Ecuațiile lui Hamilton

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 4 septembrie 2020; verificările necesită 5 modificări .

Ecuațiile lui Hamilton (numite și ecuații canonice ) în fizică și matematică - un sistem de ecuații diferențiale :

{\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}},

{\dot {q}}_{j}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{j}}},

unde punctul de mai sus și denotă derivata în timp . Sistemul este format din 2 N ecuații diferențiale de ordinul întâi ( j = 1, 2, …, N) pentru un sistem dinamic descris de N coordonate (generalizate), care sunt ecuații de mișcare (una dintre formele unor astfel de ecuații, împreună cu ecuațiile Lagrange , care este o generalizare a mișcării ecuațiilor newtoniene) ale sistemului, unde este așa-numita funcție hamiltoniană , denumită uneori și Hamiltonianul , este timpul [1] , sunt coordonate (generalizate) și sunt generalizate impulsuri care determină starea sistemului (un punct din spațiul fazelor ). $p$ $q$ $H=H(q,p,t)\equiv H(q_{1},q_{2},...,q_{N},p_{1},p_{2},...,p_{N },t)$ $t$ $q_{i}$ $(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})$ $p_{i}$ $(p_{1},p_{2},\dots ,p_{N})$

Ecuațiile lui Hamilton sunt utilizate pe scară largă în mecanica hamiltoniană și în alte domenii ale fizicii teoretice și matematicii.

sens fizic newtonian

Cea mai simplă interpretare a acestor ecuații este următoarea. În cele mai simple cazuri, Hamiltonianul reprezintă energia unui sistem fizic, care este suma energiilor cinetice și potențiale , notate în mod tradițional și respectiv: $H$ $T$ $V$

H=T+V,~T={\frac {p^{2}}{2m)),~V=V(q)=V(x).

Într-un caz special, dacă sunt coordonatele carteziene ale fiecărui punct material al sistemului, scrise pe rând cu trei (vom înțelege aici spațiul fizic ca unul tridimensional obișnuit), adică $q=X$

X_{1}=x_{1},\;X_{2}=y_{1},\;X_{3}=z_{1},\ \ X_{4}=x_{2},\ ;X_{5}=y_{2},\;X_{6}=z_{2},\;\dots ,

atunci ecuațiile canonice ale lui Hamilton coincid, având în vedere paragraful anterior, cu ecuațiile de mișcare ale lui Newton sub forma:

{\dot {\vec {P}}}=-\nabla V,

{\dot {\vec {X}}}={\vec {p}}/m,

unde , și fiecare subspațiu dă vectorul rază a punctului material corespunzător: ${\vec X}=(X_{1},X_{2},\dots,X_{N})$

{\vec {r}}_{1}=(X_{1},X_{2},X_{3}),\ {\vec {r}}_{2}=(X_{4} ,X_{5},X_{6}),\;\dots ,

iar momentele generalizate sunt componentele corespunzătoare ale momentelor tridimensionale ale acestui punct:

{\vec p}_{1}=(P_{1},P_{2},P_{3}),\ {\vec p}_{2}=(P_{4},P_{5},P_ {6}),\;\puncte

Interpretare fundamentală

Funcția Hamilton este în esență o lege de dispersie locală care exprimă frecvența cuantică (frecvența oscilațiilor funcției de undă) în termeni de vector de undă pentru fiecare punct din spațiu [2] : $\omega$ ${\mathbf k}$

\omega =H({\mathbf k},{\mathbf x}).

În aproximarea clasică (la frecvențe [3] înalte și la modulul vectorial de undă și o dependență relativ lentă de ), această lege descrie destul de clar mișcarea unui pachet de undă prin ecuații canonice Hamilton, dintre care unele ( ) sunt interpretate ca o viteză de grup. formula obținută din legea dispersiei și altele ( ) sunt destul de naturale - ca o schimbare (în special, rotație) a vectorului de undă în timpul propagării undei într-un mediu neomogen de un anumit tip. ${\mathbf x}$ ${\dot q}_{i}=\partial H/\partial p_{i}$ ${\dot p}_{i}=-\partial H/\partial q_{i}$

Derivarea ecuațiilor lui Hamilton

Derivare din principiul acțiunii staționare

Din principiul acțiunii minime (staționare) , ecuațiile Hamilton sunt obținute direct prin variarea acțiunii

S=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot q}_{i}-H (q,p,t){\bigg )}dt

indiferent de și pe . $q$ $p$

Derivarea din mecanica lagrangiană

Putem deriva ecuațiile lui Hamilton folosind informații despre cum se modifică Lagrangianul în timp, coordonatele și impulsul particulelor.

