Ipoteza de corelație a perechii lui Montgomery

Ipoteza corelației perechilor lui Montgomery este ipoteza matematicianului american Hugh Montgomery ( 1973 ) că corelația perechilor dintre perechile de zerouri ale funcției zeta Riemann (normalizate la o distanță medie) este [1] :

1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{2}+\delta (u),

care, după cum i-a subliniat Freeman Dyson [2] [3] (1972) , coincide cu funcția de corelație de pereche (cu alte cuvinte, cu factorul de formă pentru corelațiile de pereche) a valorilor proprii ale matricelor hermitiene aleatoare gaussiene . Informal, aceasta înseamnă că probabilitatea de a găsi zero într-un interval foarte scurt de lungime 2π L /log( T ) la o distanță 2π u /log( T ) de zero 1/2+ iT este de aproximativ de L ori mai mare decât expresia de mai sus. (coeficientul 2π/log( T ) este un factor de normalizare care poate fi reprezentat informal ca distanța medie între zerouri cu o parte imaginară în raport cu T ). Andrei Odlyzhko(1987) au arătat [4] că ipoteza a fost confirmată de calcule computerizate la scară largă ale zerourilor funcției zeta Riemann. Conjectura a fost extinsă la corelații mai mari de 2 zerouri, precum și la funcțiile zeta ale reprezentărilor automorfe [5] . În 1982, studentul de la Montgomery Ali Erhan Ozlyuk a demonstrat conjectura de corelare a perechilor pentru unele funcții L Dirichlet [6] .

Legătura cu matrici unitare aleatoare poate duce la o demonstrare a ipotezei Riemann . Conjectura Hilbert-Polyi afirmă că zerourile funcției zeta Riemann corespund valorilor proprii ale operatorului liniar și implică RH. O serie de cercetători consideră că aceasta este o abordare promițătoare [4] .

Montgomery a studiat transformata Fourier F ( x ) a funcției de corelare perechi și a arătat (presupunând ipoteza Riemann) că este egală cu | x | pentru | x |<1. Metodele sale nu au reușit să o determine pentru | x |≥1, dar a presupus că este 1 pentru acele x , ceea ce implică faptul că funcția de corelare a perechii este aceeași ca mai sus. El a fost, de asemenea, motivat de faptul că Ipoteza Riemann nu este un „zid de cărămidă” și se pot face în siguranță presupuneri mai puternice.

Calculul numeric al lui Odlyzhko

În anii 1980, motivat de conjectura lui Montgomery, Odlyzhko a început un studiu numeric intensiv al statisticii zerourilor funcției zeta Riemann. Folosind cel mai rapid supercomputer din lume, Cray X-MP , după efectuarea unor calcule numerice detaliate, el a demonstrat confirmarea ipotezei Montgomery și corespondența distribuției distanțelor dintre zerourile netriviale cu valorile proprii ale matricei aleatorii ale gaussianului. ansamblu unitar (GUA). Odlyzhko a publicat rezultatele în 1987 în articolul „Despre distribuția intervalelor între zerouri ale funcției zeta” [4] .

După cum a menționat Derbyshire [2] , rezultatele lui Odlyzhko nu au fost complet convingătoare - au existat intervale puțin mai mici decât cele prezise de modelul GUA. Cercetările ulterioare au clarificat situația cu inconsecvențe, iar ipoteza de corelare a perechii a lui Montgomery a devenit „legea Montgomery-Odlyzhko” (prima mențiune despre „legea Montgomery-Odlyzhko” a apărut într-un articol din 1999 al lui Nicholas Katz și Peter Sarnak):

Distribuția intervalelor între zerourile succesive netriviale ale funcției zeta Riemann (în normalizarea corectă) este identică statistic cu distribuția valorilor proprii ale operatorului GUA.

Pentru un zero netrivial, 1/2+iγ n , fie distanțele normalizate

\delta _{n}={\frac {\gamma _{n+1}-\gamma _{n}}{2\pi }}{\log {\frac {\gamma _{n}} {2\pi}}}.

