Infinit

Infinitul este o categorie de gândire umană folosită pentru a caracteriza obiecte și fenomene nelimitate, nelimitate, inepuizabile pentru care este imposibil să se indice limite sau o măsură cantitativă [1] . Folosit spre deosebire de finit, numărabil, având o limită. Cercetate sistematic în matematică , logică și filozofie , sunt studiate și întrebările despre percepția, statutul și natura infinitului în psihologie , teologie , respectiv fizică

Din punct de vedere istoric, primele probleme ale infinitului sunt chestiuni legate de caracterul finit al spațiului și al timpului, numărul de lucruri din lume, probleme mai complexe - posibilitatea diviziunii infinite a continuumului , posibilitatea de a opera cu obiecte infinite ( problema infinitezimale actuale ), natura și comportamentul mărimilor infinitezimale - infinitezimale , prezența diferitelor tipuri de infinit și relația dintre ele [1] . Cel mai profund studiu al infinitului a fost întreprins în teoria matematică a mulțimilor , în care au fost construite mai multe sisteme de măsurători ale diferitelor tipuri de obiecte infinite, însă, fără restricții artificiale suplimentare, astfel de construcții provoacă numeroase paradoxuri , moduri pentru a le depăși, statutul construcțiilor teoretice de mulțimi, generalizările și alternativele lor sunt direcția principală a studiilor infinitului de către filozofii moderni .

Concepte de bază

Infinitul potențial și actual

Infinitul poate fi considerat ca nelimitarea unui anumit proces, de exemplu, când al doilea postulat al lui Euclid afirmă posibilitatea de a continua orice linie dreaptă infinit și continuu, înseamnă că procesul poate fi continuat continuu, dar existența unei astfel de linii independente. obiectul ca o linie dreaptă infinită nu decurge din el. Asemenea procese și seturi de obiecte care le descriu sunt caracterizate ca infinit potențial (în scolastică se folosește termenul „ infinit sincategorematic ”), infinitul potențial nu implică obiecte și fenomene infinite integrale, în fiecare fază a procesului infinit doar entități finite. sunt considerate, adică este doar negație parțială a finitului [1] .

O alternativă este conceptul de infinit actual (în scolastică - „ infinitul categorematic ”), care înseamnă a considera obiectele finit nemăsurabile ca date, ca existente cu adevărat, dar în același timp ca unificate și integrale, cu care se poate opera . 1] . În acest sens, infinitul actual - ca o negație directă și completă a finitului - este folosit de mistici pentru a caracteriza diverse categorii divine, matematicienii de astăzi operează cu mulțimi de fapt infinite și de fapt spații infinit-dimensionale . Ideile despre admisibilitatea și conținutul infinitului actual în filozofie, teologie, logică, matematică și științe naturale s-au schimbat semnificativ de-a lungul întregii perioade de examinare a problemei.

Infinitul calitativ și cantitativ

Infinitul calitativ este o categorie care determină natura universală, inepuizabilă, universală a conexiunilor dintre obiecte și fenomene [2] , întrucât infinite calitativ sunt considerate în momente diferite în diferite școli filosofice precum Absolut , Cosmos , Dumnezeu , Minte și altele.

Infinitul cantitativ caracterizează procesele și obiectele, a căror măsurare este imposibilă prin mărimi finite; matematicienii operează cu infinitul cantitativ, studiind, de exemplu, proprietățile serii infinite, spații infinit-dimensionale, mulțimi ale unui număr infinit de elemente; în logică și filozofie, sunt explorate posibilitățile și limitările unei astfel de lucrări cu infinit cantitativ.

Continuum

Continuum ( lat. continuum ) este o formă de infinit, referindu-se la ideea de continuitate, integritate a obiectelor în sensul posibilității divizării lor infinite în părți constitutive și infinitate potențială a acestui proces. Continuitatea se opune discretității , discontinuității, prezenței componentelor (atomice) indivizibile. Continuul reprezintă segmente ale axei numerelor ( continuum în teoria mulțimilor ), un anumit tip de spații mărginite și separabile , într-un sens similar cu segmentele axei numerelor ( continuum în topologie ), pe baza studiului proprietăților infinitului. divizibilitatea continuumului în matematică, sa format conceptul de continuitate . Întrebările despre natura ontologică a continuumului, statutul continuumului în știința naturii s-au reflectat în multe lucrări ale filozofilor încă din antichitate [3] .

Infinitesimal

Infinitesimalele sunt infinitezimale care apar în procese potențial infinite caracterizate printr-o scădere succesivă a valorilor, în special, la împărțirea continuumului în părțile sale constitutive, în secvențe numerice descrescătoare, uneori în ideea structurii atomice a universului sau a conștiinței. Descrierea matematică a infinitezimale creată de Newton și Leibniz în calculul infinitezimal a devenit baza analizei matematice [4] .

În matematică

Teoria numerelor

Una dintre principalele surse de idei timpurii despre infinit au fost numerele naturale și infinitatea potențială a seriei naturale . Unul dintre primele rezultate non-triviale despre infinit în teoria numerelor este considerat a fi dovada opusă a infinitității mulțimii de numere prime din „ Principiile ” lui Euclid [5] : dacă presupunem că mulțimea de numere este finită, atunci numărul egal cu suma unuia și produsul tuturor numerelor din această mulțime nu este divizibil niciunul dintre ele, dar în același timp fie este prim însuși, fie este divizibil cu un număr prim care nu este inclus în set original; ambele contrazic premisa originală. Judecata teoretică a numerelor a infinitului reprezintă paradoxul lui Galileo : fiecare număr poate fi asociat cu pătratul său , adică există cel puțin la fel de multe pătrate ca toate numerele, dar nu orice număr poate fi înrădăcinat, adică pătratele sunt doar o parte din mulţimea tuturor numerelor [6] .

În teoria numerelor, utilizarea oricărei abstracții a infinitului actual nu este necesară, cu toate acestea, multe dintre problemele sale sunt asociate cu formularea condițiilor pentru infinit, de exemplu, începând cu 2019, întrebări despre infinitul mulțimii de numere prime modulo care un întreg dat este rădăcină primitivă ( ipoteza lui Artin ), infinitatea mulțimii de prime gemene , infinitatea pentru orice număr par al mulțimii de perechi de numere prime învecinate, diferența dintre care este egală cu aceasta ( ipoteza lui Polignac ), infinitatea set de numere perfecte .

Rânduri nesfârșite

Prima dovadă a utilizării unei serii infinite se găsește în Arhimede în Quadrature of the Parabola, unde, pentru a demonstra afirmația despre raportul de 4: 3 a ariilor segmentului închis între linie și parabolă , și triunghi , care are aceeași bază și înălțime egală cu el, el însumează seria infinită :

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n))}=1+{\frac {1}{4^{1))}+{\frac {1 }{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={4 \over 3}

iar apoi reverifică rezultatul prin metoda contradicției [7] .

