Înălțimea triunghiului

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 14 aprilie 2020; verificările necesită 142 de modificări .

Înălțimea unui triunghi este perpendiculara căzută de la vârful triunghiului spre latura opusă (mai precis, spre linia care conține latura opusă). În funcție de tipul de triunghi, înălțimea poate fi conținută în interiorul triunghiului (pentru un triunghi acut ), să coincidă cu latura acestuia (fie un catet al unui triunghi dreptunghic) sau să treacă în afara triunghiului unui triunghi obtuz.

Proprietăți

Proprietățile ortocentrului

Toate cele 3 înălțimi ale unui triunghi se intersectează în 1 punct, numit ortocentru . Dovada este mai jos.
Ortocentrul este conjugat izogonal cu centrul cercului circumscris .
Ortocentrul se află pe aceeași linie cu centroidul , centrul cercului circumscris și centrul cercului de nouă puncte (vezi linia lui Euler ).
Ortocentrul unui triunghi ascuțit este centrul cercului înscris în ortotriunghiul său .
Într-un triunghi ascuțit, ortocentrul se află în interiorul triunghiului; în obtuz - în afara triunghiului; într-un dreptunghiular, la vârful unui unghi drept.

Proprietăți asociate cu cercul circumscris

Centrul unui cerc circumscris unui triunghi servește ca ortocentru al unui triunghi cu vârfuri la mijlocul laturilor triunghiului dat. Ultimul triunghi se numește triunghi suplimentar față de primul triunghi.
Ultima proprietate poate fi formulată astfel: Centrul cercului circumscris triunghiului servește ca ortocentru al triunghiului suplimentar .
Punctele simetrice față de ortocentrul triunghiului față de laturile sale se află pe cercul circumscris.
Punctele simetrice față de ortocentrul triunghiului față de punctele mijlocii ale laturilor se află, de asemenea, pe cercul circumscris și coincid cu puncte diametral opuse vârfurilor corespunzătoare.
Dacă O este centrul cercului circumscris ΔABC, atunci , $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
- $|OH| = \sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$ , unde este raza cercului circumscris ; sunt lungimile laturilor triunghiului. $R$ $a,b,c$
Distanța de la vârful triunghiului la ortocentru este de două ori distanța de la centrul cercului circumscris la partea opusă.
Orice segment trasat de la ortocentru la intersecția cu cercul circumscris este întotdeauna divizat în două de cercul Euler . Ortocentrul este centrul homoteziei acestor două cercuri.
Teorema lui Hamilton . Cele trei segmente de linie care leagă ortocentrul de vârfurile triunghiului acut îl împart în trei triunghiuri având același cerc Euler ( cerc de nouă puncte ) ca și triunghiul acut original.
Corolare ale teoremei lui Hamilton :
- Trei segmente de linie care leagă ortocentrul cu vârfurile unui triunghi acut îl împart în trei triunghiuri Hamilton având raze egale ale cercurilor circumscrise.
- Razele cercurilor circumscrise ale celor trei triunghiuri hamiltoniene sunt egale cu raza cercului circumscris triunghiului acut original.

Proprietățile înălțimii unui triunghi isoscel

Dacă într-un triunghi două înălțimi sunt egale, atunci triunghiul este isoscel , iar a treia înălțime este atât mediana , cât și bisectoarea unghiului din care iese.
Este adevărat și invers: într-un triunghi isoscel, două înălțimi sunt egale, iar a treia înălțime este atât o mediană, cât și o bisectoare.

Proprietățile înălțimii unui triunghi echilateral

teorema lui Viviani). Pentru orice punct P din interiorul unui triunghi echilateral, suma perpendicularelor pe cele trei laturi este egală cu înălțimea triunghiului. [unu]

Proprietățile înălțimii unui triunghi isoscel

Teorema lui Viviani generalizată la orice punct P bazat pe un triunghi isoscel . Suma distanțelor de la un punct arbitrar situat pe baza unui triunghi isoscel până la laturile laterale (egale) este o valoare constantă egală cu înălțimea coborâtă pe latura laterală. [2]

Proprietățile de înălțime ale unui triunghi arbitrar

Teorema lui Viviani este generalizată . Dacă de la capetele celei mai mici dintre cele trei laturi ale triunghiului se amână pe cele două laturi rămase aceleași segmente egale cu lungimea celei mai mici dintre cele trei laturi, atunci prin conectarea celor două capete non-apex ale segmentelor amânate ale linia dreaptă, obținem locul punctelor aflate în interiorul triunghiului. Pentru orice punct P al acestui loc de puncte din interiorul triunghiului, suma distanțelor până la cele trei laturi este o constantă. [3]

