Produs (teoria categoriei)

Produsul a două sau mai multe obiecte este o generalizare în teoria categoriilor a unor concepte precum produsul cartezian al mulţimilor , produsul direct al grupurilor şi produsul spaţiilor topologice . Produsul unei familii de obiecte este, într-un sens, obiectul cel mai general care are morfisme la toate obiectele familiei.

Definiție

Fie o familie indexată de obiecte (nu neapărat distincte) din categoria . Un obiect de categorie , împreună cu o familie de morfisme , este un produs al unei familii de obiecte dacă, pentru orice obiect și orice familie de morfisme , există un morfism unic pentru care următoarea diagramă este: $\{X_i\}_{i \in I}$ $C$ $X$ $C$ $\pi_i\colon X \to X_i$ $\{X_i\}_{i \in I}$ $Y\în C$ $f_i\colon\, Y \la X_i$ $f\colon\, Y\la X$

este comutativă pentru fiecare (adică ). Morfismele sunt numite proiecții canonice . $i\în eu$ $\pi_i \circ f = f_i$ $\pi _{i}$

Definiția de mai sus este echivalentă cu următoarea:

Un obiect împreună cu o familie de proiecții este un produs al unei familii de obiecte dacă și numai dacă pentru orice obiect maparea $X$ $\{\pi_i\}_{i \in I}$ $\{X_i\}_{i \in I}$ $Y\în C$

\mathrm{Hom}_{C}(Y,X) \rightarrow \prod_{i\in I} \mathrm{Hom}_{C}(Y,X_i),\; f\mapsto \prod_{i\in I} (\pi_i \circ f)

bijectiv .

Produsul a două obiecte este de obicei notat cu , iar diagrama ia forma $X_1 \time X_2$

Morfismul este uneori notat cu . $f$ $\lang f_1,f_2 \rang$

Unicitatea rezultatului operației poate fi exprimată alternativ ca o egalitate adevărată pentru orice . [unu] $\lang -,- \rang$ $\lang \pi_1 \circ h,\pi_2 \circ h \rang = h$ $h$

Exemple

În categoria seturilor, categoria produs este același cu produsul cartezian .
În categoria spațiilor topologice, unui produs de spații îi corespunde un spațiu al cărui suport este produsul cartezian al suporturilor factorilor, iar topologia este definită ca produsul topologiilor acestora.
În categoria grupurilor , produsul grupurilor este definit ca produsul lor direct .
În categoria soiurilor proiective , produsul categoric poate fi definit folosind încorporarea Segre .
O mulțime parțial ordonată poate fi considerată ca o categorie în care există un morfism de la la dacă și numai dacă (prin definiție) când (în plus, nu poate exista mai mult de un morfism între două obiecte). În acest caz, produsul unei familii de obiecte ordonate liniar este cea mai mare limită inferioară a acestora, iar coprodusul este cea mai mică limită superioară. $A$ $b$ $a\geqslant b$

Proprietăți

Dacă un produs al obiectelor există, atunci acesta este unic până la un izomorfism .
Comutativitate : $a \times b \simeq b \times a.$
Asociativitate : $(a\times b)\times c \simeq a\times (b\times c)$
Dacă există un obiect terminal în categoria , atunci $\ unu$ $a \times 1 \simeq 1 \times a \simeq a.$
Proprietățile de mai sus sunt formal similare cu cele ale unui monoid comutativ . Mai precis, o categorie în care produsul dintre oricare două obiecte este definit și există un obiect terminal este o categorie monoidală simetrică .

Distributivitatea

În general, există un morfism canonic în care plus denotă un coprodus al obiectelor. Aceasta rezultă din existența proiecțiilor și înglobărilor canonice și din comutativitatea diagramei următoare: $X\ori Y+X\ori Z\la X\ori (Y+Z)$

Proprietatea de universalitate pentru garantează existența morfismului cerut. O categorie se numește distributivă dacă acest morfism din ea este un izomorfism . $X\ori (Y+Z)$

Matricea de transformare

Orice morfism

f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j

generează un set de morfisme

f_{ij} \colon a_i \to b_j

dată de regulă şi numită matrice de transformare . În schimb, orice matrice de transformare specifică un morfism unic corespunzător.Dacă există un obiect nul în categorie, atunci pentru oricare două obiecte există un morfism nul canonic : În acest caz, matricea de transformare , dată de regula $f_{ij} = \pi_j \circ f \circ \imath_i$ $f_{ij} \colon a_i \to b_j$ $\scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j.$ $0,$ $X y$ $0_{xy}:x\la 0\la y.$ $\scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{i\in I} a_i$

f_{ij} = \left\{ \begin{matrix} 0_{a_ja_i},~ i\ne j \\ \mathrm{id}_{a_i},~ i=j \end{matrix} \right.

se numește matricea identității .

Exemplu

În categoria spațiilor vectoriale cu dimensiuni finite, coprodusul spațiilor este același cu produsul lor și este suma lor directă . În acest caz, definițiile categorice și uzuale ale matricei de transformare coincid, deoarece orice spațiu finit-dimensional poate fi descompus într-o sumă directă a celor unidimensionale, precum și într-un produs direct al celor unidimensionale. Diferența este că, în definiția categorială, elementele matricei sunt transformări ale unui spațiu unidimensional într-un spațiu unidimensional, în timp ce în definiția obișnuită, bazele sunt alese în aceste spații unidimensionale și doar coordonatele imaginii de poate fi specificat vectorul de bază al spațiului pre-imagine în baza spațiului imagine. $\mathcal{V}ect_f$

Vezi și

Un coprodus este un concept dual cu un produs.
Categoria închisă carteziană

Note

↑ Lambek J., Scott PJ Introducere în logica categorială de ordin superior. - Cambridge University Press, 1988. - S. 304.

Literatură

Bucur I., Deleanu A. Introduction to the theory of categories and functors = Introduction to the theory of categpries and functors. - M .: Mir , 1972. - S. 39. - 259 p.
McLane S. Categorii pentru matematicianul care lucrează. - M. : Fizmatlit, 2004 [1998].
Zharinov VV Câteva metode algebro-geometrice în fizica matematică . - S. 8. - 82 p.