În anii 1340, Swainshead găsește pentru prima dată suma unei serii infinite care nu este o simplă progresie geometrică descrescătoare :

\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3 } + \frac{4}{2^4} +\cdots = 2

Tot în secolul al XIV-lea, Oresme lucrează cu serii infinite , folosind dovezi geometrice clare, obține sume de serii numerice mai degrabă netriviale, găsește (fără dovezi) formula pentru suma unei progresii geometrice infinite și demonstrează divergența seria armonică [7] .

În secolul al XVI-lea, folosind rezultatele lui Orem, Tomas găsește sumele unor progresii infinite formate prin legi complexe [7] . În India, în secolul al XV-lea, s-au obținut extinderi ale funcțiilor trigonometrice în serii infinite de puteri [7] , cea mai semnificativă contribuție a adus-o Madhava din Sangamagrama [8] .

Mengoli într-un tratat publicat în 1650 stabilește o serie de proprietăți importante ale seriei, introduce conceptul de rest al unei serii, considerând implicit seria ca obiecte integrale și, de asemenea, dovedește divergența unei serii armonice generalizate [9] . Mercator în 1668 a descoperit extinderea funcției logaritmice într-o serie de puteri [10] , iar în 1667 Grigory - extinderea funcțiilor trigonometrice , iar în sfârșit, Taylor , generalizând rezultatele lui Mercator, Grigory și, de asemenea , Newton , în 1715 arată că posibilitatea de a extinde într-o serie infinită orice funcție analitică la un punct dat, stabilindu-se astfel posibilitatea reprezentării valorilor unei clase extinse de funcții prin sume infinite.

Calcul infinitezimal

Deși metoda epuizării , cunoscută încă din antichitate, și metoda indivizibililor , formulată de Cavalieri în 1635, utilizează într-o oarecare măsură reducerea la infinitezimale, primele încercări de algebrizare a operațiilor cu infinitezimale au fost făcute de Wallis , Barrow și Gregory la mijlocul secolul al XVII-lea, Într-o formă explicită, abstracția matematică a infinitezimale a fost creată în anii 1680 aproape simultan de Newton în „metoda fluxurilor” ( incremente infinite mici ) și Leibniz (care a definit diferențiala ) [4] .

Definiții stricte ale infinitezimale folosind conceptele de limită , convergență și continuitate au fost date în secolul al XIX-lea de către Cauchy și Weierstrass , cea mai tradițională în aceste definiții a fost așa-numita -formulare (de exemplu, este considerată limita Cauchy ). a unei funcții într-un punct dacă pentru oricare există astfel încât pentru oricare să satisfacă condiția , ). Definițiile mai recente ale infinitezimale folosesc tehnica vecinătăților — submulțimi deschise ( Heine ), care sunt generalizate în mod natural într -o topologie generală (care abstrage noțiunea de mulțime deschisă ). $\alfa$ $f$ $x_{0}$ $\varepsilon >0$ $\delta > 0$ $X$ $0 < \left| x - x_0 \right| < \delta$ $\left| f \left( x \right) - \alpha \right| < \varepsilon$ $\mathbb {R}$

În analiza non-standard a lui Robinson (anii 1960), infinitezimale sunt introduse ca un fel de numere generalizate care nu depășesc pentru niciun , clasa tuturor acestor numere este actualizată de „monada zero” [11] . $1/n$ $n \in \mathbb N$ $\mu (0)$

Analiză matematică

În analiza matematică , creată pe baza calculului infinitezimal , se introduce în mod explicit și abstractizarea unor cantități infinit de mari : simboluri ale punctelor infinit depărtate și se adaugă la mulțimea numerelor reale ( se construiește o linie numerică extinsă ), care sunt utilizate pentru a determina valorile la limită și convergența. Este posibil să operați cu simboluri (iată un număr real): $+\infty$ $-\infty$ ${\overline {\mathbb {R} }}=\{-\infty \}\cup \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ $\alfa$

\pm \infty +\alpha =\pm \infty

(+\infty )+(+\infty )=+\infty

(-\infty )+(-\infty )=-\infty

\pm \infty \cdot 1=\pm \infty

\pm \infty \cdot -1=\mp \infty

\pm \infty \cdot +\infty =\pm \infty

\pm \infty \cdot \alpha =\operatorname {sgn} \alpha \cdot \pm {\infty }\,(\alpha \neq 0)

\pm \infty {\big /}\alpha =\operatorname {sgn} \alpha \cdot \pm \infty \,(\alpha \neq 0)

\alpha {\big /}\pm \infty =0\,(\alpha \neq \pm \infty )

\left(\left\vert {\frac {\alpha }{0}}\right\vert =+\infty \right)\,(\alpha \neq 0)

\left(\left\vert {\frac {\pm \infty {0)}\right\vert =+\infty \right)

totuşi, cu unele limitări: în cazul unor situaţii incerte

\left(\pm \infty -\pm \infty \right),\\left({\frac {\infty }{\infty }}\right),\\left({\frac {0}{ 0}}\right),\ \left(~0^{0}\right),\ \left(1^{\infty }\right),\ \left(\infty ^{0}\right),\ (0\cdot \infty)

regulile de dezvăluire a incertitudinilor se aplică (de exemplu, regula lui L'Hopital ) după principiul clarificării conținutului expresiei limitative care a dus la apariția infinitului, adică în acest sens, în analiză, se folosesc simboluri. ca abreviere generalizată pentru înregistrarea expresiilor limitative, dar nu ca obiect cu drepturi depline (în unele materiale didactice este folosit un punct la infinit , neconectat printr-o relație de ordine cu numerele reale [12] ). $\pm \infty$ $\pm \infty$

În analiza non-standard a lui Robinson , cantități infinit de mari și infinit de mici sunt actualizate cu implicarea mijloacelor teoretice de model și, datorită acestui fapt, mijloacele expresive și metodele de demonstrare în analiza non-standard le depășesc în multe cazuri pe cele clasice și un număr se obțin rezultate noi care ar putea fi obținute în analiza clasică, dar nu au fost depistate din lipsă de claritate [13] .

