Funcția de probabilitate

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 martie 2021; verificările necesită 8 modificări .

O funcție de probabilitate în teoria probabilității este o funcție care returnează probabilitatea ca o variabilă aleatorie discretă să ia o anumită valoare. De exemplu, fie o funcție de probabilitate, atunci probabilitatea ca aceasta să ia o valoare egală cu 13 este calculată prin înlocuirea valorii într-o funcție care returnează deja o probabilitate, de exemplu, 0,5 - aceasta înseamnă că probabilitatea de a obține numărul 13 este 0,5. $X$ $p:\mathbb {R} ^{n}\la [0,1]$ $X$ $X=13$ $p(X)=p(13)$

Dacă este o variabilă aleatorie scalară, funcția de probabilitate este dată de un tabel de valori posibile cu probabilitățile corespunzătoare ( ); un astfel de tabel se numește „ serie de distribuție ” [1] . $X$ $x_{i},\,p_{i)$

Funcția de probabilitate este cea mai utilizată modalitate de a caracteriza o distribuție discretă . Joacă același rol ca și densitatea de probabilitate pentru o variabilă aleatoare continuă (totuși, în această din urmă situație, nu vorbim despre probabilitatea de a realiza o anumită valoare , ci despre probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare să cadă într-o anumită valoare). interval, care se găsește prin integrarea densității de probabilitate pe acest interval). $X$

Definiții

Funcția de probabilitate arbitrară

Fie o măsură de probabilitate pe , adică este definit un spațiu de probabilitate , unde denotă σ-algebra Borel pe . O măsură de probabilitate se numește discretă dacă suportul său nu este mai mult decât numărabil , adică nu există mai mult decât o submulțime numărabilă astfel încât . $\mathbb {P}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right)$ $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P}$ $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P} (X)=1$

Funcția este definită după cum urmează: $p:\mathbb {R} ^{n}\la [0,1]$

p(x)=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {P} (\{x\}),&x\in X\\0,&x\in \mathbb {R} ^{n }\setminus X,\end{matrice}}\right.

unde este o măsură de probabilitate discretă , se numește funcție de probabilitate . Este important de înțeles aici că este o funcție definită pe mulțimi , nu numere, în timp ce este definită prin , este deja o funcție definită peste numere. $\mathbb {P}$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {P}$ $p(x)$ $\mathbb {P}$

Funcția de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete

Fie ( ) o variabilă aleatoare (vector aleatoriu). Apoi induce (induce) o măsură de probabilitate pe (on ), numită distribuție. O variabilă aleatoare se numește discretă dacă distribuția ei este discretă. Funcția de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete are forma: $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n)$ $\mathbb {P} ^{X}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $p_{X}$ $X$

p_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}(\{x\})\equiv \mathbb {P} (X=x)

p_{X}(x_{i})=\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i\in \mathbb {N} ,

unde este setul de valori care . ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \))$ $X$

Proprietăți ale funcției de probabilitate

Din proprietățile probabilității , este evident[ cui? ] urmează:

$p_{X}(x_{i})\geqslant 0,\;\forall i\in \mathbb {N}$ .
$\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{X}(x_{i})=1$ .
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare poate fi exprimată în termenii funcției de probabilitate:

F_{X}(x)=\sum \limits _{x'\leqslant x}p_{X}(x')

Dacă , atunci $X=(X_{1},X_{2})$

\sum \limits _{x_{2}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{1}}(x_{1} )

\sum \limits _{x_{1}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{2}}(x_{2} )

unde este funcția de probabilitate a vectorului și este funcția de probabilitate a mărimii . Această proprietate se generalizează în mod evident la vectori aleatori de dimensiune . $p_{X_{1},X_{2))$ $(X_{1},X_{2})$ $p_{X_{i)}$ $X_{i},\;i=1,2$ $n>2$

Așteptările matematice ale unei funcții de la o mărime discretă, atunci când aceasta există, este:

\mathbb {E} [g(X)]=\sum \limits _{i=1}^{n}g(x_{i})\,p_{i)

cu condiţia ca seria din dreapta să convergă absolut .

Exemple de distribuții discrete

Vezi și

Probabilitate densitate

Note

↑ E. S. Wentzel , A. A. Ovcharov Teoria probabilității. M.: Nauka (1973), vezi p. 88.