Spațiu inelat

Un spațiu inel este un spațiu topologic , fiecare dintre ele deschise fiind asociată cu un inel comutativ de „funcții” pe această mulțime. Spațiile inelate, în special, sunt utilizate în definirea schemelor .

Definiție

Un spațiu inel este un spațiu topologic împreună cu un snop de inele comutative pe el. Acest snop este numit snop structural spațial . $(X,{\mathcal O}_{X})$ $X$ ${\mathcal O}_{X}$ $X$

Un spațiu inel local este un spațiu inel astfel încât fibra snopului în orice punct este un inel local . ${\mathcal O}_{X}$

Exemple

Orice spațiu topologic poate fi înzestrat cu structura unui spațiu local inelat dacă luăm în considerare un snop de funcții continue cu valori reale pe acesta. Fibra acestui snop în punctul x — inelul germenilor de funcții continue cu valori reale la x — este un inel local al cărui singur ideal maxim sunt germenii funcțiilor care dispar la x . În mod similar, o manifold netedă cu un creion de funcții netede este un spațiu local inelat.

Dacă X este o varietate algebrică cu topologia Zariski (de exemplu, spectrul unui inel), structura unui spațiu local inelat de pe acesta se introduce astfel: este mulțimea de funcții raționale definite pe întregul U . Un astfel de spațiu inel este numit o schemă afină , schemele generale sunt definite ca rezultat al „lipirii” mai multor scheme afine. ${\mathcal O}_{X}(U)$

Morfisme ale spațiilor inelate

Pentru a specifica un morfism de la la , trebuie să remediați următoarele informații: $(X,{\mathcal O}_{X})$ $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$

Afișare continuă . $f:X\la Y$
Pentru fiecare submulțime deschisă , un homomorfism inel . $U\în Y$ $\varphi _{U}:{\mathcal {O}}_{Y}(U)\la {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(U))$

Homomorfismele inelului trebuie să fie în concordanță cu structura snopului, adică trebuie să facă naveta cu mapările de restricție. Și anume, dacă sunt submulțimi deschise de , următoarea diagramă trebuie să fie comutativă: $V_{1}\subset V_{2}$ $Y$

Morfismele spațiilor inelate local trebuie să satisfacă încă o cerință. Omomorfismele pentru fiecare punct induc un homomorfism de la un strat la un punct la un strat la un punct . Este necesar ca toate aceste homomorfisme să fie locale , adică ele duc idealul maxim al preimaginei la un subset al idealului maxim al imaginii. $\varphi$ $x\în X$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ $f(x)$ ${\mathcal O}_{X}$ $X$

Spațiu tangent

Structura spațiilor inelate local ne permite să introducem o definiție semnificativă a unui spațiu tangent în punctul său. Luați în considerare un punct din spațiul inelat . Luați în considerare un inel local (fibră snop la x ) cu ideal maxim . Atunci este un câmp, este un spațiu vectorial peste acest câmp. Spațiul tangent într-un punct este definit ca dual al acestui spațiu. $x\în X$ $(X,{\mathcal O}_{X})$ $R_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ $R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $X$

Ideea este aceasta: spațiul tangent este format din vectori de-a lungul cărora se pot „diferenția” „funcțiile” la un punct dat, adică elementele inelului . Este suficient să găsiți o modalitate de a diferenția funcțiile a căror valoare într-un punct dat este egală cu zero, deoarece restul diferă de ele printr-o constantă, adică este suficient să descriem derivatele funcțiilor din . În acest caz, diferența produsului a două funcții de la este egală cu zero (dorim ca formula pentru derivata produsului să rămână adevărată). Prin urmare, vectorul trebuie să atribuie un număr fiecărui element și asta fac elementele spațiului dual . $R_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$

Este ușor de verificat că în cazul colectoarelor netede cu un snop de funcții netede această definiție coincide cu cea obișnuită. Pe de altă parte, în cazul unui spațiu topologic cu un creion de funcții continue (cu valori reale) , deoarece pentru o funcție continuă funcția este și continuă. Prin urmare, în acest caz, spațiul tangent în orice punct are dimensiunea 0. ${\mathfrak {m}}_{x}={\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $f(x)$ ${\sqrt {|f(x)|}}$

Literatură

Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). Elements de geométrie algébrique: I. Le langage des schémas. Arhivat 6 martie 2016 la Wayback Machine Publications Mathématiques de l'IHÉS 4. Secțiunea 0.4.
Spațiu inelat - articol din Encyclopedia of Mathematics . A. L. Onishchik