Geometrie proiectivă

Importantă în actualizarea conceptului de infinit în matematică a fost crearea geometriei proiective de către Poncelet în 1822 , una dintre ideile-cheie ale căreia este împărțirea infinitului îndepărtat în „puncte ideale” și „linii ideale” atunci când se proiectează. Deci, pentru a transforma un plan infinit din spațiul euclidian într-un plan proiectiv , este necesar să adăugați un punct ideal pentru fiecare clasă de drepte paralele , iar toate aceste puncte ideale (și numai ele) se prăbușesc într- o dreaptă ideală . Linia proiectivă reală în aceste construcții este extinderea dreptei numerice cu un punct ideal ( ). $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb{R} P^{2}$ $\RP^1 = \R \cup \{ \infty \}$

La fel ca în analiză , se poate opera cu infinitul rezultat în geometria proiectivă (în geometria proiectivă, spre deosebire de analiză, infinitul nu are semn, ): $\alpha \in \mathbb{R}$

\infty \pm \alpha = \infty

\infty \cdot \alpha = \infty, \, \alpha \ne 0

\infty \cdot \infty = \infty

\alpha \big / \infty = 0

\infty \big / \alpha = \infty

\alpha \big / 0 = \infty, \, \alpha \ne 0

dar expresiile nu sunt definite. $\infty + \infty, \, \infty - \infty, \, \infty \cdot 0, \, \infty / \infty, \, 0 / 0$

Creând o interpretare geometrică a numerelor complexe , Riemann în 1851 a folosit mijloacele geometriei proiective și a construit un spațiu proiectiv pentru planul complex - o generalizare complexă a dreptei numerice proiective, cunoscută sub numele de sfera Riemann : polii sferei sunt puncte. și , iar proiecția stereografică (cu un punct perforat ) o traduce în plan complex . Spre deosebire de analiza reală, în care se folosește infinitul cu semn, în analiza complexă , se folosește forma proiectivă a infinitului ( ). $\mathbb {C}$ $\mathbb {C} P^{1}$ $0$ $\infty$ $\infty$ $\mathbb {C} \cup \{\infty \)$

Teoria multimilor

Principala contribuție la conceptul de infinit în matematică a fost făcută de teoria mulțimilor : ideea de infinit real și diferite tipuri de infinit ocupă o parte esențială a acestei teorii.

Pentru a măsura diferite tipuri de infinit în teoria mulțimilor, se introduce conceptul de putere (număr cardinal), care coincide cu numărul de elemente pentru mulțimi finite, și pentru mulțimi infinite, folosind principiul bijecției : dacă este posibil să se stabilească un corespondența la-un între mulțimi, atunci ele sunt echivalente. Deci, se dovedește că mulțimea numerelor naturale este echivalentă cu mulțimile de numere întregi ( ), numere naturale chiar, toate numerele raționale ( ), iar segmentul dreptei numerice ( , continuum ) se dovedește a fi în corespondență bijectivă cu întreaga dreaptă numerică ( ), precum și cu spațiul euclidian -dimensional ( ). Cardinalitatea mulțimii numerelor naturale și a celor echivalente ( mulțimi numărabile ) se notează , iar cardinalitatea continuumului este . Mai mult, se stabilește că între mulțimea tuturor submulților de numere naturale ( ) și continuu există o corespondență unu-la-unu, deci , și că o mulțime numărabilă este cea mai puțin puternică dintre toate mulțimile infinite. Conform ipotezei continuumului , între și nu există puteri intermediare ( ), în plus, așa cum a arătat Cohen în 1962 , nici ea și nici negația sa nu sunt demonstrabile în axiomatica de bază a teoriei mulțimilor . Ipoteza generalizată a continuumului presupune că toate numerele cardinale se supun relației , cu alte cuvinte, toate numerele cardinale infinite posibile reprezintă exact puterea de a lua succesiv booleanul mulțimii numerelor naturale: [14] . $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb I = [0,1]$ $\mathbb {R}$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\aleph_0$ $\mathfrak c$ $2^{\mathbb{N} }$ $\mathfrak c = 2^{\aleph_0}$ $\aleph_0$ $\mathfrak c$ $\mathfrak c = \aleph_1$ $2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}$ $\#\mathbb{N} ,\#{\mathcal P}(\mathbb{N} ),\#{\mathcal P}({\mathcal P}(\mathbb{N} )),\dots$

Un alt tip de infinit introdus de teoria mulțimilor sunt numerele ordinale (ordinale), împreună cu principiul asociat al inducției transfinite, acestea au provocat cea mai mare discuție între matematicieni, logicieni și filosofi. Dacă numerele cardinale caracterizează o clasă de echivalență în raport cu o corespondență unu-la-unu, atunci un număr ordinal apare ca o caracteristică a unei clase de echivalență peste mulțimi bine ordonate , în ceea ce privește corespondențele bijective care păstrează relația de ordine completă. Pentru mulțimile finite, ordinalul și cardinalul coincid, dar pentru mulțimile infinite nu este întotdeauna cazul, toate mulțimile aceluiași număr ordinal sunt echivalente, dar inversul nu este adevărat în cazul general. Ordinalele sunt construite în așa fel încât să continue în mod constant seria naturală dincolo de infinit [15] :

0 = \varnothing

1 = \varnothing \cup \{0\} = \{\varnothing \}

, …

n+1 = n \cup \{n\}

după care, având în vedere mulțimea tuturor numerelor ordinale finite ca , se introduce aritmetica numerelor ordinale pe baza operațiilor de adunare a mulțimilor ordonate (prin introducerea unei ordine peste o uniune separată secvențial peste elementele primului însumat al mulțimii , apoi al doilea) și produs (peste produsul cartezian al mulțimilor bine ordonate folosind ordinea lexicografică ), iar procesul continuă: $\omega$

\omega + 1 = \omega \cup \{ \omega \}

\omega + 2 = (\omega + 1) \cup \{ \omega + 1 \}

, …

\omega \cdot 2 = \omega + \omega

\omega \cdot 2 + 1

, …

Următorul este construit , apoi - , apoi - numere : $\omega ^2 = \omega \cdot \omega$ $\omega ^3, \dots, \omega ^\omega, \dots, \omega^{\omega^\omega}, \cdots,$ $\varepsilon_{0}$

\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot))))) = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega ^{\omega)), \omega^{\omega^{\omega^\omega)), \dots \}

Se dovedește că mulțimea tuturor ordinalelor numărabile (toate și ) are o cardinalitate care urmează cardinalității mulțimii numărabile , apoi se construiesc ordinale de ordin superior. Inducția transfinită este o generalizare a principiului inducției matematice care permite să se demonstreze afirmații despre orice mulțime bine ordonată folosind ideea numerelor ordinale. Paradoxul Burali-Forti arată că mulțimea tuturor numerelor ordinale este inconsecventă, dar în multe axiomatizări ale teoriei mulțimilor, construirea unei astfel de mulțimi este interzisă. $\omega$ $\varepsilon$ $\aleph_1$ $\aleph_0$

Spații infinit-dimensionale

Geometrie fractală

În fizică

În fizică, conceptul de infinit este asociat cu amploarea fenomenelor luate în considerare și cu acuratețea de măsurare disponibilă. În cazul general, infinitul este înțeles ca o astfel de valoare a mărimii luate în considerare, care, la scara aleasă a fenomenelor, poate fi considerată atât de mare încât orice impact în cadrul sistemului luat în considerare nu va duce la modificări semnificative ale acestuia. . Cu toate acestea, valoarea unei mărimi care este infinită pe o scară poate fi finită și chiar infinitezimală pe alta. Un exemplu este masa Pământului . Când luăm în considerare orbitele sateliților artificiali , acesta poate fi considerat infinit de mare. Având în vedere mișcarea orbitală a Pământului în jurul Soarelui, masa planetei noastre va fi infinit de mică.