{\mathrm {d}}L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}{\mathrm {d}}q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot q}_{i)))){\mathrm {d}}({\dot q}_{i}}\right)+{\frac {\partial L }{\partial t}}{\mathrm {d}}t

momentele generalizate sunt definite ca , iar ecuațiile Lagrange citesc: $p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot q}_{i))))$

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-{ \frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=F_{i},

unde este o forță generalizată nepotențială. Ultima expresie este convertită în formă $F_{i}$

{\frac {\partial L}{\partial q_{i)}}={\dot {p))_{i}-F_{i},

iar rezultatul este substituit în variația lagrangianului

\mathrm {d} L=\sum _{i}\left[\left({\dot {p}}_{i}-F_{i}\right)\mathrm {d} q_{i} +p_{i}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}\right]+{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t.

Poti sa scrii:

{\mathrm {d}}L=\sum _{i}\left[\left({{\dot p}}_{i}-F_{i}\right){\mathrm {d}}q_{i }+{\mathrm {d}}\left(p_{i}{{\dot q}_{i}}\right)-{{\dot q}_{i}}{\mathrm {d}}p_ {i}\right]+{\frac {\partial L}{\partial t}}{\mathrm {d}}t

și convertit la forma:

\mathrm {d} \left(\sum _{i}p_{i}({\dot {q))_{i}}-L\right)=\sum _{i}\left[\ stânga(F_{i}-{\punct {p}}_{i}\dreapta)\mathrm {d} q_{i}+({\punct {q}}_{i}}\mathrm {d} p_ {i}\right]-{\frac {\partial L}{\partial t))\mathrm {d} t.

Factorul din partea stângă este doar Hamiltonianul, care a fost definit mai devreme. În acest fel:

\mathrm {d} H=\sum _{i}\left[\left(F_{i}-{\dot {p}}_{i}\right)\mathrm {d} q_{i} +{{\punct {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right]-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t=\sum _{i}\left[{\frac {\partial H}{\partial q_{i))}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i)) }\mathrm {d} p_{i}\right]+{\frac {\partial H}{\partial t))\mathrm {d} t,

unde a doua egalitate este valabilă datorită definiției derivatei parțiale.

Generalizare prin paranteze Poisson

Ecuațiile pot fi scrise într-o formă mai generală folosind algebra Poisson peste generatoare și . În acest caz, forma mai generală a ecuațiilor lui Hamilton este următoarea: $p$ $q$

{\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t)),

unde , numită observabilă clasică, este o funcție a variabilelor , și , și este Hamiltonianul sistemului. Puteți lucra cu paranteze Poisson fără a recurge la ecuații diferențiale, deoarece parantezele Poisson sunt complet analoge cu parantezele Lie din algebra Poisson. $A$ $p$ $q$ $t$ $H$

Această abordare algebrică ne permite să folosim distribuția de probabilitate pentru și , ne permite, de asemenea, să găsim mărimi conservate (integrale de mișcare). $q$ $p$

Ecuațiile lui Hamilton sunt printre ecuațiile fundamentale ale mecanicii clasice. În mecanica cuantică , analogul ecuației Hamilton reduse este ecuația Heisenberg .

Vezi și

Note

↑ Funcția Hamilton, în general vorbind, poate depinde în mod explicit de timp, deși în multe cazuri fundamentale nu există o astfel de dependență.
↑ Deoarece energia și impulsul sunt vectorul de frecvență și de undă, diferă de ele doar printr-un factor constant universal, care poate fi ales ca unitate într-un sistem adecvat de unități.
↑ Deoarece legătura dintre energie și frecvență, impuls și vector de undă în sistemele obișnuite de unități include constanta lui Planck , care este foarte mică în aceste sisteme obișnuite de unități, energiile și momentele foarte mari corespund celor obișnuite pentru mecanica clasică (în comparație cu scalele spaţiale şi temporale) frecvenţe şi vectori de undă.

Literatură

Vilazi G. Dinamica hamiltoniană. traducere din engleză M.: IKI i RHD, 2006. 432p. ISBN 5-93972-444-2
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecanica. - Ediția a 5-a, stereotip. — M .: Fizmatlit , 2001. — 222 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
Leach JW Mecanica clasică. M.: Străin. literatură, 1961.
D. ter Haar. Fundamentele mecanicii hamiltoniene. Moscova: Nauka, 1974.
Polak L. S. (ed.) Principii variaționale ale mecanicii. Culegere de articole ale clasicilor științei. Moscova: Fizmatgiz, 1959