Coprodus

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 decembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Coprodusul ( suma categorică ) al unei familii de obiecte este o generalizare în teoria categoriilor a conceptelor unei uniuni disjunctive de mulțimi și spații topologice și o sumă directă de module sau spații vectoriale . Coprodusul unei familii de obiecte este obiectul „cel mai general” în care există un morfism din fiecare obiect al familiei. Coprodusul obiectelor este dual cu produsul lor , adică definiția unui coprodus poate fi obținută din definiția unui produs prin inversarea tuturor săgeților. Cu toate acestea, în multe categorii, produsul și coprodusul obiectelor sunt izbitor de diferite.

Definiție

Fie o categorie și o familie indexată a obiectelor sale. Coprodusul acestei familii este un obiect , împreună cu morfisme numite înglobări canonice , astfel încât pentru orice obiect dintr-o categorie și familie de morfisme există un morfism unic , astfel încât , adică, următoarea diagramă este comutativă pentru fiecare : ${\mathcal C}$ $\{X_{j}|j\în J\}$ $X$ $i_{j}\colon \,X_{j}\to X$ $Y$ ${\mathcal C}$ $f_{j}\colon \,X_{j}\la Y$ $f\coloan\,X\la Y$ $f_{j}=f\circ i_{j}$ $j$

Coprodusul unei familii este de obicei notat $\{X_{j}\}$

X=\coprod _{{j\in J}}X_{j}

X=\bigoplus _{{j\in J}}X_{j}.

Uneori se notează un morfism $f$

f=\coprod _{{j\in J}}f_{j}:\coprod _{{j\in J}}X_{j}\la Y

pentru a sublinia dependenţa sa de . $f_{j}$

Coprodusul a două obiecte este de obicei notat cu sau , apoi diagrama ia forma $X_{1}\coprod X_{2}$ $X_{1}\oplus X_{2}$

În consecință, notează în același timp , sau . $f$ $f_{1}\coprod f_{2}$ $f_{1}\oplus f_{2}$ $[f_{1},f_{2}]$

Unicitatea rezultatului operației poate fi exprimată alternativ ca o egalitate adevărată pentru orice . [unu] $[-,-]$ $[h\circ i_{1},h\circ i_{2}]=h$ $h$

Există o definiție echivalentă a unui coprodus. Coprodusul unei familii este un obiect astfel încât pentru orice obiect funcția dată ca este bijectivă. [2] $\{X_{j}|j\în J\}$ $X$ $Y\în C$ ${\text{Hom}}(X,Y)\rightarrow \prod _{{j\in J}}{\text{Hom}}(X_{j},Y)$ $u\mapsto \{u\circ i_{j}\}$

Exemple

În categoria mulțimilor, coprodusul unei familii de mulțimi este uniunea lor disjunsă , mapările canonice sunt înglobări evidente . În acest caz, proprietatea universală poate fi exprimată astfel: pentru a defini o funcție pe o uniune disjunsă, este suficient (și necesar) să definiți o funcție pe fiecare dintre componentele sale. $i_{j}$
În categoriile de spații vectoriale , module și grupuri abeliene, un coprodus se numește sumă directă .
În categoria tuturor grupelor , un coprodus este un produs gratuit .
În categoria spațiilor topologice, coprodusul este unirea disjunctă a mulțimilor purtătoare ale spațiilor originale, iar baza topologiei se obține prin unirea (mai precis, imaginile sub înglobare canonică) a bazelor originale.

Proprietăți

Dacă suma obiectelor există, atunci este unică până la izomorfism .
Comutativitate : $a+b\simeq b+a.$
Asociativitate : $(a+b)+c\simeq a+(b+c)$
Dacă există un obiect inițial în categoria , atunci $\0$ $a+0\simeq 0+a\simeq a.$
O categorie în care există coproduse ale oricărui set de obiecte este un exemplu de categorie monoidală simetrică .

Distributivitatea

În general, există un morfism canonic în care plus denotă un coprodus al obiectelor. Aceasta rezultă din existența proiecțiilor și înglobărilor canonice și din comutativitatea diagramei următoare: $X\ori Y+X\ori Z\la X\ori (Y+Z)$

Proprietatea universală garantează existența morfismului dorit. O categorie se numește distributivă dacă acest morfism din ea este un izomorfism . $X\ori (Y+Z)$

Vezi și

Matricea de transformare este un analog categoric al matricei de transformare liniară.
Limite și colimite

Note

↑ Lambek J., Scott PJ Introducere în logica categorială de ordin superior. - Cambridge University Press, 1988. - S. 304.
↑ Bucur I., Deleanu A. Introducere în teoria categoriilor și functorilor. - M. : „Mir”, 1972.

Literatură

McLane S. Categorii pentru matematicianul care lucrează. - M. : Fizmatlit, 2004 [1998].