Număr reciproc

Reciprocul unui număr X dat este numărul a cărui înmulțire prin x dă unul . Intrare acceptată: sau . Două numere al căror produs este 1 se numesc reciproce . Reciprocul unui număr nu trebuie confundat cu reciproc al unei funcții. De exemplu, diferă de valoarea funcției inversă pentru cosinus - arccosină , care este notată sau . ${\frac {1}x}$ $x^{{-1}}$ ${\frac {1}{\cos {x}}}$ $\cos ^{{-1}}x$ $\arccos x$

Invers la numărul real

Pentru orice număr real (sau complex ), altul decât zero , există un număr care este invers. Reciprocul unui număr real poate fi dat ca fracție sau o putere cu exponentul -1 . Dar, de regulă, se folosește notația printr -o fracție.

Număr	Verso
Număr	Fracțiune	grad
$n$	${\frac {1}{n}}$	$n^{{-1}}$

Adică . $\ {\frac {1}{n}}=n^{{-1}}$

Exemple
Număr	$3$	${\frac {1}{10}}$	$-{\frac {2}{7}}$	$2\pi$	$2$	$-0,125$	$unu$	$\sqrt{3}$	$e^{{{\frac {\pi }{4}}}}$	$10^{{23}}$
Verso	${\frac {1}{3}}$	$zece$	$-{\frac {7}{2}}$	${\frac {1}{2\pi }}$	$0,5$	$-opt$	$unu$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$e^{{-{\frac {\pi }{4}}}}$	$10^{{-23}}$

Nu confundați termenii „număr reciproc” și „ număr opus ”. Se spune că două numere sunt opuse dacă suma lor este zero. De exemplu, numărul opus 3 este −3, iar reciprocul este 1/3.

Invers la zero

În aritmetică, care funcționează cu numere reale (sau complexe), nu există niciun concept de infinit (nu există niciun număr „infinit”). Prin urmare, se consideră că este imposibil de împărțit cu zero . Deci Zero nu are reciproc. Dar, de la introducerea tranziției limită (în analiza matematică ), au apărut concepte precum infinite și infinit de mari cantități mari care sunt inversate reciproc.

Folosind trecerea la limită, obținem:

Limita corectă: _ sau _ $\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[ {x{\xrightarrow {}}+0}]{}}\ {+\infty }$
Limita stângă: _ sau _ $\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[ {x{\xrightarrow {}}-0}]{}}\ {-\infty }$

Astfel, reciprocul de zero, în funcție de ce parte să te străduiești, este formal infinit cu semnul „+” sau „-” . Cu toate acestea, o astfel de definiție a inversului la zero este lipsită de sens - introducerea pierde distribuția, care se manifestă, în special, atunci când limita pătrată inversă este, de asemenea, „egală” cu infinitul, dar atunci când împărțim limita anterioară, aceasta dă Răspunsul 0, nu 1.

$\lim _{{x\to +0}}{\frac {1}{x^{2}}}={+\infty }$

Dar $\lim _{{x\to +0}}{\frac {{\frac {1}{x}}}{{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{{x\to +0}}{\frac {x^{2}}{x}}=0$

Invers la număr complex

Inversele de numere complexe arată ceva mai complicate decât inversele celor reale. Există trei forme ale unui număr complex: algebrică , trigonometrică și exponențială .

Formulare complexe de număr	Număr $(z)$	Invers [1] $\left({\frac {1}{z}}\right)$
Algebric	$x+iy$	${\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$
trigonometric	$r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$	${\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i\sin \varphi )$
Demonstrație	$re^{{i\varphi }}$	${\frac {1}{r}}e^{{-i\varphi }}$

Desemnare și dovadă

Desemnare

$z\in {\mathbb {C}}$ (număr complex), (partea reală a unui număr complex), (parte imaginară a unui număr complex), - unitate imaginară , (modulul unui număr complex), (argumentul unui număr complex), - baza logaritmului natural .
$x=\operatorname {Re} (z)\in \mathbb {R}$
$y=\operatorname {Im} (z)\in \mathbb {R}$
$i$
$r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$
$\varphi =\operatorname {arg} z=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}$
$e$

Dovadă:
Pentru forme algebrice și trigonometrice, folosim proprietatea de bază a unei fracții , înmulțind numărătorul și numitorul cu conjugatul complex :

Forma algebrică:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{x+iy}}={\frac {x-iy}{(x+iy)(x-iy)}}={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$

Formă trigonometrică:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}}={\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{(\cos \varphi +i\sin \varphi )(\cos \varphi -i\sin \varphi )}}={\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi }}={\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i\sin \varphi )$

Forma indicativă:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{re^{{i\varphi }}}}={\frac {1}{r}}e^{{-i\varphi }}$

Astfel, atunci când găsiți inversul unui număr complex, este mai convenabil să folosiți forma sa exponențială.

Exemplu:

Formulare complexe de număr	Număr $(z)$	Invers [1] $\left({\frac {1}{z}}\right)$
Algebric	$1+i{\sqrt {3}}$	${\frac {1}{4}}-{\frac {{\sqrt {3}}}{4}}i$
trigonometric	$2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)$ sau [2] $2\left({\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right)$	${\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\pi }{3}}-i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)$ sau [2] ${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right)$
Demonstrație	$2e^{{i{\frac {\pi }{3}}}}$	${\frac {1}{2}}e^{{-i{\frac {\pi }{3}}}}$

Invers la unitatea imaginară

Există doar două numere ( conjugat complex ) ale căror reciproce și opuse sunt egale. Acesta este . $\pm i$

Număr	Egalitatea inversă și opusă
Număr	Scriind inversul printr -o fracție	Scriind inversul prin grad
$i$	${\frac {1}{i}}=-i$	$i^{{-1}}=-i$
$-i$	$-{\frac {1}{i}}=i$	$-i^{{-1}}=i$

Dovada

Să demonstrăm dovada pentru (pentru similar). Folosim proprietatea principală a fracției : astfel, obținem __ sau __ în mod similar pentru : __ __ sau __ $i$ $-i$

${\frac {1}{i}}={\frac {1\cdot i}{i\cdot i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i$

${\frac {1}{i}}=-i$ $i^{{-1}}=-i$

$-i$ $-{\frac {1}{i}}=i$ $-i^{{-1}}=i$

Note