Factorul de normalizare

Factorul de normalizare este un factor prin care expresia matematică este înmulțită astfel încât, după aceea, orice parametru semnificativ este egal cu 1. Selectarea factorului de normalizare se numește normalizare ( normalizare ).

Cel mai adesea, ne referim la situația în care o funcție nenegativă sau toți membrii unei serii de numere sunt înmulțite cu factorul de normalizare, astfel încât integrala funcției pe domeniul de definiție sau suma termenilor seriei este egală cu unu. Atunci factorul este un număr pozitiv sau o expresie algebrică independentă de argumentele funcției. O procedură similară de normalizare este utilizată în teoria probabilității și în diferite domenii ale fizicii (fizica statistică , mecanică cuantică , teoria spectrului și altele). După normalizare, funcția poate fi considerată ca o densitate de distribuție , iar seria ca o serie de distribuție .

Totuși, conceptele de „factor de normalizare”, „normalizare” sunt folosite și în alte situații care nu țin de statistică. În acest caz, scopul normalizării poate fi acela de a aduce datele la ceva mai convenabil.

Factorul de normalizare în statistică

Sarcinile legate direct sau indirect de statistici constituie principala zonă de aplicare a factorilor de normalizare. Sensul general este de a impune cerința ca probabilitatea totală a tuturor evenimentelor posibile să fie egală cu unu [1] .

Procedura de normalizare

Dacă este o funcție nenegativă definită în intervalul , atunci factorul de normalizare este $\phi(x)$ $x_{1}\ldots x_{2)$ $A$

A=\left[\int _{x_{1}}^{x_{2}}\phi (x)\,dx\right]^{-1}

în acest caz, funcția va fi normalizată. Normalizarea se realizează în mod similar în cazul multidimensional. $f(x)=A\cdot \phi (x)$

Dacă ( ) sunt membri ai unei serii numerice nenegative, factorul de normalizare se găsește ca $p(x_{n})$ $n=1,\,\,2,\ldots$ $A$

A=\left[\sum \limits _{n}p(x_{n})\right]^{-1)

în acest caz, șirul va avea semnificația unei serii de distribuție, adică o listă de probabilități de realizare a unei valori discrete . $P(x_{n})=A\cdot p(x_{n})$ $x_{n}$

Necesitatea normalizării

Cele mai semnificative și cele mai frecvente distribuții, de regulă, sunt deja înregistrate cu normalizare, adică nu sunt necesare proceduri suplimentare. De exemplu, distribuția normală a unei cantități (cu o abatere standard ) are forma analitică $X$ $\sigma$

f(x)=A\cdot \exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)={\frac {1}{{\ sqrt {2\pi }}\sigma }}\cdot \exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)

Aici se presupune domeniul de definire și condiția este îndeplinită. $-\infty \ldots +\infty$ $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=1$

Cu toate acestea, în situații mai puțin frecvente, poate fi necesară selectarea unui factor de normalizare. Să spunem, uneori este necesar să restrângem domeniul de definiție (de exemplu, în exemplul de mai sus, luați în considerare domeniul nu , ci ; apoi devine ). Nu este neobișnuit ca o distribuție să fie specificată „până la un factor constant”, adică sub forma „ [expresie]” și se presupune că acest factor constant va fi găsit prin normalizare. $X$ $-\infty \ldots +\infty$ $-\infty \ldots 0$ $A=2/{\sqrt {2\pi }}\sigma$ $\phi (x)\sim$

Exemple din domeniul fizicii

Exemplul 1 . Distribuția Maxwell pentru modulii de viteză ai moleculelor unui gaz ideal are forma ( - constanta lui Boltzmann, - temperatura, - masa unei molecule). Pentru a asigura normalizarea, factorul de normalizare trebuie să fie egal cu . $\phi (v)\sim v^{2}\cdot \exp(-mv^{2}/2kT)$ $k$ $T$ $m$ $1=\int _{0}^{+\infty }f(v)dv=\int _{0}^{+\infty }A\phi (v)dv$ $A$ $4\pi (m/2\pi kT)^{3/2}$

