Normalizare (algebră)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 septembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Normalizarea este o mapare a elementelor unui câmp sau a unui inel integral într-un câmp ordonat cu următoarele proprietăți: $F$ $P$ $x\mapsto\|x\|$

1) și numai când

\|x\|\geqslant 0

\|x\|=0

x=0

\|xy\|=\|x\|\cdot \|y\|

\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|

Dacă în loc de 3) este îndeplinită o condiție mai puternică:

3a) , atunci evaluarea se numește non-Arhimedian .

\|x+y\|\leqslant \max(\|x\|,\|y\|)

Valoarea se numește norma elementului . Dacă câmpul ordonat este câmpul numerelor reale , atunci evaluarea este adesea denumită valoare absolută. $\|x\|$ $X$ $P$ $\mathbb {R}$

Norme și se spune că sunt echivalente dacă este echivalent cu . $\|\cdot \|_{1)$ $\|\cdot \|_{2)$ $\|x\|_{1}<1$ $\|x\|_{2}<1$

Exemple de normalizări

Normalizare sub care , in rest . O astfel de normalizare se numește trivială. $\|0\|=0$ $\|x\|=1$ $X$
Valoarea absolută obișnuită în domeniul numerelor reale și modulul în domeniul numerelor complexe sunt normalizări. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Fie câmpul numerelor raționale și fie un număr prim . Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție , unde și nu sunt multipli . Este posibil să se definească următoarea normalizare . Această evaluare este non-Arhimediană și se numește evaluarea p-adică . $\mathbb {Q}$ $p$ $x=p^{n}{\frac {a}{b}}$ $A$ $b$ $p$ $|x|_{p}=p^{{-n}}$

Conform teoremei lui Ostrovsky , orice normă non-trivială este echivalentă fie cu valoarea absolută , fie cu evaluarea p-adică. $\mathbb {Q}$ $|x|$

Norm Properties

$|1|=|-\!1|=1$
Pentru normalizarea cu valori reale, proprietatea este satisfăcută (aici se presupune că norma obișnuită este stabilită pe câmpul numerelor reale - modulul numărului ) ${\Bigl |}|x|-|y|{\Bigr |}\leqslant |xy|$
O evaluare cu valoare reală este non-Arhimedian dacă și numai dacă există un număr pozitiv , astfel încât pentru orice sumă de elemente de identitate ale câmpului : $A$ $F$

3b)

\|1+1+...+1\|\leqslant A

Să fie îndeplinită această condiție. Apoi pentru orice elemente și din câmp avem: $X$ $y$ $F$

$|(x+y)^{n}|=|x^{n}+\ldots +C_{n}^{i}\,x^{{ni}}\,y^{i}+\ldots + y^{n}|\leqslant (n+1)A[\max(|x|,|y|)]^{n}$

Luând rădăcina din ambele părți și trecând la limita de la , obținem condiția 3a). $n\la\infty$ Opusul este evident.

Câmpul normat ca spațiu metric

Din proprietățile 1-3 rezultă imediat că, definind distanța dintre două elemente ale unui câmp normat cu valori reale ca normă a diferenței , o transformăm într-un spațiu metric , în cazul unei norme non-Arhimede, într-un spatiu ultrametric . Norme diferite definesc metrici diferite. Normele echivalente definesc aceeași topologie în . $F$ $\|xy\|$ $F$

Aprovizionare

Ca și în cazul oricărui spațiu metric, se poate introduce conceptul de completitudine și se poate demonstra că orice câmp valorificat este izomorfic încorporat într-un câmp valorificat complet , adică există un izomorfism . Norma în continuă norma în , adică pentru fiecare dintre : , și este dens în față de această normă. Orice astfel de câmp este definit în mod unic până la un izomorfism care păstrează normele ( izometrie ) și este identic cu ; se numește completarea câmpului . $F$ $F^{*}$ $i:F\rightarrow F^{*}$ $F^{*}$ $F$ $X$ $F$ $\|i(x)\|_{F^{*}}=\|x\|$ $F$ $F^{*}$ $F^{*}$ $F$ $F$

Exemplu. Completarea câmpului numerelor raționale cu metrica p-adice este câmpul numerelor p-adice . ${\mathbb {Q}}$ ${\mathbb {Q}}_{p}$

Normalizare exponențială

Să fie o mapare de la un grup de câmp multiplicativ la un grup abelian bine ordonat , astfel încât $v$ $K^{*}$

unu)

v(xy)=v(x)+v(y)

v(x+y)\geqslant \min(v(x),v(y))

De asemenea, este convenabil să redefiniți această funcție la zero: . Operația de grup pe este definită după cum urmează: pentru orice , este ordonată în așa fel încât să fie mai mare decât toate elementele grupului original. În acest caz, proprietățile 1) și 2) rămân adevărate. $v(0)=\infty$ $\infty$ $a+\infty =\infty +a=\infty$ $A$ $\infty$

În terminologia lui Bourbaki , o funcție cu astfel de proprietăți se numește evaluare . De asemenea, termenul „normalizare” pentru o astfel de funcție este folosit de Atiyah și McDonald [1] și Leng. [2] Cu toate acestea, unii autori părăsesc termenul „normalizare” pentru o funcție care are proprietățile enumerate la începutul acestui articol, iar evaluarea Bourbaki se numește evaluare exponențială . Gama de valori ale mapării se numește grup de evaluare , iar setul acelor elemente ale câmpului pentru care este inelul de evaluare (notația - ), este ușor de verificat că este într-adevăr un inel. $v$ $X$ $K$ $v(x)\geqslant 0$ $R_{v}$

Normalizarea discretă este o normalizare exponențială, care este o mapare la grupul aditiv de numere întregi. În acest caz, inelul de evaluare se numește inel de evaluare discret .

Note

↑ Atiyah M., McDonald I. Introducere în algebra comutativă, p. 115.
↑ Leng S. Algebra, p. 337.

Literatură

Atiyah M., McDonald I. Introducere în algebra comutativă. — M .: Mir, 1972.
Van der Waerden B. L. Algebră. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Algebră comutativă. - M. : IL, 1963. - T. 2.
Leng S. Algebră. — M .: Mir, 1967.