Normă (matematică)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 6 iunie 2021; verificările necesită 2 modificări .

O normă este o funcționalitate definită pe un spațiu vectorial și care generalizează conceptul de lungime a unui vector sau valoarea absolută a unui număr .

Definiție

Norma vectorială

O normă într-un spațiu vectorial peste un câmp de numere reale sau complexe este o funcțională cu următoarele proprietăți: $V\$ $p\colon V\to \mathbb {R_{+}}$

$p(x)=0\Rightarrow x=0_{V};$
$\forall x,y\in V,p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)$ ( inegalitatea triunghiului );
$\forall \alpha \in \mathbb {C} ,\forall x\in V,p(\alpha \,x)=|\alpha |p(x).$

Aceste condiții sunt axiomele normei .

Un spațiu vectorial cu o normă se numește spațiu normat , iar condițiile (1–3) sunt numite și axiome ale unui spațiu normat.

Din axiomele normei, proprietatea de non-negativitate a normei decurge în mod evident:

$\forall x\in V,p(x)\geqslant 0$ .

Într-adevăr, din a treia proprietate rezultă: , iar din proprietatea 2 - . $p(0_{V})=p(0\cdot 0_{V})=0\cdot p(0_{V})=0$ $\forall x\in V\colon 0=p(0_{V})=p(xx)\leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)$

Cel mai adesea, norma este notată sub forma :. În special, este norma unui element al spațiului vectorial . $\|\cdot \|$ $\|x\|$ $X$ $\mathbb {R}$

Un vector cu o normă unitară se numește unitate sau normalizat . $\stanga(\|x\|=1\dreapta)$

Orice vector diferit de zero poate fi normalizat, adică împărțit la propria sa normă: vectorul are o normă unitară. Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că luăm un vector codirecțional de lungime unitară. $X$ ${\frac {x}{\|x\|}}$

Norma matricei

O normă matriceală este un număr real care îndeplinește primele trei dintre următoarele condiții: $A$ $\|A\|$

$\|A\|\geqslant 0$ , și numai pentru ; $\|A\|=0$ $A=0\$
$\|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|$ , unde ; $\alpha \in \mathbb{R}$
$\|A+B\|\leqslant \|A\|+\|B\|$ ;
$\|AB\|\leqslant \|A\|\cdot \|B\|$ .

Dacă este îndeplinită și a patra proprietate, norma se numește submultiplicativă . O normă matriceală compusă ca normă operator se spune că este subordonată normei utilizate în spațiile vectoriale. Evident, toate normele matriceale subordonate sunt submultiplicative.

Norma matricei de la se numește compatibilă cu norma vectorială de la și norma vectorială de la dacă este adevărată: $\|\cdot \|_{{ab}}$ $K^{{m\ori n}}$ $\|\cdot \|_{{a}}$ $K^n$ $\|\cdot \|_{{b}}$ $K^{m}$

\|Ax\|_{b}\leqslant \|A\|_{{ab}}\|x\|_{a}

pentru toată lumea . $A\în K^{{m\ori n}},x\în K^{n}$

Norma operator

Norma operatorului este numărul , care este definit după cum urmează: $A$

\|A\|=\sup _{{\|x\|=1}}\|Ax\|

, unde este un operator care acționează dintr - un spațiu normat într-un spațiu normat .

A

L

K

Această definiție este echivalentă cu următoarea:

\|A\|=\sup _{{x\neq 0}}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}

Proprietățile normelor operatorului:

$\|A\|\geqslant 0$ , și numai pentru ; $\|A\|=0$ $A=0$
$\|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|$ , unde ; $\alpha \in {\mathbb {R}}$
$\|A+B\|\leqslant \|A\|+\|B\|$ ;
$\|AB\|\leqslant \|A\|\cdot \|B\|$ .

În cazul cu dimensiuni finite , unui operator într-o anumită bază îi corespunde o matrice — matricea operatorului. Dacă norma de pe spațiul(e) în care acționează operatorul admite una dintre expresiile standard în bază, atunci proprietățile normei operatorului repetă proprietățile similare ale normei matriceale.

Norm Properties

$\|x\|-\|y\|\ \leqslant \|x\pm y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$
${{\bigl (}\|x\|-\|y\|{\bigr )}}^{2}\leqslant {\|x\pm y\|}^{2}\leqslant {{ \bigr (}\|x\|+\|y\|{\bigl )}}^{2}$
${\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|xy\|^{2}}{2\|x\|\|y\|}}\în [-1,1]$ [cosinusul unghiului]
$\|0_{V}\|=\|xx\|=\|0x\|=0\cdot \|x\|=0$
$0=\|xx\|\leqslant \|x\|+\|-x\|=2\|x\|\Rightarrow \|x\|\geqslant 0$

Echivalența normelor

Două norme și pe un spațiu sunt numite echivalente dacă există două constante pozitive și astfel încât pentru orice . Normele echivalente definesc aceeași topologie pe spațiu. Într-un spațiu finit-dimensional, toate normele sunt echivalente [1] . $p$ $q$ $V$ $C_{1}$ $C_{2}$ $x \în V$ $C_{1}p(x)\leqslant q(x)\leqslant C_{2}p(x)$

Exemple

Spații normate liniare

Orice spațiu pre-Hilbert poate fi considerat normat , deoarece produsul scalar generează o normă naturală

\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle )),\quad x\in X.

