Reprezentare Heisenberg

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 14 august 2021; verificarea necesită 1 editare .

Reprezentarea Heisenberg este una dintre modalitățile de a descrie fenomenele mecanice cuantice , în care evoluția unui sistem este descrisă de ecuația Heisenberg și este determinată doar de evoluția operatorilor în timp, iar vectorul de stare nu depinde de timp.

Descrierea reprezentării Heisenberg

Conform postulatelor mecanicii cuantice, fiecare mărime fizică este asociată cu un operator liniar auto-adjunct , iar o stare pură este descrisă de un vector din spațiul Hilbert . În reprezentarea Heisenberg, vectorul de stare nu depinde de timp, iar evoluția sistemului este descrisă de ecuația: ${\călăria A}$ $|\psi\rangle$

${\frac {d}{dt}}{\hat {A}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\ pălărie {A}}_{H}(t)]+{\frac {\partial {\hat {A}}_{S}}{\partial t)),$

unde derivata parțială înseamnă dependența explicită a mărimii fizice de timp.

Relația dintre operatori în reprezentările Schrödinger și Heisenberg

Fie un operator în reprezentarea Schrödinger și să fie un operator în reprezentarea Heisenberg. Apoi trecerea de la o reprezentare la alta este determinată de o transformare unitară: ${\hat A}(t)$ ${\hat A}_{H}(t)$

${\hat A}_{H}(t)={\hat S}(t_{0},t){\hat A}(t){\hat S}(t,t_{0}),$

unde este operatorul de evoluție: ${\hat S}(t,t_{0})$

{\hat S}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\dreapta)\dreapta\},t>t_{0}

{\hat S}(t,t_{0})=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{{t_ {0}}}H(t')\,dt'}\dreapta)\dreapta\},t<t_{0}

unde sunt operatorii de comandă temporală și anti-comandă. În special, dacă operatorul Hamilton nu depinde de timp, atunci $T,\overline {T}$

{\hat S}(t,t_{0})=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}{\hat H}(t-t_{0})}\right),

iar transformarea unitară ia forma:

{\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t )e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.

Trecerea de la reprezentarea Schrödinger la reprezentarea Heisenberg

Vectorul de stare, în reprezentarea Schrödinger, satisface ecuația Schrödinger:

{\hat H}(t)\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,

unde este operatorul Hamilton . ${\hat H}(t)$

Introducem operatorul de evoluție , care transferă starea sistemului din momentul inițial de timp în oricare altul: ${\hat S}(t,t_{0})$

{\hat {S}}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle .\qquad ( 2)

Înlocuind formula (2) în ecuația Schrödinger, obținem că operatorul de evoluție satisface ecuația:

i\hbar {\partial \over \partial t}{\hat {S}}(t,t_{0})={\hat {H}}(t){\hat {S}}(t ,t_{0}),\qquad(3)

{\hat {S}}(t_{0},t_{0})={\hat {I)),

unde este operatorul de identitate. În special, dacă Hamiltonianul nu depinde de timp, atunci operatorul de evoluție are forma: ${\ce eu}$

{\hat {S}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.

Acum luați în considerare valoarea medie a operatorului unor observabile: $\hat A$

\langle {\hat {A}}(t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {A}}(t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi ( t_{0})|{\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0})|\Psi ( t_{0})\rangle =\langle \Psi (t_{0})|{\hat {A}}_{H}(t)|\Psi (t_{0})\rangle .

Astfel, operatorul din reprezentarea Heisenberg este definit prin formula: $\hat A$

{\hat {A}}_{H}(t)={\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}} (t,t_{0}).\qquad(4)

În special, dacă Hamiltonianul nu depinde de timp, atunci

{\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t )e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.

Diferențiem formula în funcție de timp și folosim ecuația , apoi obținem ecuația de mișcare a operatorului în reprezentarea Heisenberg: $(4)$ $(3)$ ${\hat A}(t)$

{d \over dt}{\hat {A}}_{H}(t)={i \over \hbar }[{\hat {H}}(t),{\hat {A}} _{H}(t)]+{\partial \over \partial t}{\hat {A}}_{H}(t),\qquad (5)

unde derivata parțială denotă dependența explicită a operatorului de timp. ${\hat A}(t)$

Exemplu. Oscilator armonic cuantic.

Operatorul Hamilton al unui oscilator armonic cuantic în reprezentarea operatorilor de creare și anihilare are forma:

{\hat {H}}=\hbar \omega ({\hat {a}}_{H}^{\dagger }{\hat {a}}_{H}+1/2).

Deoarece operatorii de creație și anihilare nu depind de timp în reprezentarea Schrödinger, ecuația poate fi rescrisă ca $(5)$

i\hbar {d \over dt}{\hat a}_{H}(t)=-\hbar \omega [{\hat a}_{H}^{\dagger }{\hat a}_{H }+1/2,{\hat a}_{H}(t)],

i\hbar {d \over dt}{\hat a}_{H}(t)=\hbar \omega {\hat a}_{H}(t),

{\hat a}_{H}(t)={\hat a}e^{{-i\omega (t-t_{0))))),

{\hat {a}}_{H}^{\dagger }(t)={\hat {a}}^{\dagger}e^{i\omega (t-t_{0})} ,

unde s-au folosit relaţiile de (anti)comutaţie pentru operatorii anihilare şi creaţie $[{\hat {a)],{\hat {a))^{\dagger }]_{\mp }=1.$

Aplicație

Reprezentarea Heisenberg este folosită în teoria relativistă, precum și în problemele de fizică statistică.

Vezi și

Literatură

Secțiunea 6. Reprezentarea lui Schrödinger și Heisenberg // Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Câmpuri cuantice. — M.: Nauka, 1980. — S. 55-56.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecanica cuantică (teorie non-relativista). - ediția a VI-a, revizuită. — M .: Fizmatlit , 2004. — 800 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul III). — ISBN 5-9221-0530-2 . Secțiunea 13. Reprezentarea Heisenberg a operatorilor.
Secţiunea 10. Reprezentarea Heisenberg. Capitolul VIII // Mesia A. Mecanica cuantică. - M .: Nauka, 1978. - S. 306-307.
Secțiunea 3.4. Imagine Heisenberg // Sudbury A. Mecanica cuantică și fizica particulelor elementare. — M.: Mir, 1989. — S. 154-155.
Serbo V. G., Hriplovici I. B. Mecanica cuantică: manual. - Novosibirsk: Editura Universității de Stat din Novosibirsk, 2008. - 274 p. — ISBN 978-5-94356-642-4

Link -uri

Reprezentare Heisenberg - articol Enciclopedia fizicii
Poza Heisenberg