Proprietățile bazelor înălțimilor unui triunghi

Bazele înălțimilor formează așa-numitul ortotriunghi , care are propriile sale proprietăți.
Cercul descris lângă ortotriunghi este cercul Euler . Pe acest cerc se află și trei puncte medii ale laturilor triunghiului și trei puncte medii ale celor trei segmente care leagă ortocentrul cu vârfurile triunghiului.
O altă formulare a ultimei proprietăți:
- Teorema lui Euler pentru cercul de nouă puncte . Bazele celor trei altitudini ale unui triunghi arbitrar, punctele mijlocii ale celor trei laturi ale sale ( bazele medianelor sale interne) și punctele medii ale celor trei segmente care leagă vârfurile sale de ortocentrul se află toate pe același cerc (pe cercul lui ). nouă puncte ).
Teorema . În orice triunghi, segmentul care leagă bazele celor două înălțimi ale triunghiului taie un triunghi similar cu cel dat.
Teorema . Într-un triunghi, segmentul care leagă bazele a două înălțimi ale triunghiului situat pe două laturi este antiparalel cu a treia latură, cu care nu are puncte comune. Prin cele două capete ale sale, precum și prin două vârfuri ale celei de-a treia laturi menționate, este întotdeauna posibil să se deseneze un cerc.

Proprietăți ale punctelor medii ale altitudinilor unui triunghi

Teorema lui Schlömilch . În 1860, Schlömilch a demonstrat o teoremă: trei drepte care leagă punctele medii ale laturilor unui triunghi cu punctele mijlocii ale înălțimilor sale respective se intersectează într-un punct. În 1937, matematicianul sovietic S. I. Zetel a arătat că această teoremă este adevărată nu numai pentru înălțimi, ci și pentru orice alt cevian .
O altă teoremă evidentă . Punctul de mijloc al înălțimii unui triunghi se află întotdeauna pe linia mediană a triunghiului care îl intersectează.
Teorema lui Rigby . Dacă desenăm o altitudine și un cerc atingând-o pe cealaltă parte de orice parte a unui triunghi în unghi ascuțit , atunci punctul de contact al acestuia din urmă cu această latură, punctul de mijloc al altitudinii menționate și, de asemenea, incentrul se află pe una. linie dreapta. [4] .
Din teorema lui Rigby rezultă că 3 segmente care leagă punctul de mijloc al fiecăreia dintre cele 3 înălțimi ale unui triunghi cu punctul de contact al unui cerc trasat de aceeași latură cu înălțimea se intersectează la incentru .
Punctele medii X și Y ale două altitudini ale triunghiului ABC , precum și punctul mijlociu K al laturii BC , de la capetele căreia ies aceste două altitudini, precum și ortocentrul H se află pe același cerc , pe care al cincilea punct. D - baza celei de-a treia altitudini AD [5] se află de asemenea .
Fie în triunghiul ABC O centrul cercului circumscris. Lasă linia x să treacă prin mijlocul înălțimii triunghiului, căzută de la vârful A și să fie paralelă cu OA. Liniile y și z sunt definite în mod similar. Aceste 3 drepte se intersectează într-un punct T, care este centrul cercului Taylor [6] al triunghiului ABC. [7] .

Alte proprietăți

Dacă un triunghi este scalen ( neechilateral ), atunci bisectoarea sa internă desenată de la orice vârf se află între mediana internă și înălțimea desenată din același vârf.
Înălțimea unui triunghi este conjugată izogonal cu diametrul (raza) cercului circumferitor tras din același vârf.
Într -un triunghi cu unghi ascuțit, două dintre înălțimile sale decupează din el 2 perechi de triunghiuri cu un vârf comun, care sunt similare.
Într -un triunghi dreptunghic , înălțimea trasă de la vârful unghiului drept îl împarte în două triunghiuri similare cu cel original.
Trei părți din înălțimile unui triunghi unghiular dat în interiorul ortotriunghiului său se dovedesc a fi trei bisectoare .

Proprietăți ale înălțimii minime

Înălțimea minimă a unui triunghi are multe proprietăți extreme . De exemplu:

Proiecția ortogonală minimă a unui triunghi pe linii situate în planul triunghiului are o lungime egală cu cea mai mică dintre înălțimile sale.
Tăierea dreaptă minimă în planul prin care poate fi trasă o placă triunghiulară inflexibilă trebuie să aibă o lungime egală cu cea mai mică dintre înălțimile acestei plăci.
Cu o mișcare continuă a două puncte de-a lungul perimetrului triunghiului unul spre celălalt, distanța maximă dintre ele în timpul deplasării de la prima întâlnire la a doua nu poate fi mai mică decât lungimea celei mai mici înălțimi ale triunghiului.
Înălțimea minimă într-un triunghi se află întotdeauna în acel triunghi.