Cu o creștere a preciziei de măsurare disponibilă, cantitățile infinite pot deveni finite. De exemplu, efectele relativiste , chiar și la viteze cosmice , sunt prea mici în sistemul de precizie oferit de ceasurile mecanice sau electronice. Cu toate acestea, atunci când se utilizează ceasuri atomice , cum ar fi sistemele de navigație prin satelit , aceste efecte trebuie să fie luate în considerare. Raza Pământului, care este considerată infinită în timpul construcției unor obiecte relativ mici, și suprafața este plată, trebuie totuși luată în considerare la construirea stațiilor radioreleu care funcționează cu un fascicul foarte îngust (unități, fracții de grad) .

În programare

Infinitul mașinii este un construct pentru reprezentarea unor valori numerice infinite în limbaje și sisteme de programare și operațiuni cu acestea. Aritmetica standard în virgulă mobilă ( IEEE 754-2008 ) conține valori speciale pentru +∞ și −∞: exponentul este toate unu (11…11), mantisa este toate zerourile (00…00). Infinitul pozitiv este mai mare decât orice număr finit, infinitul negativ este mai mic decât oricare. Operațiile infinit sunt definite în mod specific: (+∞) + x = +∞, +∞ + (+∞) = +∞, +∞ − ∞ = NaN , log (+∞) = +∞, sin (+∞) = NaN si asa mai departe.

O serie de limbaje de programare permit lucrul cu structuri de date potențial infinite ; de exemplu, în Haskell , puteți declara o listă infinită și o puteți manipula:

nat = [ 0 .. ] -- lista tuturor numerelor naturale pare = hartă ( * 2 ) nat -- lista tuturor numerelor naturale pare fstevens = ia 10 pare -- primele zece numere pare

, în timp ce timpul de execuție va evalua doar acele elemente ale structurii infinite pentru care se solicită rezultate imediate (folosind strategia de evaluare leneșă și aplicând recursiunea ).

O manifestare deosebită a infinitului în programare în sensul eternității potențiale a procesului de execuție este o buclă infinită : tehnica aplicării lor este utilizată atât în mod conștient (pentru posibilitatea întreruperii programului doar prin influențe externe), cât și se produce ca o eroare (absența sau imposibilitatea condiției de ieșire din buclă: „programul s-a blocat”) .

În logică

Aporia lui Zenon

Aporii lui Zenon - o serie de aporii , atribuite lui Zenon din Elea (a doua jumătate a secolului al V-lea î.Hr.) și au supraviețuit mai ales în prezentarea lui Aristotel , fiind unul dintre primele exemple de dificultăți logice în operarea cu obiecte infinite (deși, mai presus de toate , cu probleme de discret și continuu ). Aporii sunt formulate în așa fel încât multe dintre ele fac obiectul discuțiilor și interpretărilor de-a lungul întregii existențe a logicii, inclusiv modernitatea [16] și sunt considerate prima formulare a problemei utilizării infinitului în context științific [17] . Aporia „ Achile și broasca țestoasă ” demonstrează dificultatea însumării unor valori infinit de mici, iar această antinomie nu este atât de simplă pe cât este uneori interpretată: după cum notează Hilbert și Bernays în Fundamentele matematicii, pentru a rezolva paradoxul, este necesar să actualizezi o succesiune infinită de evenimente în așa fel încât să o acceptăm este încă finalizată [18] . „ Dihotomie ”, deși poate fi rezolvată prin conceptul de limită a unei secvențe convergente , însă pentru aceasta Weil oferă o interpretare modernă: dacă un computer este proiectat în așa fel încât să efectueze prima operație în 0,5 min, a doua în 0,25 min, a treia în 0,125 min și așa mai departe, apoi într-un minut a putut recalcula întreaga serie naturală [19] . $1/2 + 1/4 + 1/8 + \dots$

Paradoxurile teoriei mulțimilor

În filozofie

Filosofia indiană antică

În „ Isha Upanishad ”, datată în secolele IV-III î.Hr., se găsește ideea că adăugarea sau îndepărtarea unei părți dintr-un obiect infinit îl lasă infinit [20] . În tratatul jainist Surya Prajnapti Sutra ( în engleză Sūryaprajñapti ), datat în anii 400 î.Hr. e. , toate cantitățile sunt împărțite în trei categorii și trei subcategorii - enumerabile (mice, medii și mari), nenumerabile („aproape nenumerabile”, „cu adevărat nenumerabile” și „nenumerabile nenumărabile”) și infinite. („aproape infinit”, „cu adevărat infinit” și „infinit infinit”) [21] , această împărțire a fost aparent prima încercare nu numai de a distinge între tipurile de infinit, ci și de a măsura relația dintre ele și ideea. separarea subcategoriilor de cantități infinite și ordonarea acestora este apropiată de conceptul numerelor transfinite ale lui Cantor .

Filosofia greacă antică

La filozofii greci antici , infinitul apare de obicei ca ceva neformat, imperfect, apropiat de haos sau chiar identificat cu acesta [22] , astfel încât, în lista pitagoreică a contrariilor, infinitul este atribuit de partea răului. Dintre filozofii greci antici care folosesc în mod pozitiv categoria infinitului se remarcă Anaximandru , introducând principiul cosmologic ca receptacul infinit - apeiron ( greacă ἄπειρον ), iar atomiştii ( Democrit , Leucip ), conform cărora există un număr infinit. de lumi formate dintr-un număr infinit de atomi cuprinsi într-un spațiu gol infinit [23] . În același timp, conceptul atomist s-a opus abordării continuiste, în care spațiul și timpul erau considerate infinit divizibile, în timp ce atomiștii postulau elemente primare indivizibile, iar aporii lui Zenon au fost menite să arate inconsecvența logică a ambelor abordări [24] .

