Cercuri Johnson

Setul de cercuri Johnson este format din trei cercuri de aceeași rază r care au un punct de intersecție comun H . În această configurație, cercurile au de obicei patru puncte de intersecție (puncte prin care trec cel puțin două cercuri) - acesta este punctul de intersecție comun H , prin care trec toate cele trei cercuri și un punct suplimentar pentru fiecare pereche de cercuri (vom vorbi despre ele ca intersecții pe perechi). Dacă oricare două cercuri nu se intersectează (ci doar se ating), ele au un singur punct comun - H , caz în care se consideră că Heste, de asemenea, punctul lor de intersecție pe perechi. Dacă cercurile coincid, punctul diametral opus punctului H este luat ca punct de intersecție pe perechi . Trei puncte de intersecții pe perechi ale cercurilor Johnson formează triunghiul de sprijin Δ ABC al figurii. Configurația este numită după Roger Arthur Johnson [1] [2] .

Notă

Dacă triunghiul suport inițial ABC este unghi ascuțit și predeterminat, atunci, în virtutea teoremei lui Hamilton, cele trei cercuri ale sale Johnson de raze egale sunt doar trei cercuri circumscrise a trei triunghiuri Hamilton având două vârfuri ale triunghiului suport dat ABC ca două vârfuri, iar ortocentrul H al triunghiului de sprijin ca al treilea vârf.triunghi

Proprietăți

Centrele cercurilor Johnson se află pe un cerc de aceeași rază R ca și cercul Johnson, iar acest cerc are punctul H ca centru . Centrele cercurilor formează triunghiul Johnson ΔJ A J B J C .
Un cerc cu raza 2 R centrat în punctul H , cunoscut sub numele de cerc anti-complementar, este tangent la toate cele trei cercuri Johnson ( R este raza cercului circumscris triunghiului ABC ). Cele trei puncte tangente sunt reflexiile punctului H în raport cu vârfurile triunghiului Johnson .
Punctele tangente ale cercurilor Johnson și ale cercului anticomplementar formează un triunghi, care se numește „ triunghi anticomplementar ” sau „ triunghi anticomplementar ” al triunghiului de referință (original) ABC . Acest triunghi este similar și omotetic cu triunghiul lui Johnson cu factor 2 și centru de asemănare H .
Teorema lui Johnson : Punctele de intersecție perechi ale cercurilor lui Johnson (vârfurile triunghiului ABC ) se află pe un cerc de aceeași rază R ca și cercurile lui Johnson. Această proprietate este binecunoscută în România ca problema a cinci monede Gheorghe Ciceica .
Triunghiul suport este egal cu triunghiul Johnson și este omotetic cu acesta cu un factor -1. Adică, triunghiul Johnson intră în triunghiul de referință rotind unul dintre ele la un unghi de 180 de grade față de centrul lor de similitudine.
Punctul H este ortocentrul triunghiului de referință și circumcentrul triunghiului Johnson .
Centrul de similitudine al triunghiului Johnson și al triunghiului de referință este centrul lor comun de nouă puncte . Adică, triunghiul Johnson și triunghiul de referință au un cerc în nouă puncte în comun .
Cometariu. Vârfurile triunghiului Johnson sunt notate cu J A , J B și J C , adică la fel ca centrele excercurilor triunghiului de referință. Ei nu sunt. În virtutea teoremei tridentului, pentru centrul excercului tangent la latura , avem , unde centrul cercului înscris al triunghiului de referință este punctul de intersecție al bisectoarei unghiului cu cercul circumscris triunghiului . Avem o relație similară . Cu toate acestea, punctul nu se află pe cercul circumscris triunghiului (adică nu este un analog al punctului ), iar ortocentrul nu este centrul cercului înscris al triunghiului de referință. $J_{B}$ $AC$ $|DI|=|DA|=|DC|=|DJ_{B}|$ $eu$ $D$ $A$ $ABC$ $|J_{A}H|=|J_{A}C|=|J_{A}B|=|J_{A}P_{A}|$ $J_{A}$ $ABC$ $D$ $H$ $eu$

Notă

H este ortocentrul triunghiului ABC (atunci, în virtutea teoremei lui Hamilton, razele cercurilor Johnson sunt egale). O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC . Ca și teorema lui Hamilton , teorema lui Johnson are sens doar pentru triunghiuri acute. Punctele J A , J B și J C sunt desemnate prin prima literă a numelui Johnson și nu sunt centrele cercurilor triunghiului ABC , care sunt notate cu litere similare.

Dovezi

Proprietatea 1 este evidentă din definiție.

Proprietatea 2 este, de asemenea, clară - pentru orice cerc cu raza r și orice punct P de pe acesta, cercul cu raza 2 r și centrul la P atinge cercul în punctul opus punctului P . În special, acest lucru este valabil și pentru P = H , unde cercul cu raza 2 r este cercul anticomplementar C .

Proprietatea 3 rezultă imediat din definiția asemănării.

