Cartografierea Schwartz-Christoffel

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 29 noiembrie 2020; verificările necesită 3 modificări .

Teorema Schwartz-Christoffel este o teoremă în teoria funcțiilor unei variabile complexe , numită după matematicienii germani Karl Schwartz și Alvin Christoffel .

Formulare

Să presupunem că este ceva -gon și funcția efectuează o mapare conformă pe . Apoi poate fi reprezentat ca $P\subset \mathbb {C}$ $n$ $f$ ${\mathbb {H} }^{+)$ $P$ $f$

f(z)=C_{1}\int \limits _{0}^{z}\prod _{k=1}^{n}(\zeta -a_{k})^{\alpha _ {k}-1}d\zeta +C_{2}

unde sunt imaginile inverse ale vârfurilor de pe axa reală , sunt măsurile radianilor unghiurilor interne corespunzătoare împărțite la (adică unghiul dezvoltat corespunde gradului zero) și și sunt așa-numiții parametri accesorii ai . Integrala din partea dreaptă are propriul nume - se numește integrala Schwarz-Christoffel de primul fel . $a_1,\dots,a_n$ $P$ $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ $\pi$ $C_{1}$ $C_{2}$

Dacă imaginea inversă a unuia dintre vârfurile poligonului este la infinit, atunci formula este ușor modificată. Dacă al-lea vârf are ca preimagine un punct infinit depărtat, atunci formula va arăta ca $n$

f(z)=C_{1}\int \limits _{0}^{z}\prod _{k=1}^{n-1}(\zeta -a_{k})^{\ alfa _{k}-1}d\zeta +C_{2}

adică multiplicatorul corespunzător acestui vârf va fi pur și simplu absent. O astfel de integrală va fi o integrală Schwarz-Christoffel de al doilea fel .

Dificultatea în utilizarea acestor formule este că punctele , precum și parametrii accesorii, sunt în general necunoscute. Pentru a le calcula, poligonului i se impun, de obicei, unele normalizări suplimentare, sau se efectuează calculul aproximativ (ceea ce este folosit în practică). $a_1,\dots,a_n$

integrala Schwarz-Christoffel
integrala Schwarz-Christoffel
Star Schwartz-Christoffel integrală
Steaua din interiorul integralei Schwarz-Christoffel