Dar opinia dominantă în filosofia greacă antică a fost negarea infinitului actual, cea mai caracteristică reflectare a acestor opinii este prezentată de Aristotel în „ Fizica ”, unde el neagă infinitul cosmosului, infinitul secvenței de cauze, vorbind despre posibilitatea unei creșteri infinite a seriei naturale și infinitatea împărțirii unui segment în componente mici doar ca despre infinitul potențial . Aristotel aparține, de asemenea, clasificării infinitului în extensiv - care decurge din adăugarea nelimitată a obiectelor la totalitate și intensiv - care apare dintr-o adâncire nelimitată în structura obiectului [25] Geometrii antici, în special, Euclid , stau de asemenea pe pozițiile de a nega infinitul actual și de a opera numai cu infinit potențial în " Principii " al doilea postulat afirmă posibilitatea unei prelungiri arbitrar lungi a unei linii drepte, dar liniile drepte și planurile însele sunt considerate ca finite, deși aproape infinit "mari". „ [1] .

În lucrările neoplatoniștilor , în primul rând Plotin , în legătură cu pătrunderea ideilor misticismului răsăritean și în mare măsură sub influența lucrărilor lui Filon din Alexandria , care a dat interpretarea elenistică a zeului creștin , ideea este formată din infinitatea actuală a Minții ca infinit de puternică și unită și infinitatea potențială a materiei nemărginite [26] .

Filosofia medievală europeană

În filosofia creștină timpurie și în filosofia medievală timpurie ( Origen , Augustin , Albert cel Mare , Toma d'Aquino ), Aristotel a moștenit de la Aristotel negarea infinitului actual din lume, recunoscând în același timp într-o formă sau alta pentru Dumnezeul creștin infinitul actual [1] ] .

În lucrările scolasticilor din secolele XIII-XIV ( William de Sherwood , Haytsbury , Grigore de Rimini ), diferența dintre conceptele de infinit potențial și actual este clar indicată (în scrierile timpurii, infinitul potențial și actual sunt numite sincategorematic și infinituri categorematice , respectiv), dar se postulează relația cu infinitul de fapt ca divin [1] , sau o negare completă a infinitului actual ( lat. infinitum actu non datur ). Cu toate acestea, Ockham atrage deja atenția asupra posibilității de a recunoaște existența continuum -ului și a părților sale ca fiind de fapt existente, păstrând în același timp proprietățile infinitului din spatele lor - posibilitatea diviziunii infinite în părți constitutive [27] , și Swainshead , în sprijinul raționamentul său despre divizibilitatea infinită a continuumului, dovedește matematic afirmația despre suma unui rând numeric infinit [28] . Orem , dezvoltând construcțiile lui Swinshead, construiește un sistem de dovezi geometrice ale convergenței serii infinite, construiește un exemplu de figură plată, infinită ca întindere, dar cu o zonă finită [7] .

În secolul al XV-lea, Nicolae de Cusa creează doctrina „maximului absolut”, pe care o consideră măsura infinită a tuturor lucrurilor finite, dând astfel o idee care nu coincide deloc cu cea antică: totul finit este considerat ca o limitare. a infinitului divin existent efectiv ( latina possest ), spre deosebire de ideea predominantă a existenței lucrurilor finite și a potențialității infinitului [29] .

Filosofia timpurilor moderne

Ideile lui Nicolae din Cusa sunt dezvoltate de Spinoza , conform cărora lucrurile își primesc ființa în interiorul substanței divine infinite prin autodeterminare prin negație [30] . Din aceste idei vine recunoașterea în secolele XVI-XVII a ideii de infinitate a Universului , care a fost stabilită grație sistemului heliocentric al lui Copernic , lucrării iluministe a lui Bruno , studiile lui Kepler și Galileo [31] [1] . Kepler și Galileo încep să folosească metodele infinitului în practica matematică, așa că Kepler, bazându-se pe ideile lui Nicolae de Cusa, aproximează cercul cu un poligon regulat cu numărul de laturi tinzând spre infinit [32] , iar Galileo, plătind atenție la corespondența dintre numere și pătratele lor , constată imposibilitatea aplicării tezei „întregul este mai mare decât partea” la obiecte infinite [6] .

Un rol semnificativ în conceptul de natură a continuului și esența continuumului a fost introdus de un student al lui Galileo Cavalieri , care în tratatul „Geometrie, a afirmat într-un mod nou cu ajutorul continuului indivizibil” ( 1635 ) considerate figuri plate ca seturi infinite de segmente care le umplu, iar corpurile volumetrice ca fiind formate dintr-un număr infinit de figuri plate paralele, folosind astfel de metafore: o linie este făcută din puncte, ca un colier de perle, o figură plată este făcută din linii, la fel cum o țesătură este făcută din fire, un corp este făcut din avioane, ca o carte de pagini; folosind această „ metodă a indivizibililor ” Cavalieri a obținut rezultate matematice semnificative [33] .

Descartes argumentează imposibilitatea de a-L cunoaște pe Dumnezeu din existența lumii pe care a creat-o prin incomensurabilitatea finitului și a infinitului efectiv, a cărei incomprehensibilitate, în opinia sa, este cuprinsă în însăși definiția formală a infinitului [34] . În consecință, Descartes îl recunoaște doar pe Dumnezeul atotputernic ca fiind cu adevărat infinit și consideră astfel de manifestări ale infinitului ca „infinitatea voinței umane” ca fiind manifestări ale imaginii divine în ființa umană [1] .

Cel mai consecvent susținător al existenței infinitului actual a fost Leibniz , în „ Monadologie ” el susține în mod consecvent ideea infinitității monadelor din univers, în fiecare dintre părțile sale, exprimată sub formă de materie, determinând stabilitatea aceste părți prin legea armoniei prestabilite și principiile speciale de subordonare a monadelor, considerând monadele, la rândul lor, ca un univers infinit în spațiu și timp [1] . Aceste idei ale lui Leibniz au fost reflectate în lucrările sale fundamentale despre calculul infinitezimal, reprezentând infinitezimalele ca monade . Calculul diferențial creat de Newton și Leibniz , care a actualizat în mod clar infinitezimale, a provocat o discuție largă și îndelungată între filosofii secolelor XVII-XVIII, Berkeley a fost cel mai consecvent oponent al metodelor folosind cantități infinitezimale, aceste discuții s-au reflectat în cultură în intrigă. din Călătoriile lui Gulliver de Swift și „ Micromegas ” de Voltaire [35] .

Kant , în Critica rațiunii pure , neagă posibilitatea de a considera atât numere infinite, cât și mărimi infinite; Pe baza analizei antinomiilor rațiunii pure, Kant caracterizează lumea nici ca finită, nici ca infinită, ci ca „nedefinită” [1] .

Hegel dezvoltă ideea celei mai strânse legături, aproape identitare, infinită și absolută [36] , în special consideră „infinitul rău” ca o negație a finitului și introduce „infinitul adevărat” ca o depășire dialectică a antagonismului; După Hegel, numai Spiritul Absolut este cu adevărat infinit [1] . Filosofia materialismului dialectic subliniază ideea de infinit ca proces dialectic [37] [38] , însuși conceptul de infinit în el are semnificații diferite: infinitul cel mai simplu, practic; infinitul, ca absolutitate, universalitate, completitudine; infinitatea lumii intelectuale; infinitul real. Infinitatea spațiului și timpului este considerată de Engels drept un exemplu de „infinit rău”.

