Pachet de module

În matematică , un snop de module este un snop peste un spațiu inel care are structura unui modul peste un snop structural . $(X,O_{X})$ $O_{X}$

Definiție

Pentru un spațiu inel , un snop de -module (sau pur și simplu -module ) este un snop peste astfel încât este un -modul pentru fiecare set deschis și pentru fiecare set deschis conținut în , maparea constrângerii este în concordanță cu structura modulelor: pentru fiecare pe care îl avem $(X,O_{X})$ $O_{X}$ $O_{X}$ $F$ $X$ $F(U)$ $O_{X}(U)$ $U$ $V$ $U$ $F(U)\la F(V)$ $a\in O_{X}(U), f\in F(U)$

(af)|_{V}=a|_{V}f|_{V}

Un morfism -modul este un morfism de snopi astfel încât pentru orice set deschis maparea este un morfism -modul . $O_{X}$ $F\la G$ $U$ $F(U)\la G(U)$ $O_{X}(U)$

Exemple

Structura snopului este un -modul. Un snop de -module care este un subsnop de snop este numit un snop de idealuri pe . $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $X$
Dacă este un morfism de -module, atunci nucleul , imaginea și cokernelul sunt -module. $f:F\to G$ $O_{X}$ $f$ $O_{X}$
Orice sume directe , produse directe , limite directe și inverse ale -modulelor sunt -module. Un snop de module este numit liber dacă este izomorf la o sumă directă a mai multor copii . Un snop de -module se numește local liber ( de rang ) dacă fiecare punct are o vecinătate deschisă pe care este liber (este izomorf la suma directă a copiilor snopului ). Un snop liber local de rang 1 se mai numește și snop inversabil . $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $F$ $r$ $X$ $F$ $r$ $O_{X}$
Dacă sunt snopi de -module, atunci se poate defini un snopi de morfisme de la la după cum urmează: $F,G$ $O_{X}$ $F$ $G$ $U\mapsto Hom_{O_{X}(U)}(F(U),G(U)).$ Dualul dintre -module $O_{X}$ la --module este modulul morfismelor de la la . $O_{X}$ $F$ $F$ $O_{X}$
Snopul asociat cu presnop este notat cu . Fibra sa într-un punct este izomorfă canonic . Produsul simetric și exterior este definit în mod similar. $U\to F(U)\otimes _{O_{X}(U)}G(U)$ $F\otimes _{O_{X}}G$ $X$ $F_{x}\otimes _{O_{X,x}}G_{x}$

Literatură

Hartshorne R. Geometrie algebrică / transl. din engleza. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonne, Jean . „Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas” . Publications Mathématiques de l'IHES. 4 , 1960.