Zero

0
zero
← −2 −1 0 1 2   →  _  _
Binar 0
Octal 0
hexazecimal 0
 Fișiere media la Wikimedia Commons

Zero ( 0 , zero din lat.  nullus  - none [2] ) este un număr întreg care , atunci când se adună sau se scade din orice număr, nu îl schimbă pe ultimul [3] , adică dă un rezultat egal cu acest ultim ; înmulțind orice număr cu zero dă zero [4] .

Marele Dicționar explicativ al lui Kuznetsov (2009) [5] citează ambele forme ale cuvântului: zero, zero  - ca echivalent, deși există o oarecare diferență în utilizare. În special, forma zero este folosită mai des în terminologie, în special în cazurile indirecte, este luată și ca bază pentru formarea adjectivului zero  - în consecință, forma zero este mai des folosită în cazul nominativ (vezi bara laterală). .

Zero joacă un rol extrem de important în matematică și fizică [6] .

Zero la matematică

Numeral „zero” la matematică

Numărul „zero” este un semn matematic care exprimă absența valorii acestui bit în notația unui număr în sistemul numeric pozițional . În prezent, această cifră este aproape întotdeauna notată cu „0” (conform notației indo-arabe pentru numere). Cifra zero, plasată la dreapta altei cifre, mărește valoarea numerică a tuturor cifrelor din stânga cu o cifră (de exemplu, în sistemul numeric zecimal , se înmulțește cu zece). Comparați, de exemplu, numerele 4 10 și 40 10 ; 4 16 și 40 16 (indicele înseamnă baza sistemului numeric). Conceptul de zero a apărut istoric ca un simbol digital special necesar la scrierea numerelor într-un sistem numeric pozițional . Acest simbol a indicat absența unei valori în bitul corespunzător, ceea ce a făcut posibilă să nu se confunde, de exemplu, intrările

Numărul 0 este asociat cu semne deosebit de simple ale divizibilității numerelor întregi.

În sistemul numeric zecimal:

Semne similare de divizibilitate sunt disponibile pentru numerele 1000, 10000 etc.

Semnele de divizibilitate asociate cu numărul 0 în sistemul zecimal sunt deosebit de ușor de combinat cu semnele de divizibilitate cu 2 și 5, de exemplu:

Semne similare de divizibilitate sunt disponibile pentru numerele 200, 500, 2000, 5000 etc.

Semnele de divizibilitate asociate cu numărul „0” în alte sisteme numerice sunt similare cu cele din zecimală. În special, în orice sistem numeric cu baza k, un număr este divizibil cu kn dacă se termină în n zerouri.

Numărul „zero” la matematică

Aparținând numerelor naturale

Există două abordări ale definiției numerelor naturale  - unii autori clasifică zero ca numere naturale [7] , alții nu. În programele școlare rusești de matematică, nu se obișnuiește să se adauge zero la numerele naturale, deși acest lucru îngreunează unele formulări (de exemplu, trebuie să distingem între împărțirea cu rest și împărțirea prin întreg ). Ca un compromis, sursele consideră uneori o „serie naturală extinsă”, inclusiv zero [8] .

Setul tuturor numerelor naturale este de obicei notat cu simbolul . Standardele internaționale ISO 31-11 (1992) și ISO 80000-2 (2009) stabilesc următoarele denumiri [9] :

  •  - numere naturale, inclusiv zero: .
  •  - numere naturale fără zero: .

La fel ca și în ISO, notația pentru setul de numere naturale este fixată în GOST rus 2011: R 54521-2011, tabelul 6.1 [10] . Cu toate acestea, în sursele rusești, acest standard nu este încă respectat - în ele, simbolul denotă numere naturale fără zero, iar seria naturală extinsă este notă, de exemplu, etc. [8]