Cea mai semnificativă lucrare a secolului al XIX-lea despre infinit, mai mult filozofică [39] decât matematică, a fost monografia lui Bolzano Paradoxes of the Infinite (publicată în 1851, după moartea autorului) [1] , în care seturi infinite de numerele sunt studiate sistematic, sunt date argumente logice și matematice în favoarea luării în considerare a infinitului real și se propune un set de instrumente pentru studierea genurilor infinitului folosind conceptul de corespondență unu-la-unu [39] .

Pe baza ideologică a lucrării lui Bolzano și creată la sfârșitul secolului al XIX-lea în lucrările lui Cantor cu o participare semnificativă a lui Dedekind , teoria mulțimilor (termenul „set” în sine este menge german , a fost folosit pentru prima dată de Bolzano ca desemnare pentru un obiect de fapt infinit), și anume în teoria mulțimilor, pentru prima dată, raportul dintre diferitele tipuri de infinit a fost considerat motivat, în special, prin intermediul conceptului de putere , raportul dintre numărul de elemente ale seriei naturale (o mulțime numărabilă, în notația lui Cantor) și numărul de puncte ale continuumului ( ), a fost formulat principiul inducției transfinite . În același timp, Kantor a încercat să dea și o justificare filosofică construcțiilor sale, introducând, pe lângă numerele transfinite, înțelese prin conștiință, neînțelesul „infinitul în Dumnezeu” [40] . Un rol deosebit în înțelegerea infinitului în cadrul lucrării de creare a teoriei mulțimilor l-a jucat definiția unei mulțimi infinite în cartea lui Dedekind „Ce sunt numerele și la ce servesc?” [41] ca unu-la-unu cu o parte din sine, în timp ce toate definițiile anterioare ale infinitului erau negative [42] . Până la sfârșitul secolului al XIX-lea (în primul rând datorită unei serii organizate de rapoarte la Primul Congres Internațional al Matematicienilor din 1897), teoria mulțimilor a fost recunoscută și aplicată în practică în rândul matematicienilor, dar printre teologi și filozofi, ideile despre infinitul actual și diferențele cantitative dintre tipurile sale au dezvoltat discuții serioase [42] . $\aleph_0$ $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$

Filosofie contemporană

În filosofia secolului al XX-lea, conținutul principal al cercetării asupra problemelor legate de infinit este strâns aliniat cu fundamentele matematicii și, mai ales, cu problemele teoriei mulțimilor [43] .

Russell , în sistemul pe care l-a construit împreună cu Whitehead în Principia Mathematica pentru a depăși paradoxurile teoriei mulțimilor , a postulat existența infinitului prin introducerea axiomei infinitului , de altfel, nu este permisă în el în posibilitatea de derivare a infinitului din alte concepte a priori , conceptul de infinit nu este considerat pur derivabil analitic din principiul neadmiterii contradictiilor. De asemenea, Russell nu a considerat posibil să găsească o justificare a posteriori pentru infinit, bazată pe bun simț și experiență, mai ales remarcând că nu există temeiuri pentru a crede în infinitul spațiului, infinitul timpului sau divizibilitatea infinită a obiectelor. Astfel, după Russell, infinitul este un imperativ ipotetic care poate fi folosit sau nu în diferite sisteme, dar care nu poate fi fundamentat sau infirmat [44] .

Implementând un program de depășire a paradoxurilor teoriei mulțimilor, Hilbert și Bernays au format principii identificate drept „finitismul lui Hilbert”, conform cărora afirmațiile despre proprietățile formulate pentru toate elementele unei mulțimi infinite sunt posibile numai dacă sunt reproductibile pentru fiecare element specific, în timp ce nelimitând posibila abstractizare a infinitului, inclusiv inducția transfinită . Wittgenstein , care a dezvoltat cel mai radical conceptul de finitism în filosofia analitică , a considerat posibil să considere infinitul doar ca înregistrarea unui proces recursiv și a respins fundamental posibilitatea de a considera diferite clase de infinit [45] .

În școlile pornind de la neo-kantianism și fenomenologie , au fost studiate și chestiunile infinitului, de exemplu, Cassirer , într-o discuție cu Heidegger („Discuția Davos”, 1929), introduce o infinitate imanentă care apare ca obiectivare a sferei. a experiențelor [46] , în anii 1950-1960 lucrările programatice consacrate infinitului au fost scrise de Koyre și Levinas [47] .

Inductie

Inducția este o metodă logică clasică care vă permite să treceți de la declarații particulare la declarații universale, inclusiv cele referitoare la un set infinit de obiecte. Inducția cu privire la seria naturală fără nicio formalizare este remarcată chiar și în Proclus și Euclid , în timp ce conștientizarea acesteia ca metodă de inducție matematică este atribuită lui Pascal și Gersonides [48] . În notația modernă, inducția matematică este silogismul:

P(1),\forall n\in \mathbb {N} (P(n)\rightarrow P(n+1))\vdash \forall n\in \mathbb {N} (P(n))

adica derivarea unei proprietati pentru intregul multime de numere naturale din faptul indeplinirii ei pentru unitate si derivarea pentru fiecare numar ulterior pe baza indeplinirii proprietatii pentru cel precedent. $P$

Metoda inducției matematice este considerată fiabilă, dar poate fi extinsă doar la mulțimi numărabile bine ordonate. O încercare de a extinde inducția la mulțimi arbitrare bine ordonate a fost crearea metodei lui Cantor de inducție transfinită în cadrul teoriei mulțimilor , folosind ideea numerelor transfinite (ordinale).

În logica intuiționistă , inducerea barelor [49] este folosită pentru a aplica raționamentul inductiv la colecții nenumărate (descrise în intuiționism ca fluxuri ) .

