Operator Schrödinger

Operatorul Schrödinger este un operator diferențial de forma:

H=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2m_{j)}}\Delta _{j}+\sum _{i<j}^{n} v_{ij}(x_{i}-x_{j})+\sum _{j=1}^{n}v_{j}(x_{i})

Este un operator al unei probleme de valoare limită singulară eliptică . Teoria matematică a operatorilor Schrödinger este utilizată în mecanica cuantică [1] , geometrie diferențială (dovada teoremei Gauss-Bonnet [2] ), topologie (în teoria Morse când se demonstrează inegalitatea lui Morse [3] ). Permite numeroase generalizări [4] . În anumite condiții asupra potențialelor și este un operator auto-adjunct cu un domeniu dens de definiție peste tot în spațiul funcțiilor pătrat-integrabile $v_{ij}(x)$ $v_{j}(x)$ $\psi (x_{1},\dots,x_{n}))$ [5] [6] . Această proprietate este echivalentă cu solubilitatea unică a ecuației Schrödinger nestaționare [6] . Este foarte important pentru bazele mecanicii cuantice, deoarece numai operatorii auto-adjuncți descriu observabile mecanice cuantice. În mecanica cuantică , operatorul Schrödinger este operatorul energetic al unui sistem departicule încărcate în reprezentarea în coordonate. Într-o descriere aproximativă a comportamentului unei particule într-un câmp extern sau într-un sistem de două particule care interacționează, operatorul Schrödinger este definit în spațiul funcțiilor pătrat-integrabile și are forma:, unde este un vector spațial tridimensional [ 1] . $n$ $H=-\Delta +v(x)$ $X$

Operator Schrödinger unidimensional

Operatorul Schrödinger unidimensional are forma:

H_{1}=-{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+v(z)

unde este un vector spațial unidimensional. În cazul unui potențial în creștere infinit la , spectrul său este discret, unic. În cazul unui oscilator armonic - . Valorile proprii și funcțiile proprii , unde , sunt polinoame Hermite . $z$ $v(z)\rightarrow \infty$ $\left|z\right|\rightarrow \infty$ $v(z)=z^{2)$ $\lambda _{n}=2n+1$ $\psi _{n}(z)=e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}H_{n}(z)$ $n=0,1,2,\dots$ $H_{n}(z)$

Un criteriu suficient pentru auto-ajungerea operatorului Schrödinger

Pentru operatorul Schrödinger pentru un sistem de particule definit pe funcții finite netede: $n$

H=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2m_{j)}}\Delta _{j}+\sum _{i<j}^{n} v_{ij}(x_{i}-x_{j})+\sum _{j=1}^{n}v_{j}(x_{i})

condiții suficiente pentru auto-alipirea esențială sunt următoarele condiții:

\int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{ij}^{2}(x)<\infty

\int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{j}^{2}(x)<\infty

si in conditiile: $\left|x\right|\geqslant R$

\left|v_{ij}(x)\right|\leqslant M

\left|v_{j}(x)\right|\leqslant M

Domeniul de definire a închiderii operatorului Schrödinger în acest caz coincide cu domeniul de definire a închiderii operatorului [5] . $-\sum _{j=1}^{n}\Delta _{j)$

Note

↑ 1 2 Macara, 1972 , p. 430.
↑ Tsikon, 1990 , p. 291.
↑ Tsikon, 1990 , p. 265.
↑ Macara, 1972 , p. 435.
↑ 1 2 Macara, 1972 , p. 441.
↑ 1 2 Tsikon, 1990 , p. 9.

Literatură

Kerin S. G. Analiză funcţională. - M. : Nauka, 1972. - 544 p.
Zikon H., Froese R., Kirsch W., Simon B. Schrödinger operatori cu aplicații la mecanica cuantică și geometria globală. — M .: Mir, 1990. — 408 p. — ISBN 5-03-001422-5 .