Rapoarte

$h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta =a\,{\frac {\sin \beta \cdot \sin \gamma }{\sin(\beta +\gamma ))}$
$h_{a}={\frac {2S}{a}},$ unde este aria triunghiului, este lungimea laturii triunghiului pe care este coborâtă înălțimea . $S$ $A$
$h_{a}^{2}={\frac {1}{2}}(b^{2}+c^{2}-{\frac {1}{2}}(a^{2} }+{\frac {(b^{2}-c^{2})^{2}}{a^{2}}}))$
$h_{a}^{2}={\frac {1}{4a^{2}}}(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b +c)$
$h_{a}={\frac {bc}{2R)),$ unde este produsul laturilor, este raza cercului circumscris $bc$ $R$
$h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}} =bc:ac:ab$
${\frac 1{h_{a))}+{\frac 1{h_{b))}+{\frac 1{h_{c))}={\frac {1}{r))$ , unde este raza cercului înscris . $r$
$S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a)}}+{\frac {1}{h_{b)}}+{\frac {1} {h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_ { c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b} } }){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}}) } }}$ unde este aria triunghiului. $S$
$a={\frac {2}{h_{a}{\cdot }{\sqrt {({\frac {1}{h_{a)}}+{\frac {1}{h_{b} }}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}- {\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1} {Ha}}})}}}}}$ , este latura triunghiului la care coboară înălțimea . $A$ $Ha}$
Înălțimea unui triunghi isoscel coborât la bază: $h_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}},$

unde este baza și este latura.

c

A

$h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$ este înălțimea într-un triunghi echilateral cu latura . $A$

Teoremă asupra unui punct arbitrar din interiorul unui triunghi

Teoremă asupra unui punct arbitrar din interiorul unui triunghi . Dacă p a , p b și p c sunt distanțele (segmentele perpendiculare) de la orice punct P al triunghiului la cele trei laturi ale sale, iar h a , h b și h c sunt lungimile înălțimilor coborâte la laturile corespunzătoare (a , b și c), apoi [8]

{\frac {p_{a}}{h_{a}}}+{\frac {p_{b}}{h_{b}}}+{\frac {p_{c}}{h_{c }}}=1.

Corolarul teoremei . Dacă punctul P este incentrul triunghiului dat, atunci p a = p b = p c = . Apoi din ultima teoremă avem: $r$

{\frac 1{h_{a))}+{\frac 1{h_{b))}+{\frac 1{h_{c))}={\frac {1}{r))

, unde este raza cercului înscris .

r

Teoremă asupra a trei cevieni arbitrare în interiorul unui triunghi, dintre care unul este înălțimea

Teorema . Dacă două cevian arbitrare (nu neapărat două înălțimi) în interiorul unui triunghi cu unghi ascuțit se intersectează într-un punct al celui de-al treilea cevian, care este înălțimea acestui triunghi, atunci înălțimea însăși este bisectoarea unghiului format de cele două segmente de linie trasate. de la baza înălțimii indicate până la cele două baze ale cevianelor indicate (până la două puncte de intersecții ale celor două cevie specificate cu laturi). [9]

Teoremă asupra unui punct de înălțime arbitrar

Teorema punctului de înălțime arbitrară . Dacă E este un punct arbitrar la altitudinea AD al oricărui triunghi ABC , atunci [10] :77–78

AC^{2}+EB^{2}=AB^{2}+CE^{2}.

Teoreme privind înălțimile unui triunghi dreptunghic

Teorema lui Pitagora inversă

Într-un triunghi dreptunghic 3, înălțimile h a , h b și h c (dintre care primele 2 sunt egale cu lungimile laturilor b și respectiv a din acest triunghi) sunt legate prin relația, conform [ 11] [12]

{\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{h_{c} ^{2}}}.

Această relație este cunoscută ca teorema inversă a lui Pitagora).

