Legea lui zero sau unu

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 noiembrie 2020; verificările necesită 2 modificări .

Legea lui zero sau unu este o afirmație în teoria probabilității conform căreia orice eveniment rezidual , adică un eveniment a cărui apariție este determinată numai de elementele îndepărtate arbitrar ale unei secvențe de evenimente aleatoare independente sau variabile aleatoare, are o probabilitate de zero sau unu. Legea a fost descoperită de Andrey Nikolaevich Kolmogorov , de aceea este uneori numită după el.

Formulare

Să fie dat un spațiu de probabilitate și o secvență de variabile aleatoare independente definite pe acesta (nu neapărat distribuite identic). Fie -algebra sa reziduală , i.e. $(\Omega ,\;{\mathcal {F}),\;\mathbb {P} )$ $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$ ${\mathcal {F}}_{\infty }$ $\sigma$

{\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left(\bigcap \limits _{{m=1}}^{\infty }\bigcup \limits _{{n\geqslant m}}{\ matematic {F}}_{n}\dreapta),

unde este -algebra generată de variabila aleatoare . $\mathcal{F}_n$ $\sigma$ $X_n$

Atunci dacă , atunci sau . $A\in {\mathcal {F}}_{\infty }$ ${\mathbb {P}}(A)=0$ ${\mathbb {P}}(A)=1$

Cu alte cuvinte, este un eveniment rezidual dacă este măsurabil în raport cu algebra generată de variabile aleatoare , dar independent de orice submulțime finită a acestor variabile. Conform teoremei, un astfel de eveniment are o probabilitate de zero sau unu. $A$ $\sigma$ $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$

Exemplu

Fie o succesiune de variabile aleatoare independente. Apoi serialul $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$

\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }X_{n}

converge sau diverge aproape sigur , deoarece niciun subset finit al termenilor seriei nu poate schimba convergența acesteia. Dacă toți membrii seriei sunt considerați pozitivi, atunci evenimentul „seria converge către o valoare mai mică decât 1” nu este rezidual, deoarece depinde de valoarea primului termen al seriei. .

Vezi și

Link -uri

Ito. Procese probabilistice. Numărul I. 1960 p. 34 „§ 9. Legea lui zero sau unu”
4. Legea numerelor mari. Lema Borel-Cantelli. Legea lui zero și unu. Convergența sumelor variabilelor aleatoare independente. / A.V. Kolesnikov. PRELEȚII DE TEORIA PROBABILITĂȚII