Paradoxul numerelor interesante este un paradox semi- umoristic care apare din încercările de a clasifica numerele naturale drept „interesante” și „plictisitoare”. Conform acestui paradox , toate numerele naturale sunt interesante. Dovada acestei afirmații se realizează prin metoda „ prin contradicție ”: dacă există o mulțime nevidă de numere naturale neinteresante, atunci această mulțime conține cel mai mic număr, dar cel mai mic număr neinteresant este deja interesant în sine - care creează o contradicție [1] [2] [3] .
O „dovadă” mai riguros formulată a paradoxului ar putea arăta astfel [3] .
Teorema. Nu există numere naturale neinteresante .
Dovada . Să presupunem că teorema este falsă , adică există o mulțime nevidă de numere naturale care nu sunt interesante. Datorită faptului că mulțimea numerelor naturale este bine ordonată , trebuie să existe cel mai mic număr din seria numerelor neinteresante. Având o astfel de caracteristică unică, acest număr nu mai poate fi numit neinteresant, prin urmare, nu poate fi în seria numerelor neinteresante.
Încercările de a împărți toate numerele în „interesant” și „neinteresant” duc la un paradox sau o antinomie a definiției. Orice încercare de a împărți numerele naturale în două seturi: „interesant” și „plictisitor” duce la eșec. Deoarece definirea a ceva ca fiind interesant este subiectivă, poate fi văzută aici ca o aplicație semi-glumă a auto-referinței , folosită cu scopul de a produce un paradox. Paradoxul este eliminat dacă conceptul de „interesant” este definit obiectiv, de exemplu:
etc.
Deoarece există multe lucrări semnificative în domeniul matematicii care folosesc auto-referința (de exemplu , teorema de incompletitudine a lui Gödel ), paradoxul descris ridică probleme serioase în multe domenii de cercetare.
Această versiune a paradoxului se extinde numai la mulțimi bine ordonate cu o ordine naturală, cum ar fi numerele naturale; argumentul nu se aplică numerelor reale .
O soluție propusă la paradox susține că primul număr neinteresant este făcut interesant numai de această circumstanță. De exemplu, dacă 39 și 41 ar fi două numere neinteresante, 39 ar putea fi considerat interesant, în timp ce 41 ar rămâne neinteresant deoarece nu este primul număr neinteresant. Totuși, această decizie este incorectă, deoarece paradoxul este dovedit prin contradicție: presupunând că un anumit număr este neinteresant, ajungem la concluzia că acest număr este interesant tocmai prin aceasta, prin urmare, un număr neinteresant nu poate exista. Scopul deciziilor este, în special, nu de a identifica numerele interesante sau neinteresante, ci de a ridica întrebarea dacă numerele pot avea astfel de proprietăți în principiu.
Punctul slab al dovezii este lipsa de claritate cu privire la ceea ce contează drept „interesantul” unui număr. Totuși, dacă presupunem că „ predicatul interesant ” este asociat cu o anumită listă finită de „proprietăți interesante ale numerelor naturale”, iar această listă conține proprietatea „cel mai mic număr care nu are nicio proprietate din această listă”, atunci un apare paradoxul. Într-un mod similar, auto-referința este utilizată în paradoxul Berry strâns legat . Deoarece paradoxul constă în definiția „interesantului”, se aplică doar persoanelor cu o anumită viziune asupra numerelor; dacă pentru cineva toate numerele sunt neinteresante și nu consideră interesant faptul că zero este primul număr neinteresant (în viziunea asupra lumii a acestei persoane), atunci paradoxul nu apare.