Teorema înălțimii unui triunghi dreptunghic

Dacă înălțimea într-un triunghi dreptunghic cu lungimea trasă din vârful unghiului drept împarte ipotenuza cu lungimea în segmente și corespunzătoare catetelor și , atunci sunt adevărate următoarele egalități: $ABC$ $h$ $c$ $m$ $n$ $b$ $A$

$h^{2}=mn$
$a^{2}=cn$ ; $b^{2}=cm$
$ch=ab$

Teorema proiecției

Vezi p. 51, f. (1.11-4) [13] . Teorema proiecției: . Din teorema de proiecție rezultă că înălțimea omise, de exemplu, de la vârf împarte latura opusă acestuia în două părți și , numărând de la vârf la . $c=a\cos \beta +b\cos \alpha ;\ a=b\cos \gamma +c\cos \beta ;\ b=c\cos \alpha +a\cos \gamma$ $C$ $c$ $a\cos \beta$ $b\cos \alpha$ $A$ $B$

Istorie

Afirmația: „Toate cele 3 înălțimi ale unui triunghi se intersectează într-un punct”, numită acum ortocentru , lipsește din Elementele lui Euclid . Unii istorici îi atribuie lui Arhimede această afirmație și o numesc teorema lui Arhimede [14] . Ortocentrul a fost folosit pentru prima dată în matematica greacă în Cartea Lemelor a lui Arhimede , deși Arhimede nu a oferit dovada explicită a existenței ortocentrului.
Într-o formă indirectă și explicit, această afirmație („Toate cele 3 înălțimi ale unui triunghi se intersectează într-un punct”) se găsește în Proclus (410-485) - comentatorul lui Euclid [15] .
Cu toate acestea, până la mijlocul secolului al XIX-lea, ortocentrul a fost adesea numit punctul arhimedian [16] .
Alți istorici ai matematicii îl consideră pe William Chapple (topograf) autorul primei dovezi.) ( Miscellanea Curiosa Mathematica , 1749) [17] .
Termenul ortocentru în sine a fost folosit pentru prima dată de W. H. Besant ( WH Besant) în „Secțiuni conice investigate geometric (1869)” ( [18] ) [19] .

Două componente ale înălțimii: pre -înălțime și post- înălțime [20]

Pe fig. pe dreapta în triunghiul ABC prin punctul O se desenează 3 înălțimi: AD , BE și CF. Apoi punctul de intersecție O a 3 înălțimi împarte fiecare înălțime în 2 segmente de linie, unul dintre ele (care începe la vârf și se termină în punctul de intersecție O ) îl vom numi înălțime sau preînălțime , iar al doilea dintre ele (care începe la punctul de intersecție O , și se termină în punctul de intersecție cu latura opusă vârfului) vom numi poștaltitudine .
Acești 2 termeni sunt introduși prin analogie cu operatorii de buclă , ținând cont de reprezentarea lor pe diagrame de flux în informatică. Există concepte de ciclu, respectiv, cu o condiție pre- și post-condiție , în funcție de faptul că această condiție este înainte sau după corpul ciclului. În cazul nostru, corpul buclei este punctul O al intersecției înălțimilor, iar condiția este primul sau al doilea capăt al segmentului introdus ca concept pentru una dintre cele două părți ale înălțimii.
Cu ajutorul acestor 2 concepte, unele teoreme de geometrie sunt destul de simplu formulate.

De exemplu, în orice triunghi (acut, drept și obtuz) cele 3 produse ale pre- și postînălțimii sunt aceleași [21] . Pentru triunghiuri acute și dreptunghiulare , această afirmație este ușor de demonstrat. Este valabil și pentru orice triunghi obtuz, ceea ce este surprinzător, deoarece într-un astfel de triunghi 2 din 3 înălțimi nici măcar nu se află în interiorul triunghiului în sine.

Cometariu. Pe această fig. în dreapta în triunghiul ABC, cevianele nu sunt altitudini. Pe următoarea fig. în dreapta în triunghiul ABC există trei înălțimi: ${\displaystyle AH_{a}, BH_{b}, CH_{c))$

Variații pe o temă. Înălțimi într-un patrulater

Teorema [22] . Fie - un patrulater înscris, - baza perpendicularei ( înălțimea ), coborâtă de la vârf la diagonală ; punctele sunt definite în mod similar . Apoi punctele se află pe același cerc. $ABCD$ $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$

Această afirmație este o consecință a celei de-a șasea leme a cercului .