Atunci ne așteptăm la următoarea formulă ca limită pentru : $M,N\la \infty$

{\frac {1}{M}}\{(n,k)|N\leq n\leq N+M,\,k\geq 0,\,

{\displaystyle \delta _{n}+\delta _{n+1}+\cdots +\delta _{n+k}\in [\alpha,\beta]\))

\sim \int _{\alpha }^{\beta}\left(1-{\biggl (}{\frac {\sin {\pi u)} {\pi u)}{\biggr )} ^{2}\right)du

Bazat pe un nou algoritm dezvoltat de Odlyzko și Schoenhage, permițându-le să calculeze valoarea lui ζ(1/2 + it) în timpul mediu t ε pași, Odlyzhko a calculat milioane de zerouri la înălțimi de aproximativ 10 20 și a dat un număr de dovezi pentru ipoteza GUA [7] .

Figura prezintă primele 10 5 zerouri netriviale ale funcției zeta Riemann. Cu cât sunt mai multe eșantioane de zerouri, cu atât distribuția lor se apropie mai mult de forma unei matrice GUA aleatoare.

Relația cu haosul cuantic

După cum arată candidatul la științe fizice și matematice Trushechkin A. S. , distribuția zerourilor netriviale ale funcției zeta Riemann este strâns legată de fenomenul haosului cuantic [8] [9] :

Fenomenul haosului cuantic s-a dovedit a fi strâns legat de distribuția zerourilor netriviale ale funcției zeta Riemann (Montgomery, 1973, Odlyzhko, 1987). O abordare a problemei binecunoscute despre zerourile funcției zeta a fost propusă de Hilbert și Poya . Conform conjecturii lor , zerourile netriviale ale funcției zeta corespund valorilor proprii ale unui operator auto-adjunct din spațiul Hilbert . În 1986, Berry a sugerat că acest operator auto-adjunct ar putea fi Hamiltonianul unui sistem cuantic care corespunde unui sistem haotic clasic . Mai târziu , Conn , precum și Berry și Keatingau propus Hamiltonieni ai căror primi doi termeni conducători în distribuția valorilor proprii în limita semiclasică sunt aceiași cu termenii corespunzători în distribuția zerourilor netriviale ale funcției zeta (dați de formula Riemann-Mangoldt ).

Literatură

Derbyshire D. Prime Obsesie: Bernhard Riemann și cea mai mare problemă nerezolvată la matematică / trad. din engleza. A. M. Semikhatova. — M .: Astrel : Corpus , 2010. — 464 p. - 5000 de exemplare. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
Stuart I. Cele mai mari probleme de matematică / trad. din engleza. N. Lisovoy. — M. : Alpina non-fiction , 2015. — 460 p. - 5000 de exemplare. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Katz N., Sarnak P. Zeroes of zeta functions and symmetry (engleză) // Buletin. Noua serie: jurnal. - Societatea Americană de Matematică , 1999. - Vol. 36 , iss. 1 . - P. 1-26 . — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0273-0979-99-00766-1 .
Montgomery HL Corelația de pereche de zerouri a funcției zeta. Teoria analitică a numerelor (engleză) // Proc. Simpozioane. matematică pură. : jurnal. — Providence , RI : Societatea Americană de Matematică , 1973. — Vol. XXIV . - P. 181-193 .
Odlyzko A.Despre distribuția distanțelor între zerouri ale funcției zeta // Mathematics of Computation : journal . - Providence , RI : Societatea Americană de Matematică , 1987. - Vol. 48 , iss. 177 . - P. 273-308 . — ISSN 0025-5718 . - doi : 10.2307/2007890 .
Odlyzko A.Al 10-20 -lea zero al funcției zeta Riemann și 70 de milioane de vecini săi // AT&T Bell Lab. imprimare. — AT&T Bell Lab. , 1989.
Rudnick Z., Sarnak P. Zeros of principale L-functions and random matrix theory (engleză) // Duke Mathematical Journal : journal. - Duke University Press , 1996. - Vol. 81 , iss. 2 . - P. 269-322 . — ISSN 0012-7094 . - doi : 10.1215/S0012-7094-96-08115-6 .
Özlük AE Corelarea perechilor de zerouri ale funcțiilor L lui Dirichlet (engleză) : Ph. D. Disertaţie. — Ann Arbor : Universitatea din Michigan , 1982.

Link -uri

Trushechkin, A. S. Haos cuantic, orbite periodice și funcția zeta Riemann. Scurt rezumat al aplicației : site. — 2013.
Trushechkin, A. S. Raport video pe teme: axiomele mecanicii cuantice, miracolul interferenței cuantice, probabilitatea cuantică, grupul Heisenberg–Weil, integralele căii Feynman, teleportarea cuantică, haosul cuantic și funcția zeta Riemann : site. — 2013.