Simboluri

Simbolul infinitului a apărut pentru prima dată în tratatul „Despre secțiunile conice” ( latină De sectionibus conicis , pagina 5) [50] [51] [52] publicat în 1655 de matematicianul englez John Wallis . Se presupune că simbolul are o origine mai veche și este asociat cu ouroboros - un șarpe care își mușcă propria coadă [53] ; simboluri similare au fost găsite printre gravurile rupestre tibetane. În Unicode , infinitul este reprezentat prin simbolul ∞ (U+221E). $\infty$

Simbolurile infinitului folosite pentru numerele cardinale se bazează pe prima literă a alfabetului ebraic , aleph , cu un indice. Vezi Ierarhia Alefilor . Sistemul aleph a fost introdus de Cantor în 1893 , crezând că toate caracterele grecești și latine sunt deja ocupate, iar alephul ebraic este, de asemenea, un simbol al numărului 1; în timp ce alfabetul ebraic era disponibil în seturi în multe tipografii din Germania la acea vreme [54] . În Unicode, aleph este scris ca א (U+05D0). $\aleph_0, \aleph_1, \dots$

Note

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 NFE, 2010 .
↑ Infinitul în filosofie / I. S. Alekseev // Bari - Brățară. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1970. - ( Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / redactor-șef A. M. Prokhorov ; 1969-1978, vol. 3).
↑ Katasonov V. N. Continuitate și discontinuitate // New Philosophical Encyclopedia. — Ed. a II-a, corectată. şi suplimentare .. - M . : Gândirea, 2010. - T. 2. - 2816 p. - 5000 de exemplare. - ISBN 978-5-244-01115-9 .
↑ 1 2 Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , p. 10-13.
↑ Cartea a IX-a, Declarația 20
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , p. 39.
↑ 1 2 3 4 5 Paplauskas A. B. Perioada pre-newtoniană de dezvoltare a serii infinite. I // Yushkevich A.P. (editor responsabil) Cercetări istorice și matematice . - M . : Nauka , 1973. - T. XVIII . - S. 104-131 . (Rusă)
↑ Dani SG Ancient Indian Mathematics - A Conspectus // Resonance. - 2012. - T. 17 , nr 3 . - S. 236-246 .
↑ Paplauskas A. B. Perioada pre-newtoniană de dezvoltare a serii infinite. II. Pietro Mengoli // Yushkevich A.P. (redactor-șef) Cercetări istorice și matematice. - M . : Nauka, 1974. - T. XIX . - S. 143-157 . (Rusă)
↑ Paplauskas A. B. Perioada pre-newtoniană de dezvoltare a serii infinite. III // Yushkevich A.P. (editor responsabil) Cercetări istorice și matematice. - M . : Nauka, 1975. - T. XX . - S. 257-281 . (Rusă)
↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , p. 26.
↑ Kudryavtsev L. D. Un scurt curs de analiză matematică. - Ed. a 3-a. revizuit .. - M . : Fizmatlit, 2005. - T. 1. - S. 19. - 400 p. — ISBN 5-9221-0184-6 .
↑ Infinity - articol din Encyclopedia of Mathematics . Dragalin A. G. Cu ajutorul lui N. a. au fost descoperite o serie de fapte noi. Multe clasice. dovezile beneficiază considerabil de claritate atunci când sunt prezentate prin metode de analiză non-standard
↑ Uneori, pentru numerele cardinale infinite reprezentând puterea de a lua succesiv booleeni dintr-o mulțime numărabilă, se folosește notația pariu (din a doua literă a alfabetului ebraic - bet ), în aceste notații ipoteza continuum generalizat este formulată ca $\aleph_\alpha = \beth_\alpha$
↑ Von Neumann a propus o astfel de schemă de definiție în anii 1920, Kantor a folosit inițial o metodă diferită
↑ Yanovskaya S.A. A depășit știința modernă dificultățile cunoscute sub numele de „aporii lui Zeno”? // Probleme de logică / Tavanets P.V. - M. , 1963. - S. 116-136 .
↑ Gaidenko P. P. Evoluția conceptului de știință (formarea și dezvoltarea primelor programe științifice). Școala eleatică și prima afirmație a problemei infinitului . — M .: Nauka, 1980.
↑ Hilbert D. , Bernays P. Foundations of Mathematics. - M. : Nauka, 1979. - T. 1. Calcul logic și formalizarea aritmeticii. - S. 40. - 558 p.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , p. 236-238.
↑ Sârbă. पूर्णमदः पूर्णमिदं पूर्णात् पूर्णमुदच्यते पूर्णस्य पूर्णमेवावशिष्यते पूर्णमेवावशिष्यते पूर्णमेवावशिष्यते पूर्णमेवावशिष्यते - „Completați -l, completați -l. Din plin se ia plin. Sosește completul complet, rămâne doar completul”, traducerea lui Syrkin
↑ Joseph, GG Cresta păunului. Rădăcinile non-europene ale matematicii . — al 3-lea. - Princeton : Princeton University Press , 2011. - P. 349-355 . — 562 p. - ISBN 978-0-691-13526-7 .
↑ NFE, 2010 , Gândirea antică consideră practic infinitul ca neformat, ca nefiind devenit și, prin urmare, imperfect <...> A fi în gândirea antică este asociată cu categoria de măsură și limită. Infinitul apare ca nemărginit, nemărginit, aproape inexistent - μὴὄν și, prin urmare, este ceva apropiat de haos și, uneori, este identificat cu acesta.
↑ NFE, 2010 , ... în filosofia antică au existat gânditori care folosesc mai pozitiv categoria infinitului. În primul rând, îl includ pe Anaximandru, la care apeironul este principiul principal al cosmologiei <...> în plus, aici este necesar să îi numim pe atomiştii Leucip şi Democrit, în care spaţiul gol infinit conţine un număr infinit de atomi. formând un număr infinit de lumi.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , p. 236.
↑ Vilenkin, 1983 , p. 14-15.
↑ NFE, 2010 , Mind Plotinus o numește deja infinită în următoarele sensuri: în sensul puterii sale infinite, al unității și al autosuficienței sale. Astfel, tot ceea ce există se află între două infinitate: infinitatea actuală a Minții și infinitatea potențială a materiei meonale, lipsită de granițe și formă și primind definițiile sale doar prin „reflecții” perfecțiunilor ființei superioare.
↑ lat. Sed omne continuum est actualiter existens. Igitur quaelibet pars sua este vere existens in rerum natura. Sed partes continui sunt infinitae quia non tot quin plures, igitur partes infinitae sunt actualiter existentes - „But every continuum really exists. Prin urmare, părțile sale există și în natură. Dar părțile continuumului sunt infinite, pentru că este imposibil de spus câte sunt și, prin urmare, părțile infinite există de fapt.
↑ Bogolyubov A. N. Matematică. Mecanica. Ghid biografic. - Kiev: Naukova Dumka, 1983. - 639 p.
↑ NFE, 2010 , ... pentru Kuzants, dimpotrivă, orice lucru finit acționează ca o potențială limitare a posibilității divine de fapt infinite - ființa (posedare).
↑ NFE, 2010 , ... În mod similar, în cadrul panteismului lui Spinoza, rezultă că omnis determinatio est negatio (fiecare definiție este o negație): lucrurile nu își primesc existența prin limită, nu prin limitarea materiei fără formă. , ci tocmai din substanța divină infinită subiacentă, în interiorul căreia autodeterminarea acționează ca o negație parțială.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , p. 43-44.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , p. 43-45.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , p. 249.
↑ Gartsev M. A. Problema libertății absolute la Descartes // Logos . - 1996. - Nr 8 . Arhivat din original pe 24 noiembrie 2015.
↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , p. 13-14.
↑ „Infinitul în conceptul său simplu poate fi considerat, în primul rând, ca o nouă definiție a absolutului...” Hegel G. W. F. Science of Logic. // Opere, vol. V. - M .: Gosizdat, 1927. - P. 136.
↑ „Vorbind despre infinit de mare și infinit de mic, matematica introduce o asemenea diferență calitativă care are chiar caracterul unei opoziții calitative de netrecut...” Marx K. , Engels F. Dialectica naturii // Soch., vol. 20 . - M .: Politizdat, 1956 - S. 574.
↑ „Infinitul este o contradicție, și este plin de contradicții... Tocmai pentru că infinitul este o contradicție, este un proces fără sfârșit care se desfășoară la nesfârșit în timp și spațiu. Distrugerea acestei contradicții ar fi sfârșitul infinitului.” Marx K. , Engels F. Anti-Dühring // Soch., vol. 20. - M .: Politizdat, 1956. - P. 51.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , p. 39-40.
↑ NFE, 2010 , Cantor, creatorul teoriei mulțimilor, a încercat și el să dea o aplicație teologică construcțiilor sale cu infinit real (Kantor considera în general teoria mulțimilor ca fiind legată la fel de mult de metafizică, cât și de matematică). El a distins trei tipuri de infinit: infinitul în Dumnezeu („în mintea lui Dumnezeu”) - Absolut, în lumea creată - Transfinit, în mintea umană - numere transfinite (ordinale).
↑ Dedekind, R. Was sind und was sollen die Zahlen? . - Braunschweig: Drud und Berlag von Friedrich Bieweg, 1893. - 60 p.
↑ 1 2 F. A. Medvedev . Dezvoltarea teoriei multimilor în secolul al XIX-lea. - M. : Nauka, 1965. - S. 133-137, 144-157. — 232 p. - 2500 de exemplare.
↑ NFE, 2010 , În secolul XX. discuțiile filozofice în jurul problemelor infinitului se corelează cu teoria mulțimilor și cu problema fundamentelor matematicii.
↑ Surovtsev V. A. B. Russell despre infinit // Buletinul Universității de Stat din Tomsk. Filozofie. Sociologie. Stiinte Politice. - 2010. - T. 12 , nr 4 . - S. 135-145 .
↑ Rodych, Filosofia matematicii a lui V. Wittgenstein . Enciclopedia Stanford de Filosofie . Stanford University Press (21 septembrie 2011). Consultat la 25 mai 2013. Arhivat din original pe 25 mai 2013.
↑ Discuție Weinmeister A. V. Davos între Cassirer și Heidegger // Buletinul Universității de Stat din Orenburg. - 2007. - Nr 2 .
↑ Yampolskaya A. V. Ideea infinitului în Levinas și Koire // Questions of Philosophy . - 2009. - Nr. Nr. 8 . - S. 125-134 . (Rusă)
↑ Nachum L. Rabinovih. Rabinul Levi ben Gershom și originile inducției matematice // Arhiva pentru Istoria Științelor Exacte. - 1970. - Emisiune. 6 . - S. 237-248 .
↑ Infinity - articol din Encyclopedia of Mathematics . Dragalin A. G.
↑ De sectionibus conicis Arhivat la 2 ianuarie 2014 la Wayback Machine
↑ Scott, Joseph Frederick (1981), The mathematical work of John Wallis, DD, FRS, (1616-1703) (2 ed.), AMS Bookstore, p. 24, ISBN 0-828-40314-7 , < https://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C > Arhivat 25 septembrie 2014 la Wayback Machine , Capitolul 1, pagina 24 Arhivat 18 noiembrie 2016 la Wayback Mașinărie
↑ Martin-Löf, Per & Mints, GE (1990), COLOG-88: International Conference on Computer Logic Tallinn, URSS, 12–16 decembrie 1988: procedure , Springer, p. 147, ISBN 3-540-52335-9 , < https://books.google.com/books?id=nfnGohZvXDQC > Arhivat la 1 octombrie 2014 la Wayback Machine , pagina 147 Arhivat la 2 octombrie 2014 la Wayback Machine
↑ Robertson, Robin; Combs, Allan. Uroboros // Rețeaua lui Indra: alchimia și teoria haosului ca modele de transformare. — Cărți de căutare, 2009. — ISBN 978-0-8356-0862-6
↑ Dauben J. Georg Cantor și nașterea teoriei mulțimilor transfinite . Scientific American , ediția rusă, nr. 8 (august), p. 76–86 (1 iulie 1983). Preluat la 5 mai 2013. Arhivat din original la 10 mai 2013. (Rusă)