Proprietățile de bază ale lui zero
  • Împărțirea zero la orice număr diferit de zero are ca rezultat zero:
la Împărțire cu zero Într-adevăr, dacă notăm , atunci, prin definiție, împărțirea ar trebui să fie în mod formal , în timp ce expresia , pentru orice , este egală cu zero. Cu alte cuvinte, nu există niciun element invers pentru zero în niciun câmp.
  • Împărțirea la zero a unui număr complex diferit de zero este posibilă pe planul complex extins , iar rezultatul său este un punct la infinit.
Semnificațiile funcțiilor individuale
  • Factorialul zero, conform acordului [12] , se ia egal cu unu: . Cu un astfel de acord, identitatea va fi adevărată pentru
  • Rezultatul ridicării zero la orice putere pozitivă este zero: la . Ridicarea zero la orice putere negativă nu are sens.
  • Rezultatul ridicării oricărui număr (cu excepția zero) la puterea zero este egal cu unu: .
Acest lucru se datorează faptului că o funcție a două variabile într-un punct are o discontinuitate ireductibilă . Într-adevăr, de-a lungul direcției pozitive a axei unde este egală cu unu și de-a lungul direcției pozitive a axei unde este egală cu zero. Consultați articolul De la zero la puterea zero pentru mai multe detalii . Zero în geometrie
  • Un punct poate fi considerat ca un obiect cu dimensiune zero .
  • Un punct din plan cu o coordonată zero se află pe axa de coordonate corespunzătoare. Ambele coordonate zero definesc un punct numit origine .
  • Un punct din spațiul tridimensional cu o coordonată zero se află pe planul de coordonate corespunzător. Un punct din spațiul tridimensional se mai numește și origine dacă toate coordonatele sale sunt zero.
  • Afirmații similare sunt adevărate pentru un spațiu de orice dimensiune .
  • Pe un cerc, pozițiile 0° și 360° coincid.
Zero în calcul
  • Când se calculează limita relației , unde și , apare o astfel de situație în care substituția directă dă o expresie a cărei valoare nu este definită. În procesul dezvăluirii incertitudinilor sunt posibile șapte astfel de situații, iar în patru dintre ele zero este prezent oficial: , , , .
  • O situație bine definită este posibilă și atunci când se consideră o limită unilaterală (dreapta sau stânga) a unei valori infinitezimale:
  • Limită dreaptă: _ sau _ .
  • Limită din stânga: _ sau _ .
Generalizări (zero în algebra generală)

Un analog de zero poate exista în orice mulțime pe care este definită operația de adunare; în algebra generală, un astfel de element este uneori numit element neutru , uneori zero aditiv , cel mai adesea zero în ceea ce privește adunarea . Exemple de astfel de element sunt vectorul nul și matricea nulă . (Dacă operația de înmulțire este definită pe mulțime, unitatea multiplicativă poate fi considerată un analog al zeroului sau unitatea în ceea ce privește înmulțirea  , dacă există.)

Structurile algebrice echipate atât cu adunare, cât și cu înmulțire pot conține, de asemenea, un analog de zero. Elementul zero conține orice inel și cazurile sale speciale - corpul și câmpul . De exemplu, matricea de dimensiune zero pătrată este elementul zero al inelului matricei pătrate . Inelul polinoamelor are și un element zero - un polinom cu coeficienți zero, sau un polinom zero , .

Zero în informatică și calcul

Numărul „zero” în informatică și calcul

Marea majoritate a calculatoarelor se bazează pe sistemul binar , adică memoria lor conține doar zerouri și unu. Datele non-numerice folosesc o codificare standard - de exemplu, conceptele logice TRUE și FALSE sunt de obicei codificate ca 1 și, respectiv, 0, iar Unicode a fost dezvoltat pentru date text în diferite limbi .

Când lucrați cu un computer, din cauza pericolului de a confunda numărul 0 cu litera latină sau rusă O , ceea ce poate provoca consecințe grave, a existat la un moment dat o recomandare [16] de a tăia zero : . Uneori au făcut opusul: când programau pe computerul Minsk-32 , au tăiat litera O și nu zero [17] . Generatoarele de caractere ale multor terminale de text , adaptoare video și imprimante cu matrice de puncte scot, de asemenea, un zero într-o formă barată atunci când lucrează în modul text (unele imprimante aveau comutatoare încorporate pentru a activa și dezactiva modul barat zero) [18] [19] . Pe ecranele IBM 3270 , numărul 0 a fost reprezentat cu un punct în centru. Distincția vizuală dintre numărul 0 și litera O rămâne o cerință importantă pentru fonturile monospace . În fonturile proporționale , litera O este vizibil mai lată decât zero, așa că de obicei nu este necesară bararea.

Zero barat nu are un caracter Unicode separat; poate fi obținut ca caracter U+0030 urmat imediat de U+FE00, însă rezultatul depinde atât de fontul curent, cât și de browser. Uneori sunt folosite simboluri similare pentru litera scandinavă (Ø), set gol (∅) sau diametrul (⌀). Unele fonturi OpenType includ o opțiune specială zero-strike, pentru care există o opțiune specială în CSSfont-feature-settings: zero .

Numărul „zero” în informatică și calcul

În computere, există conceptul de „ mașină zero ” - acesta este un număr în virgulă mobilă și o astfel de ordine negativă care este percepută de computer ca zero.

