Normă (teoria câmpului)

Norma este o mapare a elementelor unei extensii finite E a unui câmp K în câmpul original K , definită după cum urmează:

Fie E o extensie finită a câmpului K de gradul n , fie un element al câmpului E . Deoarece E este un spațiu vectorial peste K , acest element definește o transformare liniară . Această transformare într-o anumită bază poate fi asociată cu matricea . Determinantul acestei matrice se numește norma elementului α . Întrucât într-o altă bază maparea va corespunde unei matrice similare cu același determinant, norma nu depinde de baza aleasă, adică un element al extensiei poate fi asociat în mod unic cu norma sa. Se notează sau pur și simplu , dacă este clar ce extensie este în discuție. $\alfa$ $x\mapsto \alpha x$ $N_{K}^{E}(\alpha )$ $N(\alpha )$

Proprietăți

$N(\alpha )=0$ dacă și numai dacă . $\alpha =0$
$N_{K}^{E}(\alpha )=\alpha ^{[E:K]}$ pentru oricine $\alpha \în K$
$N(\alpha \beta )=N(\alpha )\cdot N(\beta )$
Norma este tranzitivă, adică pentru un lanț de extensii pe care îl avem $K\subset E\subset F$ $N_{K}^{E}(N_{E}^{F}(\alpha ))=N_{K}^{F}(\alpha )$
Dacă E = K ( α ) este o extensie algebrică simplă și f ( x ) = x n + a n -1 x n -1 + … + a 1 x+ a 0 este polinomul minim α, atunci $N_{K}^{E}(\alpha )=(-1)^{n}a_{0)$

Exprimarea normei în termeni de automorfisme ale lui E peste K

Fie σ 1 , σ 2 … σ m toate automorfismele lui E care mențin elementele câmpului K fixe . Dacă E este o extensie Galois , atunci m este egal cu gradul [ E : K ] = n . Atunci există următoarea expresie pentru normă:

$N_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha )$

Dacă E nu este separabil, atunci m≠n , dar n este un multiplu al lui m , iar câtul este o putere a caracteristicii p .

Apoi $N_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha )) ^{n/m}.$

Exemplu

Fie R câmpul numerelor reale , C câmpul numerelor complexe considerate ca o extensie a lui R . Apoi, în baza , înmulțirea cu corespunde matricei $(1,i)$ $a+bi$

{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}

Determinantul acestei matrice este , adică pătratul modulului obișnuit al unui număr complex . Rețineți că această normă este de obicei definită ca și aceasta este de acord cu faptul că singurul automorfism non-trivial al câmpului numerelor complexe este conjugarea complexă . $a^{2}+b^{2}$ $|z|^{2}=z{\bar {z)),$

Vezi și

Literatură

Van der Waerden B. L. Algebră. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Algebră comutativă. - M. : IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebră. — M .: Mir, 1967.