Iacobian

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 noiembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Jacobian ( Jacobi determinant , functional determinant ) este o anumită generalizare a derivatei unei funcții a unei variabile în cazul mapărilor din spațiul euclidian în sine.

Jacobianul este exprimat ca determinant al matricei Jacobi , o matrice compusă din derivatele parțiale ale mapării.

Jacobianul unei mapări într-un punct este de obicei notat , uneori și după cum urmează: $f$ $X$ $\mathop {\rm {Jac)} _{x}f$

{\frac {D(f_{1},\dots,f_{n})}{D(x_{1},\dots,x_{n))))}

,sau

{\frac {\partial (f_{1},\dots,f_{n})}{\partial (x_{1},\dots,x_{n))))}

De asemenea , uneori, jacobianul (în rusă această utilizare a termenului nu este destul de acceptată) se numește matricea iacobiană în sine, și nu determinantul ei. În engleză și în alte limbi, termenul Jacobian este considerat aplicabil în mod egal matricei Jacobi și determinantului său [1] .

Introdus de Jacobi (1833, 1841).

Definiție

Jacobianul unei funcții vectoriale care are toate derivatele parțiale de ordinul întâi la un moment dat este definit ca $\mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R} ^{n},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots, u_{n}) ,u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,n$ $X$

\det {\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x) &\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{ 2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{n} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{n} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{ n} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}.

Se mai poate vorbi de determinantul jacobian sau de jacobianul unui sistem de funcții . $u_{1},\ldots ,u_{n}$

Interpretare geometrică

Dacă funcțiile definesc transformarea coordonatelor , atunci sensul determinantului Jacobi este în raport cu volumele [2] ale paralelipipedelor „întinse” pe și mai departe când produsele sunt egale . ${\tilde x}_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\ldots ,{\tilde x}_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})$ $x_{i}\rightarrow {\tilde x}_{j}$ $d{\tilde x}_{1},d{\tilde x}_{2},\dots ,d{\tilde x}_{n}$ $dx_{1},dx_{2},\dots ,dx_{n}$ $d{\tilde x}_{1}d{\tilde x}_{2}\dots d{\tilde x}_{n}=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}$

Aplicație

Jacobianul este adesea folosit în analiza funcțiilor implicite.
Inegalitatea determinantului Jacobi la zero servește ca o condiție convenabilă necesară și suficientă pentru nedegenerarea locală a unei transformări de coordonate, adică înseamnă că într-o vecinătate a punctului luat în considerare această transformare este un difeomorfism .
Integrala peste regiune sub o transformare nedegenerată de coordonate este transformată ca ${\tilde x}_{j}\rightarrow x_{i}$ $\int \limits _{{{\tilde \Omega }}}f({\tilde x}_{1},{\tilde x}_{2},\dots ,{\tilde x}_{n}) d{\tilde x}_{1}d{\tilde x}_{2}\dots d{\tilde x}_{n}=$ $=\int \limits _{{\Omega }}f({\tilde x}_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),{\tilde x}_{ 2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\dots ,{\tilde x}_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{ n})){\bigg |}{\frac {D({\tilde x}_{1},{\tilde x}_{2},\dots ,{\tilde x}_{n})}{ D(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}{\bigg |}dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}$ ( formula de modificare a variabilelor în integrală n - dimensională ).

Exemple

Exemplul 1. Tranziția unei zone elementare de la coordonatele carteziene ( x , y ) la coordonatele polare ( r , φ ): ${\mathrm {d}}S={\mathrm {d}}x\,{\mathrm {d}}y$

x=r\,\cos \varphi

y=r\,\sin \varphi .

Matricea Jacobi are următoarea formă

{\hat {I)}(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r)}&{\dfrac {\partial x}{\partial \ varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin {bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\\sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}.

Iar Jacobianul tranziției de la coordonatele carteziene la coordonatele polare este determinantul matricei Jacobi:

$J(r,\varphi )=\det {\hat {I))(r,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\ \sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}=r.$

Astfel, elementul de zonă în tranziția de la coordonatele carteziene la coordonatele polare va arăta astfel:

$\mathrm {d} S=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=J(r,\varphi)\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi = r\,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi$

Exemplul 2. Tranziția unui volum elementar de la coordonatele carteziene ( x , y , z ) la coordonatele sferice ( r , θ , φ ): ${\mathrm {d}}V={\mathrm {d}}x\,{\mathrm {d}}y\,{\mathrm {d}}z$

x=r\,\sin \theta \,\cos \varphi

y=r\,\sin \theta \,\sin \varphi

z=r\,\cos \theta .

Matricea Jacobi are următoarea formă

{\hat {I}}(r,\theta,\varphi)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r))&{\dfrac {\partial x}{ \partial \theta ))&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r))&{\dfrac {\partial y} {\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z }{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r \,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \,\sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.

Iar Jacobianul tranziției de la coordonatele carteziene la coordonatele sferice este determinantul matricei Jacobi:

$J(r,\theta,\varphi)=\det {\hat {I)}(r,\theta,\varphi)=\det {\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \ varphi &r\,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \, \sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}=r^{2}\sin \theta .$

Astfel, elementul de volum în tranziția de la coordonatele carteziene la coordonatele sferice va arăta astfel:

$\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta,\varphi)\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi$

Proprietăți

Valoarea absolută a jacobianului la un moment dat este egală cu coeficientul de distorsiune a volumului în acest punct (adică limita raportului dintre volumul imaginii din vecinătatea punctului și volumul vecinătății în sine, atunci când dimensiunile cartierului tind spre zero). $X$ $X$
Jacobianul într-un punct este pozitiv dacă maparea nu schimbă orientarea într-o vecinătate a punctului M, iar negativ în caz contrar. $X$
Dacă jacobianul mapării nu dispare în domeniu, atunci maparea este un difeomorfism local . $\Delta$ $\Delta$

Note

↑ wolfram.com Jacobian
↑ Aici ne referim la volum orientat . Raportul volumelor prime este modulul determinantului Jacobi.

Vezi și

Aplicație în fizică

Relațiile Bridgeman (termodinamică) și relațiile Maxwell (termodinamică) sunt derivate folosind tehnica jacobiană