Literatură

N. Bourbaki . Bazele matematicii. Logice. Teoria seturilor // Eseuri despre istoria matematicii / I. G. Bashmakova (tradus din franceză). - M . : Editura de literatură străină, 1963. - S. 37-53. — 292 p. — (Elemente de matematică).
Vilenkin N. Ya. În căutarea infinitului. — M .: Nauka, 1983.
Gordon E. I., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Analiză infinitezimală: subiecte selectate. — M .: Nauka, 2011. — 398 p. - ISBN 978-5-02-036137-9 .
Gracien, Enrique. Deschidere fără margini. Infinitul în matematică. — M. : De Agostini, 2014. — 144 p. — (Lumea matematicii: în 45 de volume, volumul 18). — ISBN 978-5-9774-0713-7 .
Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Căi și labirinturi. Eseuri de istoria matematicii = Routes et dédales / Tradus din franceză de A. A. Bryadinskaya, editat de I. G. Bashmakova. - M . : Mir, 1986. - S. 394-402. — 432 p. — (Matematică modernă. Serii populare). — 50.000 de exemplare.
Infinitul / Katasonov V. N. // „Campania de banchet” 1904 - Big Irgiz. - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 2005. - S. 413-415. - ( Marea Enciclopedie Rusă : [în 35 de volume] / redactor-șef Yu. S. Osipov ; 2004-2017, vol. 3). — ISBN 5-85270-331-1 .
Katasonov VN Infinit // Noua Enciclopedie Filosofică / Institutul de Filosofie RAS ; Naţional social-științifice fond; Prev. științific-ed. consiliul V. S. Stepin , vicepreședinți: A. A. Guseynov , G. Yu. Semigin , contabil. secret A. P. Ogurţov . — Ed. a II-a, corectată. si adauga. - M .: Gândirea , 2010. - ISBN 978-5-244-01115-9 .
Kline M. Matematică. Pierderea certitudinii. — M .: Mir , 1984. — 446 p.

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Brockhaus și Efron Ortodox Britannica (online) Universalis
În cataloagele bibliografice	NDL : 00576691