Pentru proprietățile 4 și 5, mai întâi rețineți că oricare două dintre cele trei cercuri Johnson sunt simetrice față de dreapta care trece prin punctul H și punctul de intersecție perechi a acestor cercuri (sau despre tangenta comună în H , dacă aceste puncte coincid) și această simetrie schimbă cele două vârfuri ale triunghiurilor anticomplementare situate pe aceste cercuri. Astfel, punctele de intersecție pe perechi sunt punctele mijlocii ale unui triunghi anticomplementar, iar H se află pe perpendiculară pe punctul de mijloc al acestei laturi. Punctele de mijloc ale laturilor oricărui triunghi sunt imaginile vârfurilor triunghiului sub omotezie cu factorul -1 și centrul care coincide cu centrul de greutate al triunghiului. Aplicând această proprietate unui triunghi anti-complementar, care el însuși este obținut dintr-un triunghi Johnson printr-o homoteție cu factor 2, din compoziția homotețiilor obținem că triunghiul de susținere este similar cu triunghiul Johnson cu un factor de − 1. Deoarece o astfel de homotezie este o congruență , aceasta dă proprietatea 5 și demonstrează, de asemenea, teorema lui Johnson, deoarece triunghiurile congruente au aceleași raze circumscrise .

Proprietatea 6. S-a stabilit deja că perpendicularele pe punctele medii ale laturilor unui triunghi anticomplementar trec prin punctul H . Deoarece aceste laturi sunt paralele cu laturile triunghiului de referință, aceste perpendiculare sunt și altitudinile triunghiului de referință.

Proprietatea 7 decurge imediat din proprietatea 6, deoarece centrul de similitudine cu factorul -1 trebuie să se afle la mijloc între centrul cercului circumscris O al triunghiului de referință și punctul H . Punctul H este ortocentrul triunghiului de susținere, iar centrul său de nouă puncte este cunoscut a fi acest punct de mijloc. Având în vedere maparea simetriei centrale a ortocentrului triunghiului de referință la ortocentrul triunghiului Johnson, centrul de similitudine este, de asemenea, centrul celor nouă puncte ale triunghiului Johnson.

Există, de asemenea, o demonstrație algebrică a teoremei cercurilor lui Johnson folosind formule vectoriale simple. Există vectori , și , toate lungimile r , iar cercurile Johnson au centre la , și , respectiv. Atunci intersecțiile pe perechi sunt , și , respectiv, și este clar că punctul are o distanță r la orice punct de intersecție perechi. ${\vec {u}}$ $\vec{v}$ $\vec{w}$ $H+{\vec {u)}$ $H+{\vec {v)}$ $H+{\vec {w)}$ $H+{\vec {u}}+{\vec {v}}$ $H+{\vec {u}}+{\vec {w}}$ $H+{\vec {v}}+{\vec {w}}$ $H+{\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}$

Alte proprietăți

Cele trei cercuri ale lui Johnson pot fi considerate ca reflexii ale unui cerc circumscris în jurul triunghiului de referință în raport cu cele trei laturi ale sale. Mai mult, atunci când este reflectat, ortocentrul H merge în trei puncte ale cercului circumscris triunghiului suport, formând vârfurile triunghiului ortocerc , centrul cercului circumferitor O este mapat la vârfurile triunghiului Johnson și linia lui Euler ( linia care trece prin O , N și H ) formează trei drepte care se intersectează în punctul X (110).

Triunghiul Johnson și triunghiul său de referință au aceleași centre de nouă puncte, aceeași linie Euler și aceleași cercuri de nouă puncte . Șase puncte - vârfurile triunghiului de referință și vârfurile triunghiului său Johnson - se află pe elipsa Johnson , care are un centru în centrul a nouă puncte și punctul X (216) al triunghiului de referință este punctul său de perspectivă . Elipsa circumscrisă și cercul circumscris au patru puncte comune - trei vârfuri ale triunghiului de referință și punctul X (110).

Și, în sfârșit, există două curbe cubice interesante descrise în literatură, care trec prin vârfurile triunghiului de sprijin și ale triunghiului său Johnson, precum și prin centrul cercului circumscris, ortocentrul și centrul celor nouă cercuri. Prima curbă este cunoscută sub numele de curba Musselmann - K 026. Această curbă trece și prin vârfurile triunghiului median și triunghiul median al triunghiului Johnson. A doua curbă este cunoscută sub numele de curba Euler a centrelor - K 044. Această curbă trece și prin șase puncte - bazele înălțimilor și bazele înălțimilor triunghiului Johnson.

Notația punctuală X ( i ) aparține clasificării lui Clark Kimberling din Encyclopedia of Triangle Points .

Note

↑ Johnson, 1929 .
↑ Johnson, 1916 , p. 161-162.

Literatură

Roger Arthur Johnson. Geometrie modernă: un tratat elementar despre geometria triunghiului și a cercului. - Houghton: Compania Mifflin, 1929.
Roger Arthur Johnson. O teoremă a cercului // American Mathematical Monthly . - 1916. - Emisiune. 23 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Johnson Teorema (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
FM Jackson și Weisstein, Eric W. Johnson Circles (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
F. M. Jackson și Weisstein, Eric W. Johnson Triangle (engleză) la Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Johnson Circumconic (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Circum-Orthic Triangle (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Bernard Gibert Circumcubic K026 Arhivat 19 martie 2007 la Wayback Machine
Bernard Gibert Circumcubic K044
Clark Kimberling, " Enciclopedia centrelor triunghiulare Arhivat 19 aprilie 2012 la Wayback Machine ". (Enumeră aproximativ 3000 de puncte interesante asociate cu orice triunghi.)