Conjectura de bază a topologiei combinatorii

Conjectura de bază a topologiei combinatorii (sau Hauptvermutung ) este conjectura care afirmă că oricare două triangulații ale aceluiași spațiu admit subdiviziuni izomorfe.

A fost formulat în 1908 de Ernst Steinitz și Heinrich Tietze .

Această ipoteză a fost în general respinsă. Mai mult, s-a dovedit a fi incorect pentru unele soiuri de dimensiunea 4 și mai mare.

Istoricul soluției

Un contraexemplu pentru cazul general a fost construit John Milnor în 1961 folosind torsiunea[unu]

Pentru varietăți , conjectura este adevărată în dimensiunile 2 și 3. Aceste cazuri au fost dovedite de Tibor Rado și Edwin Moiz în anii 1920 și, respectiv, 1950. [2]

Casson și Dennis Sullivan găsit calea conjecturii pentru varietăți în 1967-1969 Rokhlin

Un homeomorfism ƒ: N → M între varietăți liniare pe bucăți m -dimensionale are un invariant κ(ƒ) ∈ H 3 ( M ; Z /2 Z ) astfel încât pentru m ≥ 5 ƒ este izotopic la homeomorfismul liniar pe bucăți dacă și numai dacă κ(ƒ) = 0.

Obstrucția la îndeplinirea ipotezei este o variantă relativă a clasei Kirby-Siebenmann și este definită pentru orice varietate topologică m - dimensională compactă .

folosind invariantul Rokhlin. Pentru m ≥ 5 , M are o structură liniară pe bucăți (adică poate fi triangulată printr-o varietate liniară pe bucăți) dacă și numai dacă κ(ƒ) = 0, caz în care structurile liniare pe bucăți sunt definite de elementul H 3 ( M ; Z / 2Z ). În special, există doar un număr limitat de structuri liniare diferite pe bucăți pe M .

Pentru varietati compacte, pur și simplu conectate de dimensiunea 4 , Simon Donaldson a găsit exemple cu un număr infinit de structuri liniare neechivalente pe bucăți, iar Mikhail Fridman a găsit o varietate E8 care, de asemenea, nu permite triangularea.

În 2013, Cyprian Manolescu a dovedit existența unor varietăți compacte de dimensiunea 5 (și deci orice dimensiune mai mare de 5) care nu permit triangularea. [3]

Note

1. ↑ John W. Milnor. Două complexe care sunt homeomorfe, dar distincte combinatoric  // Analele matematicii . - 1961. - Vol. 74. - P. 575-590. - doi : 10.2307/1970299 . . MR : 133127 _
2. ↑ Moise, Edwin E. Geometric Topology in Dimensions 2 and 3. - New York: Springer-Verlag, 1977. - ISBN 978-0-387-90220-3 .
3. ↑ Ciprian Manolescu. Omologie Seiberg–Witten Floer echivalentă Pin(2) și Conjectura Triangulației // J. Amer. Matematică. Soc.. - 2016. - Vol. 29. - P. 147-176. doi : 10.1090 / jams829 .