O altă caracteristică a reprezentării datelor în informatică: în multe limbaje de programare, elementele unei matrice de date sunt numerotate nu din unitatea obișnuită, ci de la zero, deci descrierea M(n) reală înseamnă .array Platforma Microsoft .NET Framework a consolidat acest standard și chiar a tradus Visual Basic , care a folosit inițial numerotarea de la unu.

În bazele de date SQL , un câmp poate avea valoarea specială NULL , ceea ce înseamnă nu zero, ci o valoare nedefinită. Orice expresie care conține NULL are ca rezultat NULL.

La matematică ; adică reprezintă același număr, nu există zerouri pozitive și negative separate. Cu toate acestea, în unele formate de computer (de exemplu, în standardul IEEE 754 sau în codul înainte și înapoi ), există două reprezentări diferite pentru zero: pozitiv (cu semn pozitiv) și negativ; vezi −0 (programare) pentru detalii . Cu toate acestea, aceste diferențe nu afectează rezultatele calculelor.


Reprezentare zecimală		 Reprezentare binară (8 biți)
Drept înapoi adiţional
+0        0000 0000        0000 0000        0000 0000       
-0        1000 0000        1111 1111       

Istoria lui Zero

Istoricul numărului 0

Numărul 0 a apărut concomitent cu apariția numerotării poziționale (locale) - zecimal în India și sexagesimal în Babilon.

Orientul antic

Matematicienii babilonieni indicau zeroul sexagesimal , mai întâi un decalaj și apoi un semn cuneiform special „penă dublă”; se presupune că ultima insignă a fost folosită de babilonieni din aproximativ 300 î.Hr. e., iar profesorii lor sumerieni probabil au făcut asta chiar mai devreme. Totuși, simbolul „penei duble” a înțelepților babilonieni nu a avut niciodată un sens independent și a fost perceput nu ca un număr, ci ca absența unui număr; mai mult, nu a fost niciodată plasat la sfârșitul unei intrări de număr, așa că, să zicem, numerele 2 și 120 (2×60) trebuiau distinse după context [20] [21] .

Numărul 0 era absent în sistemele de numerotare romană, greacă și chinezească. Această cifră a fost renunțată prin atribuirea unor simboluri a valorilor numerelor mari. De exemplu, numărul 100 în sistemul numeric grecesc era notat cu litera Ρ, în romană  - cu litera C, în chineză  - prin hieroglifa 百.

Maya și incași

Imperiul Maya a existat în Peninsula Yucatan din aproximativ 300 î.Hr. e. până la 900 d.Hr e. Mayașii au folosit zero în sistemul lor numeric vigesimal cu aproape un mileniu mai devreme decât indienii, dar numai de către preoți și numai pentru nevoi calendaristice (în viața de zi cu zi, mayașii au folosit sistemul hieroglific cu cinci) [22] . Prima stele supraviețuitoare cu o dată calendaristică mayașă este datată 7.16.3.2.13, 6 Ben 16 Shul, adică 8 decembrie 36 î.Hr. e.

Este curios că infinitul era desemnat și prin același semn al matematicii Maya , deoarece nu însemna zero în sensul european al cuvântului, ci „început”, „rațiune” [23] . Numărarea zilelor lunii în calendarul mayaș a început cu ziua zero, care se numea Ahau .

În imperiul incas din Tahuantinsuyu , sistemul nodal quipu, bazat pe sistemul numeric zecimal pozițional, a fost folosit pentru a înregistra informații numerice . Numerele de la 1 la 9 au fost desemnate prin noduri de un anumit tip, zero - prin sărirea peste un nod în poziția dorită. În limba quechua modernă , zero este notat cu cuvântul quechua ch'usaq (lit. „absent”, „gol”), dar ce cuvânt a fost folosit de incași pentru a desemna zero atunci când citesc quipu nu este încă clar, deoarece, de exemplu, în unele dintre primele spaniole quechua ( Diego González Holguín , 1608) și prima aymara-spaniolă ( Ludovico Bertonio , 1612) nu au avut o potrivire pentru spaniolul „cero” - „zero”.

India

În India, numărul „zero” a fost numit cuvântul sanscrit śūnyaḥ („golic”; „absență”) și a fost utilizat pe scară largă în poezie și texte sacre. Fără zero, notația pozițională zecimală a numerelor inventate în India ar fi fost imposibilă . Primul caracter pentru zero se găsește în „ manuscrisul Bakhshali ” indian din 876 e.n. e., arată ca un punct gros sau un cerc plin, numit mai târziu śūnya-binduḥ „punct de gol” [24] [25] .

De la indieni prin arabi, care au numit numărul 0 ṣifr (de unde și cuvintele cifră , cifră și italiană  zero , zero), s-a ajuns în Europa de Vest [26] .

