Compactificarea

Compactificarea este o operație care transformă spații topologice în spații compacte .

Definiție

Formal, compactarea unui spațiu este definită ca o pereche , unde este compactă, o încorporare astfel încât este densă în . $X$ $(Y,\;f)$ $Y$ $f:X \la Y$ $f(X)$ $Y$

Exemple

Planul proiectiv real este una dintre compactificările planului euclidian . Cealaltă copactare (în un singur punct) este homeomorfă la o sferă.

Compactare într-un punct

Compactificarea într-un punct (sau compactarea Alexandrov ) este dispusă după cum urmează. Setul și seturile deschise în sunt toate mulțimile deschise , precum și mulțimile de forma , unde are un complement închis și compact (în ). este luată ca o înglobare naturală în . atunci compactarea este Hausdorff dacă și numai dacă este Hausdorff și local compact . $Y=X \cup \{\infty\}$ $Y$ $X$ $O \cup \{\infty\}$ $O\subseteq X$ $X$ $f$ $X$ $Y$ $(Y,\;f)$ $Y$ $X$

Exemple

$\R \cup \{\infty\}$ cu topologia construită ca mai sus este un spațiu compact. Este ușor de demonstrat că, dacă două spații sunt homeomorfe, atunci compactificările corespunzătoare într-un punct sunt și homeomorfe.
- În special, deoarece un cerc în plan fără un punct este homeomorf la c (un exemplu de homeomorfism este o proiecție stereografică ), întregul cerc este homeomorf la c . $\mathbb {R}$ $\R \cup \{\infty\}$
- În mod similar, sfera homeomorfă - dimensională . $\mathbb R^n \cup \{\infty\}$ $n$

Compactare Stone-Cech

La compactificări ale unor spații fixe se poate introduce o ordine parțială . Fie pentru două compactificări , , dacă există o mapare continuă astfel încât . Elementul maxim (până la un homeomorfism ) din această ordine se numește compactificare Stone-Cech [1] și este notat cu . Pentru ca un spațiu să aibă o compactare Stone-Cech care să satisfacă axioma de separare Hausdorff , este necesar și suficient ca acesta să satisfacă axioma de separare , adică să fie complet regulată . $X$ $f_1 \leqslant f_2$ $f_1: X\la Y_1$ $f_2: X\la Y_2$ $g: Y_2 \la Y_1$ $g f_2 = f_1$ $\beta X$ $X$ $X$ $T_{3\frac{1}{2}}$

Note

↑ De asemenea, „Compactarea Stonechech” și „Compactarea Chechstone”.