Cerc unitar

Cercul unitar este un cerc cu raza 1 centrat la origine [1] . Acest concept este utilizat pe scară largă pentru a defini și a studia funcțiile trigonometrice .

Proprietăți și concepte înrudite

Interiorul cercului unitar se numește cerc unitar .

Pentru coordonatele tuturor punctelor din cercul unitar, conform teoremei lui Pitagora , egalitatea este valabilă . Această egalitate poate fi privită ca ecuația cercului unitar. $x^2 + y^2 = 1$

Funcții trigonometrice

Cu ajutorul cercului unitar, funcțiile trigonometrice pot fi descrise clar (în contextul unei astfel de descrieri, cercul unitar este uneori numit „ cerc trigonometric ”, ceea ce nu are prea mult succes, deoarece este cercul care este considerat, și nu cercul ).

Sinusul și cosinusul pot fi descrise după cum urmează: dacă conectați orice punct al cercului unitar cu originea , obțineți un segment care se află la un unghi față de semiaxa pozitivă a abscisei. Atunci obținem [2] : $(X y)$ $(0, 0)$ $\alfa$

\cos\alpha = x

\sin\alpha = y

Prin înlocuirea acestor valori în ecuația cercului, obținem: $x^2 + y^2 = 1$

\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1

(Se folosește următoarea notație comună: .) $\cos^2x = (\cos x)^2$

Periodicitatea funcțiilor trigonometrice este, de asemenea, descrisă clar, deoarece poziția segmentului corespunzător unghiului nu depinde de numărul de „revoluții complete”:

\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)

\cos(x + 2\pik) = \cos(x)

pentru toate numerele întregi , adică pentru . $k$ $k\in \mathbb Z$

Plan complex

În planul complex , cercul unitar este mulțimea numerelor complexe al căror modul este 1:

{\displaystyle G=\{z:|z|=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leqslant \phi <2\pi \))

Orice număr complex diferit de zero poate fi scris în mod unic ca acolo unde numărul are modulul 1 și, prin urmare, aparține cercului unitar, $z$ $z=|z|u,$ $u$

Mulțimea este un subgrup al grupului de numere complexe prin înmulțire. La rândul său, conține grupuri finite de rădăcini de -al-lea grad de unitate , importante în algebră, care formează vârfurile unui -gon regulat de-a lungul cercului unitar. $G$ $G$ $n$ $n$

Măsura radianilor

Măsura radianilor unui unghi poate fi definită ca lungimea arcului pe care un unghi dat o decupează dintr-un cerc unitar (centrul cercului coincide cu vârful unghiului) [3] .

Variații și generalizări

Conceptul de cerc unitar este generalizat la spațiu -dimensional ( ), caz în care se vorbește despre o „ sferă unitară ”. $n$ $n>2$

Note

↑ Mathworld .
↑ Gelfand și colab., 2002 , p. 24-27.
↑ Gelfand și colab., 2002 , p. 7-8.

Literatură

Gelfand I. M. , Lvovsky S. M., Toom A. L. Trigonometrie . - M. : MTSNMO, 2002. - 199 p. — ISBN 5-94057-050-X .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Unit Circle (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .

Trigonometrie
General	Prezentare generală a trigonometriei Poveste Utilizare Funcții Verso Folosit rar Trigonometrie generalizată
Director	Identități Constante exacte Mese cerc unitar
Legi și teoreme	Teorema sinusului teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema tangentei Teorema cotangentei Rezolvarea triunghiurilor
Analiza matematică	Substituția trigonometrică Integrale ( funcții inverse ) Derivate