Operade

Operada oferă o abordare generală pentru a descrie proprietăți precum comutativitatea sau anticomutativitatea , precum și diferitele variații ale asociativității . Relația dintre algebre și operade este similară cu relația reprezentărilor grupurilor și grupurilor .

Definiție

Operad ( o clonă de operaţii multiliniare ) este o familie de mulţimi cu acţiunea stângă a grupurilor simetrice asupra celor corespunzătoare şi cu operaţii de compunere : $\{R_{n},\;n\geqslant 1\)$ $S_{n}$ $R_n$

R_{n_{1}}\times \ldots \times R_{n_{m}}\times R_{m}\to R_{n_{1}+\ldots +n_{m}}:(r_{ 1},\;\ldots ,\;r_{m},\;r)\la r_{1}\ldots r_{m}r,

satisfacerea identităților de asociativitate generalizată :

(r_{11}r_{21}\ldots r_{k_{1}1}r_{1})\ldots (r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_{m}m}r_{ m})r=(r_{11}r_{21}\ldots r_{k_{1}1}\ldots r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_{m}m})(r_{1} \ldots r_{m}r)

și prezența unei unități . $\varepsilon \in R_{1}:(\varepsilon \ldots \varepsilon )r=r,\quad r\varepsilon =r$

Se spune că o operadă este liniară dacă sunt spații , acțiunile de grup simetrice sunt reprezentări și compozițiile sunt multiliniare . $R_n$ $S_{n}$

O algebră peste o operadă liniară este un spațiu cu operații de compoziție multiliniară : $A$

A^{\otimes n}\otimes _{S_{n))R_{n}\to A:a_{1}\otimes \ldots \otimes a_{n}\otimes r\to a_{1} \ldots a_{n}r

cu proprietăți de unitaritate și asociativitate generalizată : $a\varepsilon =a$

(a_{11}a_{21}\ldots a_{k_{1}1}r_{1})\ldots (a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_{m}m}r_{ m})r=(a_{11}a_{21}\ldots a_{k_{1}1}\ldots a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_{m}m})(r_{1} \ldots r_{m}r).

Exemple

Construcțiile operade descriu un set de sisteme algebrice , obiecte topologice, combinatorii.

Cea mai simplă operadă este un inel asociativ cu unitate: . Algebra de deasupra este un modul drept . $R$ $R_{1}=R,\quad R_{>1}=\{0\)$ $R$
Structura unei operade liniare poate fi definită pe familia de algebre de grup peste grupuri simetrice , precum și pe , unde este un monoid . $\{k(S_{n}),\;n\geqslant 1\}$ $\{k(G^{n}),\;n\geqslant 1\}$ $G$

Istorie

Algebrele peste operade, fără o definiție explicită a acestor concepte, au fost folosite pentru prima dată de matematicianul american Stashef lucrare din 1963 Complexele de compoziție au fost introduse de matematicianul american Murray Gerstenhaber într-o lucrare din 1968 . Clonele operațiilor multiliniare și algebrelor multioperatoare au fost introduse de algebristul sovietic V. A. Artamonov într-o lucrare din 1969 . Puțin mai târziu, conceptul înrudit de operade și algebre peste ele a fost descoperit de topologul american J. Peter May. De atunci, oamenii de știință occidentali îl consideră pe Peter May inventatorul operelor. [1] Aproximativ în aceeași perioadă, topologul american Michael Boardman și topologul german Rainer Vogt au scris ceea ce este considerat un clasic în teoria operad, folosind în schimb denumirile PROP-urile lui MacLane și teoriile algebrice ale lui Lover.

Note

↑ săptămâna220 . Consultat la 18 martie 2006. Arhivat din original pe 4 martie 2006. (nedefinit)

Literatură

Stasheff JD Homotopy Asociativitatea spațiilor H. I // Tranzacții ale Societății Americane de Matematică. - 1963. - vol. 108.-Nr. 2.-pp. 275-292.
Gerstenhaber M. Despre deformaţiile inelelor şi algebrelor:III // Analele matematicii, seria a doua. - 1968. - vol. 88.-Nu. 1.-pp. 1-34.
Artamonov VA Clone de operații multiliniare și algebre multioperatoare // Uspekhi Mat. - 1969. - v. 24. - Nr. 1. - p. 47-59.
May JP Geometria spațiilor de buclă iterate // Note de curs la matematică. - vol. 271. - Berlin: Springer-Verlag, 1972. - 175 p.
Boardman JM; Vogt RM Homotopy Invariant Algebric Structures on Topological Spaces // Note de curs la Matematică. - vol. 347. - Berlin: Springer-Verlag, 1973.