Europa

La Viena , este stocată aritmetica scrisă de mână din secolul al XV-lea, dobândită la Constantinopol ( Istanbul ), în care sunt folosite semne numerice grecești împreună cu desemnarea zero cu punct [27] . În traducerile în latină ale tratatelor arabe din secolul al XII-lea, semnul zero (0) este numit cerc - cerc . În manualul Sacrobosco , care a avut o mare influență asupra predării aritmeticii în țările occidentale , scris în 1250 și retipărit în foarte multe țări, zero este numit „ thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili ” - theta sau teka , sau cerc , sau figură , sau semnul nimicului . Termenul nulla figura  - fără semn - apare în traducerile latine și adaptările scrise de mână ale operelor arabe din secolul al XII-lea. Termenul nulla se găsește într-un manuscris din 1484 de Nicolas Schuquet și în primul tipărit așa-numita (după locul publicării) Trevize aritmetică (1478) [28] .

De la începutul secolului al XVI-lea, cuvântul „zero” a fost utilizat pe scară largă în Germania și în alte țări, la început ca cuvânt străin și într-o formă gramaticală latină, dar treptat capătă o formă caracteristică acestei limbi naționale.

Rusia

Leonty Magnitsky în „ Aritmetica ” numește semnul 0 „cifră sau nimic” (prima pagină a textului); pe a doua pagină din tabel, în care fiecărei cifre i se dă un nume, 0 se numește „ niciun ”. La sfârșitul secolului al XVIII-lea, în cea de-a doua ediție rusă a „ Abrevieri ale primelor fundații ale matematicii ” de X. Wolf ( 1791 ), zero este numit și figură . În manuscrisele matematice din secolul al XVII-lea, folosind cifre indiene, 0 este numit „pe ” datorită asemănării sale cu litera o [29] .

Istoricul numărului „zero”

Deși nu există un număr 0 în sistemul numeric egiptean, matematicienii egipteni deja din Regatul Mijlociu (începutul mileniului al II-lea î.Hr.) au folosit hieroglifa nfr („frumos”) în loc de acesta, ceea ce însemna și începutul numărătorii inverse în schemele templelor, piramidelor și mormintelor [30] .

În înregistrările chineze ale numerelor, numărul „zero” este, de asemenea, absent; pentru a desemna numărul „zero” folosesc semnul 〇 - una dintre „ hieroglifele împărătesei Wu Zetian ”.

În Grecia antică, numărul 0 nu era cunoscut. În tabelele astronomice ale lui Claudius Ptolemeu , celulele goale erau desemnate prin simbolul ο (litera omicron , din altă greacă οὐδέν  - nimic ); este posibil ca această denumire să fi influențat apariția numărului „zero”, dar majoritatea istoricilor recunosc că matematicienii indieni au inventat zero zecimal .

În Europa, pentru o lungă perioadă de timp, 0 a fost considerat un simbol convențional și nu a fost recunoscut ca număr; chiar și în secolul al XVII-lea, Wallis scria: „Zeroul nu este un număr”. În scrierile aritmetice, un număr negativ era interpretat ca o datorie, iar zero ca o situație de ruină completă. Lucrările lui Leonhard Euler au contribuit în special la egalizarea completă a drepturilor sale cu alte numere .

Vezi și

Note

  1. ↑ 1 2 D. E. Rosenthal . Un ghid de ortografie, pronunție, editare literară. Capitolul X. Ortografia numeralelor. Arhivat pe 12 ianuarie 2015 la Wayback Machine M.: CheRo, 1999.
  2. ↑ Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician, 1985 .
  3. ↑ Zero // Enciclopedia matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3. - S. 1082.
  4. ↑ Zero // Marele Dicţionar Enciclopedic . — 2000.
  5. ↑ Marele dicționar explicativ al limbii ruse. Ch. ed. S. A. Kuznetsov. Prima ediție: Sankt Petersburg: Norint, 1998.
  6. ↑

    Cel mai important număr este zero. A fost o idee genială să faci ceva din nimic, să-i dai un nume și să inventezi un simbol pentru el.

