu. În esență, aceasta înseamnă că atunci când se ia în considerare un anumit sistem închis în laborator, se vor obține aceleași rezultate indiferent de locația laboratorului și de momentul experimentului. Alte simetrii ale Lagrangianului sistemului, dacă există, corespund altor mărimi conservate în sistemul dat ( integrale de mișcare ); de exemplu, simetria Lagrangianului a problemei gravitaționale și Coulomb a două corpuri duce la conservarea nu numai a energiei, a impulsului și a momentului unghiular, ci și a vectorului Laplace–Runge–Lenz .

Aplicații

Teorema lui Noether permite obținerea de informații semnificative despre proprietățile soluțiilor unui sistem de ecuații diferențiale bazate doar pe simetria lor. Este, de asemenea, una dintre metodele de integrare a ecuațiilor diferențiale obișnuite , deoarece permite în unele cazuri găsirea primelor integrale ale unui sistem de ecuații și, astfel, reducerea numărului de funcții necunoscute. De exemplu:

Conservarea impulsului a sistemului rezultă din invarianța sa în raport cu deplasările spațiale. Mai precis, dacă o deplasare de-a lungul axei X nu schimbă sistemul de ecuații, atunci impulsul este conservat de-a lungul acelei axe . $p_{x}$
Conservarea momentului unghiular rezultă din invarianța sistemului față de rotațiile spațiale .
Legea conservării energiei este o consecință a omogenității timpului, care vă permite să schimbați în mod arbitrar originea timpului.

În cazul ecuațiilor cu diferențe parțiale, este necesar, în general, să se caute un număr infinit de prime integrale. Chiar și cunoscându-le, de obicei nu este ușor să scrieți o soluție generală.

Datorită naturii sale fundamentale, teorema lui Noether este folosită în domenii ale fizicii precum mecanica cuantică , chiar pentru introducerea conceptelor de moment, moment unghiular etc. Invarianța ecuațiilor față de anumite simetrii devine singura esență a acestor mărimi. si garanteaza conservarea acestora.

În teoria cuantică a câmpurilor, analogul teoremei lui Noether este identitățile Ward-Takahashi , care permit obținerea unor legi de conservare suplimentare. De exemplu, legea conservării sarcinii electrice rezultă din invarianța sistemului fizic față de modificarea fazei funcției de undă complexe a particulei și calibrarea corespunzătoare a potențialului vectorial și scalar al câmpului electromagnetic.

Sarcina Noether este, de asemenea, utilizată pentru a calcula entropia unei găuri negre staționare [5] .

Note

↑ V. A. Dorodnitsyn, G. G. Yelenin Simetria fenomenelor neliniare // Calculatoare și fenomene neliniare. - M., Nauka, 1988. - p. 168
↑ Ibragimov N. Kh. Grupuri de transformare în fizica matematică. - M., Nauka, 1983. - p. 229
↑ 1 2 Emmy Noether Probleme variaționale invariante // Principii variaționale ale mecanicii / ed. Polak L. S. - M., Fizmatlit, 1959. - p. 613-614
↑ 1 2 3 Konopleva N. P. , Popov V. N. Câmpuri de ecartament. - M., Atomizdat, 1980. - p. 56, 69, 70
↑ Calcularea entropiei găurilor negre staționare Arhivat 10 mai 2017 la Wayback Machine . (Engleză)

Literatură

Arnold VI Metode matematice ale mecanicii clasice. - Ed. al 5-lea. - M . : Editorial URSS, 2003. - ISBN 5-354-00341-5 .
Ibragimov N. Kh. Grupuri de transformare în fizica matematică. — M .: Nauka , 1983. — 280 p.
Gelfand I. M., Fomin S. V. Calculul variațiilor. — M .: Nauka , 1961. — 228 p.

Link -uri

Traducerea articolului lui Noether în engleză
Articol despre Teorema lui Noether , de John Baez
Descoperirea lui E. Noether a conexiunii profunde dintre simetrii și legile de conservare de Nina Byers
Teorema lui Noether la MathPages. (Engleză)
Tensorul energie-impuls simetric în teoriile Maxwell, Yang-Mills și Proca obținut folosind numai teorema lui Noether . (Engleză)
Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G. Despre noțiunea de simetrii gauge ale teoriei generice ale câmpului lagrangian. — J. Math. Fiz. 50 (2009) 012903; arXiv 0807.3003 .
Teorema lui Yakovenko G. N. Emmy Noether la cursul de mecanică teoretică la MIPT // pe portalul departamentului

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare universal lituanian Britannica (online)