Note

↑ Zetel S. I. Noua geometrie a unui triunghi. Un ghid pentru profesori. editia a 2-a. M.: Uchpedgiz, 1962. S. 139, p. 128, Consecința
↑ Zetel S. I. Noua geometrie a unui triunghi. Un ghid pentru profesori. editia a 2-a. M.: Uchpedgiz, 1962. S. 138, p. 127
↑ Zetel S. I. Noua geometrie a unui triunghi. Un ghid pentru profesori. editia a 2-a. M.: Uchpedgiz, 1962. S. 137, p. 126. Problemă, iad. 106
↑ Ross Honsberger . Episoade din geometria euclidiană din secolul al XIX-lea și al XX-lea . Washington, DC: Asociația de matematică din America, 1996, ISBN 978-0883856390 . p. 30, Figura 34, §3. O coliniaritate improbabilă.
↑ Ross Honsberger . Episoade din geometria euclidiană din secolul al XIX-lea și al XX-lea . Washington, DC: Asociația de matematică din America, 1996, ISBN 978-0883856390 . p. 33, figura 40, §Exercițiul 3.2
↑ Taylor Circle// https://deru.abcdef.wiki/wiki/Taylor-Kreis
↑ Myakishev A. Mergând în cerc: de la Euler la Taylor // Matematică. Totul pentru profesor! nr. 6 (6). iunie 2011. p. 3, sarcina 2, fig. 3// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
↑ Johnson, 2007 , p. 74, Secțiunea 103c
↑ Zetel S. I. Noua geometrie a unui triunghi. a 2-a ed. M.: Uchpedgiz, 1962. p. 85, p. 70. iad. 62
↑ Posamentier AS, Salkind. CT Challenging Problems in Geometry , Dover Publishing Co., a doua ediție revizuită, 1996.
↑ Voles, Roger, „Integer solutions of ”, Mathematical Gazette 83, iulie 1999, 269–271. $a^{{-2}}+b^{{-2}}=d^{{-2}}$
^ Richinick , Jennifer, „The upside-down Pythagore Theorem”, Mathematical Gazette 92, iulie 2008, 313–317.
↑ Korn G.A., Korn T.M. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri . - M . : " Nauka ", 1974. - 832 p.
↑ Efremov D. Noua geometrie a unui triunghi. Odesa, 1902, p. 9, p. 16. Înălțimile unui triunghi. Teorema lui Arhimede.
↑ Nathan Altshiller-Court. "Geometria colegiului. O introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului". a doua editie. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 298, §175.
↑ Maureen T. Carroll, Elyn Rykken. Geometrie: linia și cercul . Data accesului: 10 aprilie 2020. (nedefinit)
↑ Bogomolny, Alexander, A Possibly First Proof of the Concurrence of Altitudes , < https://www.cut-the-knot.org/triangle/Chapple.shtml > . Extras 17 noiembrie 2019. Arhivat 7 mai 2021 la Wayback Machine
↑ Conic Sections Treated Geometrically, 1869. Ref: 1895: Conic sections treated geometrically Arhivat 18 aprilie 2018 la Wayback Machine de la Cornell University Historical Math Monographies.
↑ Nathan Altshiller-Court. "Geometria colegiului. O introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului". a doua editie. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 298, §176
↑ Starikov V.N. Studiu al X-lea în Geometrie (§ Pre-(pre-)- și Post-Cevians). Revista electronică științifică evaluată de colegi a MSAU „Science and Education”. 2020. Nr. 1. 7 p.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/1604 Copie de arhivă din 29 iunie 2020 la Wayback Machine
↑ Nathan Altshiller-Court. "Geometria colegiului. O introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului". a doua editie. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 94, §177. Teorema.
↑ În jurul problemei lui Arhimede. Ex. 7, fig. 11, corolar, p. 5 Arhivat pe 29 aprilie 2016 la Wayback Machine .

Literatură

Johnson, Roger A. Geometrie euclidiană avansată. - Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-46237-0 .

Link -uri

Director: Triunghiuri

Vezi și

Triunghi
Tipuri de triunghiuri	Dreptunghiular Isoscel Echilateral Isoscel dreptunghiular
Linii minunate într-un triunghi	Median Înălţime Bisectoare Midperpendicular linia de mijloc Cercuri circumscrise și înscrise Linia dreaptă a lui Simson linia lui Euler Simediana Cheviana
Puncte remarcabile ale triunghiului	Ortocentru Centroid În centru Punctul Brocard Vecten punct Point Gergonne Punctul Lemoine punctul Miquel punctul Nagel Napoleon arată Punctele lui Torricelli Centru cerc cu nouă puncte Centrul Spieker Enciclopedia centrelor triunghiulare
Teoreme de bază	inegalitatea triunghiulară Semne de asemănare ale triunghiurilor Rezolvarea triunghiurilor Teorema unghiului exterior al triunghiului Teorema sumei unghiurilor triunghiulare teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema sinusului Teorema proiecției Formula lui Heron
Teoreme suplimentare	teorema lui Van Obel Teorema lui Menelaus Teorema Reuschle (Terkema). teorema lui Stewart Teorema tangentei Teorema cotangentei teorema lui Ceva Formule Mollweide
Generalizări	triunghi sferic triunghi hiperbolic Simplex