Operator (fizica)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 martie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Un operator în mecanica cuantică este o mapare liniară care acționează asupra funcției de undă , care este o funcție cu valori complexe care oferă cea mai completă descriere a stării sistemului. Operatorii sunt notați cu majuscule latine cu un circumflex în partea de sus. De exemplu:

${\pălărie {A)],{\pălărie {B)],{\pălărie {C)),\puncte$

Un operator acționează asupra funcției din dreapta ei (se mai spune că este aplicat unei funcții sau înmulțit cu o funcție):

${\hat {A}}\Psi _{1}=\Psi _{2}$

Mecanica cuantică folosește proprietatea matematică a operatorilor liniari autoadjuncți (Hermitieni) , că fiecare dintre ei are vectori proprii și valori proprii reale . Acţionează ca valori ale mărimilor fizice corespunzătoare operatorului dat .

Operații aritmetice pe operatori

Un operator se numește suma (diferența) operatorilor dacă pentru orice funcție din domeniul definiției tuturor celor trei operatori este îndeplinită următoarea condiție: ${\hat {C}}$ ${\hat {A},{\hat {B}}$ $\ \Psi$

${\hat {C}}\Psi ={\hat {A}}\Psi \pm {\hat {B}}\Psi$

Un operator se numește produs de operatori dacă pentru orice funcție este îndeplinită următoarea condiție: ${\hat {C}}$ ${\hat {A},{\hat {B}}$ $\ \Psi$

${\hat {C}}\Psi ={\hat {A}}({\hat {B}}\Psi )$

În general

{\hat {A}}{\hat {B}}\not ={\hat {B}}{\hat {A}}

Dacă , atunci se spune că operatorii fac naveta . Comutatorul operator este definit ca ${\hat {A}}{\hat {B}}={\hat {B}}{\hat {A}}$ ${\hat {A},{\hat {B}}$

$[{\hat {A)],{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$

Valori proprii și funcții proprii ale operatorului

Dacă există egalitate:

${\hat {A}}\Psi =a\Psi ,$

atunci ei numesc valoarea proprie a operatorului , iar funcția se numește funcția proprie a operatorului corespunzătoare valorii proprii date. Cel mai adesea, un operator are un set de valori proprii: setul tuturor valorilor proprii se numește spectrul unui operator . $\A$ ${\hat {A}}$ $\ \Psi$ ${\hat {A}),$ $\ a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},\dots$

Operatori liniari și autoadjuncți

Un operator se numește liniar dacă condiția este îndeplinită pentru orice pereche: ${\hat {L}}$ $\varphi _{{i}},C_{{i}}$

${\hat {L}}\sum _{{i}}C_{{i}}\varphi _{{i}}=\sum _{{i}}C_{{i}}{\hat {L} }\varphi_{{i}}.$

Un operator se numește autoadjunct ( Hermitian ) dacă următoarea condiție este îndeplinită pentru oricare: ${\hat {A}}$ $\Psi ,\varphi$

$\left\langle \Psi |{\hat {A}}\varphi \right\rangle =\left\langle {\hat {A}}\Psi |\varphi \right\rangle$

Mai mult decât atât, suma operatorilor auto-adjuncți este un operator auto-adjunct. Un produs al operatorilor auto-adjuncți este un operator auto-adjunct dacă aceștia fac naveta. Valorile proprii ale operatorilor auto-adjuncți sunt întotdeauna reale. Funcțiile proprii ale operatorilor autoadjuncți corespunzătoare diferitelor valori proprii sunt ortogonale .

Operatori utilizați în fizica cuantică

Principalele caracteristici ale unui sistem fizic în fizica cuantică sunt mărimile și stările observabile .

În fizica cuantică , mărimile observabile sunt asociate cu operatori liniari autoadjuncți într-un spațiu Hilbert complex separabil , iar stările sunt asociate cu clase de elemente normalizate ale acestui spațiu (cu norma 1). Acest lucru se face în principal din două motive:

Valorile proprii ale operatorilor autoadjuncți corespunzătoare unor valori specifice ale mărimilor fizice sunt numere reale , adică cu ce se ocupă experimentatorii în practică (citirile instrumentelor, rezultatele calculelor etc.).

Una și aceeași particulă cuantică poate fi simultan într-un set de stări cuantice , care sunt caracterizate de un set de valori proprii ale operatorului corespunzător. Poate fi o mulțime finită (o gamă discretă de valori), un interval ( o gamă continuă de valori) sau o mulțime mixtă.

În fizica cuantică, există o regulă „non-strictă” pentru construirea unui operator de mărimi fizice: relația dintre operatori este în general aceeași ca și între mărimile clasice corespunzătoare. Pe baza acestei reguli, au fost introduși următorii operatori (în reprezentare în coordonate):

Operator de coordonate :

${\hat {{\mathbf {x}}}}=x$

Acțiunea operatorului de coordonate este de a multiplica cu un vector de coordonate.

Operator de impuls :

${\hat {{\mathbf {p}}}}=-i\hbar \nabla$

Aici , este unitatea imaginară și este operatorul nabla . $\i$ $\nabla$

operator de energie cinetică :

${\hat {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta$

Aici este constanta Dirac , este operatorul Laplace . $\hbar$ $\Delta$

Potential operator energetic :

${\hat {U}}=U(x,y,z,t)$

Acțiunea operatorului aici se reduce la înmulțire cu o funcție.

operator Hamilton :

${\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {U}}$

Operator de impuls :

${\hat {{\mathbf {L}}}}=-i\hbar [{\mathbf {r}},\nabla ]$ . Această formă a fost aleasă și din motive legate de teorema lui Noether și grupul SO(3).

operator de rotire :

În cel mai important caz de spin 1/2, operatorul de spin are forma: , unde ${\hat {s}}={\frac {1}{2}}{\hat {\sigma }}$

${\hat {\sigma }}_{{x}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ , , - așa-numitele. Matrice Pauli . Această specie este similară cu cea anterioară, dar este asociată cu grupul SU(2) . ${\hat {\sigma }}_{{y}}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ ${\hat {\sigma }}_{{z}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Vezi și

Literatură

Landau L. D. , Lifshits E. M. „ Fizica teoretică ”, în 10 volume, v. 3, „Mecanica cuantică (teoria non-relativista)”, ed. a 5-a, M., Fizmatlit, 2002, 808 p. , ISBN 5-9221-0057 -2 (vol. 3);
„Analiza funcțională”, ed. 2, rev. si suplimentare (Seria „Biblioteca Matematică de Referință”), echipa de autori, eds. S. G. Kerin , Moscova, „Nauka”, 1972, 517,2 F 94