Operator de evoluție

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 6 septembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Operatorul de evoluție ( generator de evoluție în timp ) este un operator în mecanica cuantică , dat pe un spațiu Hilbert , care transferă starea sistemului din momentul inițial al timpului în oricare altul.

Conectarea operatorului de evoluție cu operatorul Hamilton

Operatorul de evoluție este legat de operatorul Hamilton prin următoarele formule:

${\hat S}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\dreapta)\dreapta\},t>t_{0}$

${\hat S}(t,t_{0})=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{{t_ {0}}}H(t')\,dt'}\dreapta)\dreapta\},t<t_{0}$

unde sunt operatorii de comandă temporală și anti-comandă. $T,\overline {T}$

În special, dacă Hamiltonianul nu depinde de timp, atunci operatorul de evoluție are forma:

${\hat S}(t,t_{0})=e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}$

Proprietăți ale operatorului de evoluție

1. [1] este un operator unitar. ${\hat S}(t_{2},t_{1})$

2. . ${\hat {S}}(t_{3},t_{2}){\hat {S}}(t_{2},t_{1})={\hat {S}}(t_{ 3},t_{1}),\forall \,t_{1},t_{2},t_{3}$

3. [2] , unde este operatorul de identitate. ${\hat {S}}(t,t_{1}){\hat {S}}(t_{1},t)={\hat {I}},\forall \,t_{1} ,t$ ${\ce eu}$

Derivarea relației dintre operatorul de evoluție și Hamiltonianul

Conform postulatelor mecanicii cuantice, starea pură a sistemului este descrisă de un vector din spațiul Hilbert . Introducem un operator care actioneaza dupa regula: $|\psi\rangle$ ${\hat S}(t,t_{0})$

{\hat S}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle

Operatorul introdus trebuie să fie unitar astfel încât normalizarea vectorului de stare să fie păstrată în timp. În reprezentarea Schrödinger, vectorul de stare satisface ecuația Schrödinger:

{\hat H}(t)\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,

unde este operatorul Hamilton . ${\hat H}(t)$

Dacă Hamiltonianul nu depinde de timp, atunci - este o soluție a ecuației Schrödinger. Rezultă că operatorul de evoluție are forma: $\left|\Psi (t)\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}\left|\Psi (t_{0})\right \gamă$

{\hat S}(t,t_{0})=e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}

Acum, operatorul Hamilton să depindă de timp și să fie . Apoi împărțim intervalul de timp considerat în intervale și presupunem că în fiecare dintre aceste intervale operatorul hamiltonian este constant , la . Apoi, în orice moment, conform raționamentului anterior, vectorul de stare are forma: $t_{0}<t$ $(t_{n},t_{{n+1}})$ ${\hat H}(t)={\hat H}(t_{n})$ $t_{n}<t\leq t_{{n+1}}$

\left|\Psi (t)\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\left|\Psi (t_ {n})\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\dots e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H}(t_{0})(t_{1}-t_{0 })/\hbar }}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Acum să introducem operatorul de ordonare în timp , care funcționează conform următoarei reguli: $T$

T\{{\hat H}(t_{{P(m)))){\hat H}(t_{{P(m-1))))\dots {\hat H}_{{P(1 )}}\}={\hat H}(t_{m}){\hat H}(t_{{m-1)))\dots {\hat H}(t_{1})

pentru , pentru orice permutare . $t_{1}\leq t_{2}\leq \dots \leq t_{{m}}$ $P(1,2\puncte ,m)$

Având în vedere acest lucru, funcția de undă poate fi scrisă astfel:

\left|\Psi (t)\right\rangle =T\left\{e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\dots e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H}(t_{0}) (t_{1}-t_{0})/\hbar }}\right\}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Pentru operatorii de navetă este adevărat că . Deoarece operatorii de sub comanda T fac naveta, acesta din urmă este rescris astfel: ${\pălăria A},{\pălăria B}$ $e^{{{\hat A}}}e^{{{\hat B}}}=e^{{{\hat A}+{\hat B}}}$

\left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{{-i\sum \limits _{{i=0}}^{{n}}{\hat H}( t_{i})\Delta t_{i}/\hbar }}{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Când primim asta $n\rightarrow\infty$

\left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{-i\int \limits _{t_{0}}^{t}{\hat {H}} (t')dt'/\hbar }{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

De aceea

{\hat S}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\dreapta)\dreapta\},t>t_{0}

Acum luați în considerare operatorul pentru . Acesta este același dacă luăm în considerare la . Să folosim faptul că ${\hat S}(t,t_{0})$ $t<t_{0}$ ${\hat S}(t_{0},t)$ $t_{0}<t$ ${\hat S}(t_{0},t){\hat S}(t,t_{0})={\hat I}$

unde este operatorul de identitate. ${\ce eu}$

Apoi:

\lim _{{n\rightarrow 0}}{\hat S}(t_{0},t)e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/ \hbar }}\dots e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H} (t_{0})(t_{1}-t_{0})/\hbar }}={\hat I}

iar prin verificare directă verificăm că

{\hat S}(t_{0},t)=\lim _{{n\rightarrow 0}}e^{{i{\hat H}(t_{0})(t-t_{0})/ \hbar }}\dots e^{{i{\hat H}(t_{{n-1}})(t_{n}-t_{{n-1}})/\hbar }}e^{{ -i{\hat H}(t)(t-t_{n})/\hbar }}=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }} \int _{{t_{0}}}^{{t}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}

unde este operatorul de timp anti-comandă. $\overline {T}$

Note

↑ Operatorul de evoluție trebuie să fie unitar astfel încât normalizarea vectorului de stare să fie păstrată în timp . $\langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle$
↑ Proprietatea 3 este o consecință a proprietății 2.

Vezi și

Literatură

Stefanucci, Gianluca. Teoria neechilibrului cu mai multe corpuri a sistemelor cuantice: o introducere modernă / Gianluca Stefanucci, Robert van Leeuwen. - Cambridge: Cambridge University Press, 2013. - P. 81-85. — ISBN 9781139023979 .