O buclă într-un spațiu topologic X este o mapare continuă f a segmentului unitar I = [0,1] în X astfel încât f (0) = f (1). Cu alte cuvinte, este o cale al cărei punct de început este același cu punctul final [1] .
Bucla poate fi văzută și ca o mapare continuă f a cercului unitar S 1 la X , deoarece S 1 poate fi considerat spațiul coeficient al lui I prin identificarea 0 cu 1.
Fie X un spațiu topologic, x 0 ∈ X . O mapare continuă l : S 1 → X astfel încât l(1) = x 0 se numește buclă circulară în x 0 [2] . Fiecare buclă circulară în punctul x 0 poate fi asociată cu o buclă în spațiul X în același punct luând compoziția l cu maparea I → S 1 dată de formula t →e 2πit . Orice buclă poate fi obținută dintr-o buclă circulară în acest fel.
Buclele circulare se numesc homotopice (sau echivalente ) dacă sunt {1}-homotopice (adică dacă homotopia dintre ele este conectată la un punct 1 ∈ S 1 ). Clasele de echivalență corespunzătoare sunt numite clase de buclă de homotopie.
Un spațiu topologic nevid se numește pur și simplu conectat dacă este conectat la cale și fiecare buclă din el este omotopică la o buclă constantă [2] .
Setul de clase de homotopie de bucle la un punct formează un grup cu operația de compunere a traseului. Acest grup se numește grupul fundamental al spațiului X în punctul marcat x 0 .
Mulțimea tuturor buclelor din X formează un spațiu numit spațiu de bucle al lui X [1] .