    — Van der Waerden B. L. Awakening Science. Matematica Egiptului antic, Babilonului și Greciei. - M .: Fizmatlit, 1959. - S. 77.
  7. ↑ Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. Rădăcinile istorice ale matematicii elementare  (engleză) . - Publicaţii Courier Dover , 1976. - P. 254-255. - ISBN 0-486-13968-9 . , Extras din paginile 254—255 Arhivat 10 mai 2016 la Wayback Machine
  8. ↑ 1 2 Potapov M. K., Alexandrov V. V., Pasichenko P. I. Algebra și analiza funcțiilor elementare. - M. : Nauka, 1981. - S. 9. - 560 p.
  9. ↑ Standardul internațional 80000-2:2009. Partea 2 . NCSU COE Oameni . Preluat la 12 august 2019. Arhivat din original la 28 februarie 2019.
  10. ↑ GOST R 54521-2011 Metode statistice. Simboluri și semne matematice pentru aplicare în standarde (Reeditare) din 24 noiembrie 2011 - docs.cntd.ru. docs.cntd.ru _ Preluat la 14 ianuarie 2022. Arhivat din original la 9 iulie 2021.
  11. ↑ 1 2 Savin A.P. Dicţionar enciclopedic al unui tânăr matematician / comp. A. P. Savin. - M . : „Pedagogie”, 1989. - S. 219.
  12. ↑ Tsypkin A. G. Manual de matematică pentru școlile secundare / Ed. S. A. Stepanova. - Ed. a 3-a. - M. : Nauka, 1983. - S. 415. - 480 p.
  13. ↑ Care este puterea unui număr Arhivat 28 iulie 2021 la Wayback Machine // School Mathematics, resursă de internet.
  14. ↑ De ce un număr cu puterea lui 0 este egal cu 1? Copie de arhivă din 2 aprilie 2015 la Wayback Machine // Naukolandiya, resursă de internet.
  15. ↑ Funcția de putere Arhivat 2 aprilie 2015 la Wayback Machine // Marea Enciclopedie Sovietică. - M .: Enciclopedia Sovietică 1969-1978.
  16. ↑ Brich Z. S., Voyush V. I., Degtyareva G. S., Kovalevich E. V. Programming in Assembler Language of the ES Computer. — M .: Statistică, 1976. — 296 p.  - S. 13-14, 19.
  17. ↑ Kulakovskaya V.P., Romanovskaya L.M., Savchenko T.A., Feldman L.S. Kobol Computer Minsk-32. Indemnizație pentru angajații centrelor de calcul. - M . : Statistică, 1973. - 284 p.
  18. ↑ Bryabrin V. M. Software pentru calculatoare personale. a 3-a ed. — M .: Nauka , 1990. — 272 p. — ISBN 5-02-014824-5 .  - S. 17, 113-114.
  19. ↑ Smirnov N. N. Software pentru calculatoare personale. - L . : Mashinostroenie, 1990. - 272 p. — ISBN 5-217-00029-5 .  - S. 13, 80-81.
  20. ↑ Lamberto Garcia del Cid. Numere speciale ale altor culturi → 116 // Numere remarcabile. Zero, 666 și alte fiare. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 116. - 159 p. — (Lumea matematicii). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
  21. ↑ Lamb, Evelyn (31 august 2014), Uite, Ma, No Zero! , Scientific American , Roots of Unity , < http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2014/08/31/look-ma-no-zero/ > Arhivat 17 octombrie 2014 la Wayback Machine 
  22. ↑ Menninger K. Istoria numerelor. Numere, simboluri, cuvinte . - M. : ZAO Tsentrpoligraf, 2011. - S.  469 -470. — 543 p. — ISBN 9785952449787 .
  23. ↑ Laura Laurencich-Minelli. Noțiunea curioasă a „Obiectului Zero” mezoamerican și andin și logica Zeilor-Număr Inca . Arhivat din original pe 23 iulie 2012.
  24. ↑ Tam-tam în jurul zero . Consultat la 19 septembrie 2017. Arhivat din original la 20 septembrie 2017.
  25. ↑ Mult zgomot pentru nimic : textul indian antic conține cel mai vechi simbol zero  . The Guardian (14 septembrie 2017). Consultat la 19 septembrie 2017. Arhivat din original la 20 noiembrie 2017.
  26. ↑ Lamberto Garcia del Cid. Numere speciale ale altor culturi → 116 // Numere remarcabile. Zero, 666 și alte fiare. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 115. - 159 p. — (Lumea matematicii). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
  27. ↑ „Zentralblatt für Mathematik”, aprilie 1957, comunicare a istoricului ceh de matematică G. Vetter.
  28. ↑ Depman, 1965 , p. 89.
  29. ↑ Depman, 1965 , p. 90.
  30. ↑ Iosif, George Gheverghese. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Ediția a treia)  (engleză) . — Princeton University Press , 2011. — P.  86 . - ISBN 978-0-691-13526-7 .

Literatură

Link -uri

  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii
În cataloagele bibliografice
 numere întregi
Pana la 100
100 și mai mult