Funcția Hamilton

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 15 februarie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Acest articol include o descriere a termenului „energie totală”

Funcția hamiltoniană sau hamiltoniană - o funcție care depinde de coordonate generalizate , impulsuri și, eventual, timp , descriind dinamica unui sistem mecanic în formularea hamiltoniană a mecanicii clasice .

H(p,q),

H(p,q,t),

unde este setul complet de impulsuri generalizate care descriu sistemul dat ( este numărul de grade de libertate),

p=(p_{1},p_{2},...,p_{n})

n

q=(q_{1},q_{2},...,q_{n})

este setul complet de coordonate generalizate.

În mecanica cuantică și teoria cuantică a câmpurilor, hamiltonianul sau hamiltonianul , care determină evoluția temporală a unui sistem, corespunde funcției hamiltoniene din fizica clasică și este generalizarea acesteia, în principiu destul de directă, dar în unele cazuri nu în totalitate banală ( în principiu, Hamiltonianul cuantic poate fi obținut pur și simplu prin înlocuirea operatorilor cuantici de coordonate și momente în funcția Hamilton, cu toate acestea, datorită faptului că astfel de operatori nu fac naveta întotdeauna, este posibil să nu fie imediat evident să alegeți opțiunea corectă din cele apărute ca urmare).

Formalismul integralei căii Feynman în mecanica cuantică și teoria câmpului cuantic folosește, de asemenea, pur și simplu funcția Hamilton clasică.

Funcția Hamilton participă la forma hamiltoniană a principiului acțiunii minime (staționare) , ecuațiile canonice ale lui Hamilton (una dintre formele posibile ale ecuației de mișcare în mecanica clasică) și ecuația Hamilton-Jacobi , fiind baza formulării hamiltoniene . a mecanicii .

Pentru sistemele conservative , funcția Hamilton reprezintă energia totală (exprimată în funcție de coordonate și momente), adică, în sens clasic, suma energiilor cinetice și potențiale ale sistemului.

Funcția Hamilton este legată de Lagrangiana prin transformarea Legendre prin următoarea relație:

H={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-L,

unde este impulsul generalizat al particulei și este viteza generalizată a acesteia. ${\vec p}$ ${\punct {{\vec q))}$

Sensul fizic

Funcția Hamilton este în esență o lege de dispersie locală care exprimă frecvența cuantică (frecvența oscilațiilor funcției de undă ) în termeni de vector de undă pentru fiecare punct din spațiu [1] : $\omega$ ${\mathbf k}$ ${\mathbf x}$

\omega =H({\mathbf k},{\mathbf x}).

Deci, în aproximarea clasică (la frecvențe înalte și modulul vectorului de undă și o dependență relativ lentă de ), această lege descrie destul de clar mișcarea pachetului de undă prin ecuațiile canonice Hamilton , dintre care unele sunt interpretate ca formula vitezei de grup. obținut din legea dispersiei, în timp ce altele destul de natural - ca o modificare, în special, o rotație, a vectorului de undă în timpul propagării unei unde într-un mediu neomogen de un anumit tip. ${\mathbf x}$ $({\dot q}_{i}=\partial H/\partial p_{i})$ $({\dot p}_{i}=-\partial H/\partial q_{i})$

Note

↑ Deoarece energia și impulsul sunt vectorul de frecvență și de undă, diferă de ele doar printr-un factor constant universal, care poate fi ales ca unitate într-un sistem adecvat de unități.

Literatură

Landau L. D., Lifshitz E. M. Mecanica, volumul 1. (Ed. L. P. Pitaevsky) . Ediția a IV-a - 2007. - 224 pagini, 2000 exemplare, ISBN 978-5-9221-0819-5