Teorema lui Hamilton
Cele trei segmente de linie care leagă ortocentrul de vârfurile triunghiului acut îl despart în trei triunghiuri hamiltoniene care au același cerc Euler ( cerc de nouă puncte ) ca și triunghiul acut original.
Exemplu
Dacă, în figura prezentată, ortocentrul triunghiului unghiular ascuțit ABC este notat cu T , atunci cele trei triunghiuri hamiltoniene TAB , TBC și TCA au un cerc Euler comun ( cerc de nouă puncte ).
Asociație
Cele trei triunghiuri Hamilton din teorema lui Hamilton formează așa-numitul ochi de dragon .
Aplicație
Teorema lui Hamilton este folosită ca parte integrantă a teoremei lui Johnson (vezi figura).
Consecințele
- Trei segmente de linie care leagă ortocentrul cu vârfurile unui triunghi acut îl împart în trei triunghiuri Hamilton având raze egale ale cercurilor circumscrise.
- Razele cercurilor circumscrise ale celor trei triunghiuri hamiltoniene sunt egale cu raza cercului circumscris triunghiului acut original. Să le numim cercuri Hamilton-Johnson.
- Razele cercurilor circumscrise a trei triunghiuri hamiltoniene au trei centre J A , J B și J C . Aceste trei centre formează vârfurile triunghiului Johnson ΔJ A J B J C , care este egal cu triunghiul inițial Δ ABC și are laturile paralele pe perechi ( teorema lui Johnson , vezi figura).
- Dacă trasăm drepte paralele cu laturile opuse prin vârfurile triunghiului inițial ABC , atunci obținem un triunghi anticomplementar similar triunghiului original ABC , ale cărui vârfuri P A , P B și PC se află pe trei cercuri Hamilton-Johnson cu raze egale . (vezi fig.) .
Observație 1
Ambele corolare decurg imediat din teorema lui Hamilton , dacă observăm că raza cercului Euler este egală cu jumătate din raza cercului circumscris aceluiași triunghi.
Observația 2
- Pentru un triunghi obtuz, teorema lui Hamilton este reformulată după cum urmează. Să construim un ortocentru în afara unui triunghi obtuz-unghi ca punct de intersecție al celor două înălțimi ale sale, coborât de la vârfurile a două unghiuri ascuțite până la continuarea celor două laturi ale sale și continuarea celei de-a treia înălțimi trase de la vârful unui unghi obtuz. Atunci ortocentrul și două vârfuri ale unghiurilor ascuțite formează un triunghi ascuțit, căruia i se aplică teorema lui Hamilton. În special, triunghiul obtuz în sine va fi unul dintre cele trei triunghiuri hamiltoniene . Vârfurile celorlalte două triunghiuri Hamilton sunt ortocentrul și vârfurile a două laturi adiacente care formează un unghi obtuz al unui triunghi obtuz.
- Pentru un triunghi dreptunghic, ortocentrul coincide cu vârful unghiului drept, iar un triunghi hamiltonian coincide cu acest triunghi dreptunghic însuși cu raza (diametrul) corectă a cercului circumscris . Cele două triunghiuri Hamilton rămase degenerează în două catete la vârful unghiului drept. Prin aceste două picioare (ca printr-un triunghi cu două puncte - vârfuri) este posibil să se deseneze un număr infinit de cercuri circumscrise cu diametre nu mai mici decât lungimea acestor picioare. Adică, teorema lui Hamilton este îndeplinită formal și în acest caz limitativ.
Exemplu
Dacă în figura prezentată ortocentrul unui triunghi cu unghi ascuțit ABC este notat cu T , atunci pentru un triunghi obtuz TBC , ortocentrul va fi punctul A. Trecând de la triunghiul obtuz TBC la triunghiul acut ABC , se poate folosi din nou teorema lui Hamilton .
Istorie
Teorema a fost dovedită de remarcabilul matematician și fizician irlandez al secolului al XIX-lea William (William) Rowan Hamilton în 1861. Hamilton, William Rowan (1806-1865) - matematician irlandez.
Literatură
Vezi și