Polinoame clopot

În matematică , în special în combinatorică , polinoamele Bell sunt polinoame de formă

B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=\sum {n!  \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left( {x_{2} \peste 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{ j_{n-k+1}},

unde suma este preluată peste toate secvențele j 1 , j 2 , j 3 , ..., j n − k +1 de numere întregi nenegative astfel încât

j_{1}+j_{2}+\cdots =k

și

j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots =n.

Polinoamele Bell sunt numite după matematicianul E. Bell .

Polinoame Bell complete

Sumă

B_{n}(x_{1},\dots,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2} ,\dots ,x_{n-k+1})

numit uneori al n -lea polinom complet Bell . Pentru a o deosebi de polinoamele Bell complete, polinoamele B n , k definite mai sus sunt uneori denumite polinoame Bell „parțiale”.

Polinoamele Bell complete îndeplinesc următoarele condiții:

B_{n}(x_{1},\dots,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n -1 \alegeți 2}x_{3}&{n-1 \alegeți 3}x_{4}&{n-1 \alegeți 4}x_{5}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\ -1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&{n-2 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&{n-3 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{ n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&{n-4 \alegeți 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&x_{1}& \cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\0&0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-5}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}.

Interpretare combinatorie

Dacă într- o partiție a unui număr n termenul 1 apare j de 1 ori, 2 apare j de 2 ori etc., atunci numărul de partiții ale unei mulțimi de cardinalități n în care cardinalitățile părților formează această partiție a lui n este egal. la coeficientul corespunzător al polinomului Bell.

Exemple

Pentru n = 6, k = 2 avem

B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_ {2}+10x_{3}^{2}

pentru ca este

6 moduri de a împărți un set de cardinalități 6 în subseturi de cardinalități 5 + 1,
15 moduri de a împărți un set de cardinalități 6 în subseturi de cardinalități 4 + 2,
10 moduri de a împărți un set de cardinalități 6 în subseturi de cardinalități 3 + 3.

De asemenea,

B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{ 2}x_{1}+15x_{2}^{3}

pentru ca este

15 moduri de a împărți un set de cardinalități de 6 în subseturi de cardinalități de 4 + 1 + 1, 60 de moduri de a împărți un set de cardinalități de 6 în subseturi de cardinalități de 3 + 2 + 1 și 15 moduri de a împărți un set de cardinalitate 6 în subseturi de cardinalitate 2 + 2 + 2.

Proprietăți

$B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)={\binom {n}{k)}{\binom {n-1}{k- 1}}(nk)!$

Relația cu numerele Stirling și Bell

Valoarea polinomului Bell B n , k ( x 1 , x 2 , …), unde toate x i sunt egale cu 1 este un număr Stirling de al doilea fel :

B_{n,k}(1,1,\dots )=S(n,k)=\stanga\{{n \atop k}\dreapta\}.

Sumă

\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,1,\dots)=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\dreapta\}

este al n -lea număr Bell (numărul de partiții ale unui set de cardinalitate n ).

Identitatea de convoluție

Pentru secvența x n , y n , n = 1, 2, …, convoluția este definită :

(x\diamondsuit y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \alegeți j}x_{j}y_{nj}.

(Rețineți că limitele de însumare aici sunt 1 și n - 1, nu 0 și n .)

Să presupunem că există un al n-lea membru al secvenței $x_{n}^{k\diamondsuit }$

\displaystyle \underbrace {x\diamondsuit \cdots \diamondsuit x} _{k\\mathrm {factori} }.

Apoi

B_{n,k}(x_{1},\dots,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.

De exemplu, să calculăm . pentru că $B_{4,3}(x_{1},x_{2})$

x=(x_{1},\x_{2},\x_{3},\x_{4},\ldots ),

x\diamondsuit x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2 }\ ,\ldots ),

x\diamondsuit x\diamondsuit x=(0,\ 0,\ ​​​​6x_{1}^{3},\ 36x_{1}^{2}x_{2},\ldots ),

apoi

B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x\diamondsuit x\diamondsuit x)_{4}}{3!)}}=6x_{1} ^ {2}x_{2}.

Aplicații

Formula lui Faa di Bruno

Formula Faa di Bruno poate fi formulată în termeni de polinoame Bell după cum urmează:

{d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(g(x)) B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).

De asemenea, putem folosi polinoamele Bell dacă

f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad

și

\qquad g(x)=\sum _{n=1}^{\infty {b_{n} \over n!}x^{n},

apoi

g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{ 1},\dots ,a_{n-k+1}) \over n!}x^{n}.

În special, polinoamele Bell complete apar în extinderea exponentului unei serii de puteri formale

\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{ \infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n}.

Momente și cumulante

Sumă

B_{n}(\kappa _{1},\dots,\kappa _{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1 },\dots ,\kappa _{n-k+1})

este al n -lea moment al distribuției de probabilitate , primii n cumulanți sunt egali cu κ 1 , … , κ n . Cu alte cuvinte, momentul al n -lea este egal cu valoarea celui de-al n -lea polinom Bell complet pe primii n cumulanti.

Reprezentarea secvențelor polinomiale de tip binom

Pentru o secvență dată de numere a 1 , a 2 , a 3 , ... punem

p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots,a_{n-k+1})x^{ k}.

Atunci această secvență de polinoame este de tip binom , adică. satisface condiţiile binomiale

p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \alegeți k}p_{k}(x)p_{nk}(y)

pentru n ≥ 0. Teoremă: Toate secvențele polinomiale de tip binom sunt reprezentate în această formă.

Dacă luăm în considerare

h(x)=\sum _{n=1}^{\infty {a_{n} \over n!}x^{n)

ca o serie formală de putere, atunci pentru toate n ,

h^{-1}\left({d \over dx}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).

Software

Polinoamele Bell, polinoamele Bell complete și polinoamele Bell generalizate sunt implementate în Mathematica ca BellY Arhivat la 20 martie 2014 la Wayback Machine .

Surse

Eric Temple Bell . Polinoame de partiție (neopr.) // Analele matematicii . — 1927–1928. - T. 29 , Nr 1/4 . - S. 38-46 . - doi : 10.2307/1967979 . — .
Louis Comet . Combinatorică avansată: Arta expansiunilor finite și infinite (engleză) . - Dordrecht, Olanda / Boston, SUA: Reidel Publishing Company, 1974.
Steven Roman Calculul Umbral (neopr.) . — Publicații Dover .
Hristo N. Boyadzhiev. Polinoame exponențiale, numere Stirling și evaluarea unor integrale gamma // Analiză abstractă și aplicată : jurnal. - 2009. - Vol. 2009 _ — P. ID articol 168672 . - doi : 10.1155/2009/168672 . (conține și o revizuire elementară a conceptului Bell-polinoame)
Silvia Noschese, Paolo E. Ricci. Diferențierea funcțiilor compozite multivariabile și polinoamele Bell // Journal of Computational Analysis and Applications : journal. - 2003. - Vol. 5 , nr. 3 . - P. 333-340 . - doi : 10.1023/A:1023227705558 . '
Vasili G. Voinov, Mihail S. Nikulin. Despre seriile de putere, polinoamele Bell, problema Hardy-Ramanujan-Rademacher și aplicațiile sale statistice (engleză) // Kybernetika : journal. - 1994. - Vol. 30 , nr. 3 . - P. 343-358 . — ISSN 00235954 .
Kruchinin, VV, 2011 , Derivarea polinomelor de clopot de al doilea fel Arhivat 11 septembrie 2015 la Wayback Machine ( ArXiv )
Note de curs Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine on Bell polinoame, exemple