Norme Holder ale vectorilor -dimensionali (familie): , $n$ $\|x\|_{p}={\left(\sum _{i}|x_{i}|^{p}\right)}^{\frac {1}{p))$

unde (de obicei presupus a fi un număr natural). În special: $p\geqslant 1$

$\|x\|_{1}=\sum _{{i}}|x_{{i}}|$ , care se mai numește și metrica L1 , normă $\ell _{1}$ sau distanța Manhattan . Pentru un vector, este suma modulelor tuturor elementelor sale.
$\|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{{i}}|x_{{i}}|^{2}}}$ , care se mai numește și metrica L2 , normă $\ell _{2}$ sau normă euclidiană . Este distanța geometrică dintre două puncte din spațiul multidimensional, calculată folosind teorema lui Pitagora.
$\|x\|_{\infty }=\max |x_{{i}}|$ (acesta este un caz extrem ). $p\rightarrow \infty$

Normele funcțiilor în spațiul funcțiilor continue reale (sau complexe) pe intervalul [0,1] : $C[0,1]$
- $\|f\|_{{C[0,1]}}=\sup _{{x\in [0,1]}}|f(x)|$ - în sensul acestei norme, spațiul de funcții continuu pe un segment formează un
spațiu liniar complet . Nu același lucru se poate spune despre următoarele două exemple de normă pe acest spațiu, care sunt totuși legitime: $C[0,1]$
$\|f\|_{1}=\int \limits _{0}^{1}|f(t)|\,dt$
$\|f\|_{2}={\sqrt {\int \limits _{0}^{1}|f(t)|^{2}\,dt))$

În mod similar, putem introduce norme pentru funcțiile vectoriale cu dimensiuni finite ale argumentelor vectoriale cu dimensiuni finite, înlocuirea cu , și integrarea peste un segment prin integrarea peste un domeniu (maximul pe un segment, în cazul corespunzător, este un maxim pe un domeniu ). $|f(x)|\$ $\|f(x)\|\$

„Norma L0”

Un caz special este (L0-"normă"), definit ca numărul de elemente nenule ale vectorului. Strict vorbind, aceasta nu este o normă, deoarece cea de-a treia axiomă a normei nu este valabilă. Practic, acest tip de „normă” este folosit în problemele de codare rare, în special în detectarea compresivă , unde trebuie să găsiți cea mai rară reprezentare a unui vector (cu cele mai multe zerouri), adică cu cea mai mică -normă. Cu această „normă” se poate determina distanța Hamming . $\ell _{0}$ $\ell _{0}$

Unele tipuri de norme matriceale

Norme generate : $\|A\|_{{p}}=\sup _{{\|x\|_{{p}}=1}}\|Ax\|_{{p}}$
- $p=1$ : -norma, $m$ $\|A\|_{m}=\max _{j}\sum _{i}|a_{{ij}}|$
- $p=2$ ( Norma euclidiană ) și (matrice pătrată), norma subordonată a unei matrice se numește norma spectrală . Norma spectrală a unei matrice este egală cu cea mai mare valoare singulară a matricei sau cu rădăcina pătrată a celei mai mari valori proprii a unei matrice semidefinite pozitive : , unde denotă matricea conjugată la matrice . $m=n$ $A$ $A$ $A^{\dagger }A$ $\left\|A\right\|_{2}={\sqrt {\lambda _{({\text{max))))(A^{\dagger }A)))$ $A^{\pumnal }$ $A$
- $p=\infty$ : -norma $l$ $\|A\|_{l}=\max _{i}\sum _{j}|a_{{ij}}|$

Aici , este matricea conjugată cu , și este urma matricei .

A^{\pumnal }

A

{\mathrm {Tr}}

Norma din punct de vedere al elementelor ( ): $p$ $p>0$ $\|A\|_{p}=\left(\sum _{i,j}|a_{ij}|^{p}\right)^{\frac {1}{p))$
- Norma Frobenius : . $\|A\|_{F}=\|A\|_{2}={\sqrt {\sum _{i,j}|a_{ij}|^{2))}={\ sqrt {\mathrm {Tr} \,A^{\dagger }A))$

Concepte înrudite

Topologia spațiului și norma

Norma definește o metrică asupra spațiului (în sensul unei funcție de distanță a unui spațiu metric ), generând astfel un spațiu metric și, prin urmare, o topologie , a cărei bază sunt tot felul de bile deschise, adică seturi de forma . Conceptele de convergență definite în limbajul de topologie teoretică a mulțimilor într-o astfel de topologie și definite în limbajul unei norme coincid. $B(x,r)=\{y\colon \|xy\|<r\}$

Vezi și

Note

↑ M. Verbitsky. Curs introductiv în topologie. Probleme și teoreme . Litri, 20-12-2018. - S. 163-164. — 346 p.