Exemplul 2 . Starea unei particule în mecanica cuantică este dată de funcția de undă . Pătratul modulului acestei funcții are semnificația densității probabilității de a detecta o particulă în punctul ( , , ). În acest caz trebuie îndeplinită relația , unde integrarea se realizează pe întregul volum în care se poate afla particula [2] . $\psi (x,\,y,\,z)$ $X$ $y$ $z$ $\iiiint |\psi (x,\,y,\,z)|^{2}dxdydz=1$

Exemplul 3 . Spectrul electromagnetic sau acustic continuu poate fi dat ca functie (dimensiunea W /m2 / Hz ) , - frecventa, - intensitatea totala in W/ m2 . În acest caz , densitatea distribuției de frecvență în spectru joacă un rol, iar egalitatea trebuie să fie valabilă . Dacă spectrul este discret, atunci poate fi specificat printr-un set de perechi frecvență-intensitate ( , ). În acest caz , iar seria de distribuție a frecvenței va consta din termeni , unde . $I\cdot g(\nu )$ $\nu$ $eu$ $g(\nu )$ $\int _{0}^{+\infty }g(\nu )d\nu =1$ $\nu _{n}$ $În}$ $\sum _{n}I_{n}=I$ $P(\nu _{n})=I_{n}/I$ $\sum _{n}P(\nu _{n})=1$

Normalizarea factorilor din afara statisticilor

Factorii de normalizare sunt utilizați și atunci când este de dorit să se obțină ca o anumită valoare (nu înseamnă neapărat probabilitatea totală) să fie egală cu unu.

Dacă trebuie să setați o direcție, este adesea mai convenabil să faceți acest lucru cu un vector unitar în valoare absolută, adică să folosiți nu ( , sunt orte în plan), ci , unde este factorul de normalizare. ${\vec {p}}=p_{x}{\vec {e}}_{x}+p_{x}{\vec {e}}_{y}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ ${\vec {e}}=A\cdot p_{x}{\vec {e}}_{x}+A\cdot p_{x}{\vec {e}}_{y}$ $A=(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})^{-1/2)$

La trasarea graficelor, de exemplu , dacă doar forma curbei este importantă, uneori valorile sunt normalizate cu valoarea maximă , și anume, valorile sunt înmulțite de-a lungul ordonatei cu factorul de normalizare. ; atunci cea mai mare valoare verticală va fi 1. Se practică și trecerea la unități relative (de-a lungul uneia sau ambelor axe) prin înmulțirea cu o valoare caracteristică, să zicem ; o astfel de acțiune poate fi numită și normalizare, în timp ce unitatea (de-a lungul axei ) corespunde valorii caracteristice. $y(x)$ ${\displaystyle y_{max})$ ${\displaystyle y_{max}^{-1))$ ${\displaystyle x_{0}^{-1))$ $x/x_{0)$

Normalizarea (și, în consecință, selectarea unui factor de normalizare) poate fi necesară nu numai pentru cazul fizic de mai sus al funcției de undă, ci și pentru funcțiile proprii dintr-o clasă mai largă de probleme [3] . $\int |\psi |^{2}dV=1$

Există conceptul de „ecuație normală a unei linii drepte ” [4] . Ecuația sa mai familiară ( , , sunt constante) este redusă la una normală prin înmulțirea cu un factor de normalizare , unde semnul este opus celui al lui . După înmulțire, suma pătratelor numerelor din fața și devine unitate. O situație similară se întâmplă cu „ecuația normală a planului ”. $Ax+By+C=0$ $A$ $B$ $C$ ${\displaystyle \pm (A^{2}+B^{2})^{-1/2))$ $C$ $X$ $y$

Note

↑ A. I. Volkovets , A. B. Gurinovich Teoria probabilității și statistica matematică . Minsk, BSUIR (2003), vezi f-ly: (4.9), (8.7), (10.8).
↑ P. S. Parfenov Mecanica cuantică. Ghid metodologic al atelierului de fizică cuantică. Sankt Petersburg: ITMO (2012), vezi 1.1.4. Normalizarea funcţiilor de undă .
↑ N. N. Vorobyov Teoria seriei. Moscova: Nauka (1979), vezi cap. 8, § 3: Funcții normalizate și ortogonale .
↑ I. Maltsevskaya Ecuația normală (normalizată) a unei linii drepte: descriere, exemple, rezolvare de probleme , vezi serviciul educațional Zaochnik.