Experiment factorial complet

Experiment factorial complet (FFE) - un set de mai multe măsurători care îndeplinesc următoarele condiții:

Numărul de măsurători este 2 n , unde n este numărul de factori;
Fiecare factor ia doar două valori - superior și inferior;
În timpul măsurării, valorile superioare și inferioare ale factorilor sunt combinate în toate combinațiile posibile.

Avantajele unui experiment factorial complet sunt

ușurința rezolvării sistemului de ecuații pentru estimarea parametrilor ;
redundanță statistică în numărul de măsurători, care reduce impactul erorilor individuale de măsurare asupra estimării parametrilor.

Preliminari

Estimarea parametrilor sistemului

În practică, este adesea necesar să se evalueze parametrii unui anumit sistem, adică să se construiască modelul său matematic și să se găsească valorile numerice ale parametrilor acestui model. Datele inițiale pentru construirea modelului sunt rezultatele experimentului , care este o colecție de mai multe măsurători efectuate conform unui plan specific. În cel mai simplu caz, planul este o descriere a condițiilor de măsurare, adică a valorilor parametrilor (factorilor) de intrare în timpul măsurării.

Ca exemplu de sisteme, a căror estimare a parametrilor este relevantă din punct de vedere practic, pot servi diverse procese tehnologice. Pentru a ilustra, luați în considerare procesul de fotolitografie.

Fotolitografia este aplicarea unui model pe o suprafață folosind o metodă fotografică. Se compune din următoarele etape: pregătirea suprafeței, aplicarea unei emulsii fotosensibile ( fotorezist ), uscare, instalarea unui șablon sau a unei plăci cu model negativ, expunere (iluminare) cu raze ultraviolete, gravare (dezvoltare). Deoarece subtilitățile tehnologice ale fotolitografiei nu sunt importante în acest context, vom considera grosimea emulsiei fotosensibile d (în microni) și timpul de expunere t (în secunde) ca principalii factori care afectează procesul de litografie. Parametrul de ieșire (răspunsul) al procesului va fi rezoluția sa R , adică numărul maxim de linii distinse care pot fi desenate pe un milimetru de suprafață. Această valoare este determinată prin aplicarea unei imagini de testare speciale pe suprafață.

Deci, procesul tehnologic al fotolitografiei este descris de o anumită funcție a formei

\R=f(d,t).

Construirea unui model al procesului tehnologic vă permite să identificați comportamentul răspunsului sistemului în funcție de schimbarea factorilor și, prin urmare, să găsiți modalități de optimizare a tehnologiei. Pentru acest caz particular, alegeți grosimea emulsiei și timpul de expunere care vor oferi cea mai bună calitate a imaginii.

În cazul general, răspunsul sistemului este descris de o anumită funcție de variabile $n$

\ y=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).

Modelul matematic al sistemului este obținut ca rezultat al aproximării acestei funcții cu o altă funcție, de exemplu, una liniară.

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n))

unde sunt parametrii de model doriti. ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}...a_{n))$

Figura prezintă grafic procesul de construire a unui model liniar al procesului de fotolitografie, unde este grosimea filmului de emulsie, este timpul de expunere, este rezoluția obținută în condiții date. Funcția este neliniară, totuși, în apropiere suficientă de punctul , poate fi înlocuită cu un plan tangent . În zona prezentată în figură, eroarea maximă a modelului este . $x_{1}$ $x_{2}$ $y$ $y=f(x_{1},x_{2})$ $A_0$ ${\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))$ $\Delta y$

Cunoscând coeficienții modelului , este posibil să se prezică cu o anumită acuratețe valoarea funcției (și, prin urmare, comportamentul sistemului) în vecinătatea punctului . Scopul experimentului este de a determina valorile coeficienților . ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2))$ $A_0$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2))$

Matricea experimentului

Să presupunem că parametrii inițiali ai procesului tehnologic sunt: grosimea peliculei 55 microni, timpul de expunere - 30 s, adică

\ x_{1C}=55;\quad x_{2C}=30.

Să luăm valorile superioare și inferioare ale ambilor factori, astfel încât să fie situate simetric față de valoarea curentă, de exemplu

\ x_{1B}=60;\quad x_{2B}=35;

\ x_{1H}=50;\quad x_{2H}=25;

Să facem un tabel în care valorile ambilor factori sunt în toate combinațiile posibile și să facem măsurători în aceste puncte (valorile răspunsului sunt date condiționat):

{\begin{array}{|c|c||c|}\hline x_{1}&x_{2}&y\\\hline 50&25&140\\50&35&210\\60&25&170\\60&35&220\\\hline \end {matrice}}

Presupunând că modelul liniar al procesului are forma

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))

Pe baza rezultatelor obținute se poate alcătui un sistem de patru ecuații cu două variabile. Acest sistem este prezentat mai jos, precum și notația sa prescurtată sub formă de matrice. Să numim o matrice de acest tip matricea experimentului .

{\begin{cases}a_{0}+50a_{1}+25a_{2}=140\\a_{0}+50a_{1}+35a_{2}=210\\a_{0}+ 60a_{1}+25a_{2}=170\\a_{0}+60a_{1}+35a_{2}=220\end{cases));\left({\begin{array}{ccc|c} x_{0}&x_{1}&x_{2}&y\\\hline 1&50&25&140\\1&50&35&210\\1&60&25&170\\1&60&35&220\end{array}}\right).

În matricea experimentului, a doua și a treia coloană sunt valorile factorilor, a patra coloană sunt valorile răspunsului sistemului, iar prima coloană conține unități corespunzătoare coeficienților unitar ai termenului liber al model . Vom considera această coloană ca fiind un factor virtual , care ia întotdeauna valori individuale. $a_{0}$ $x_{0}$

Soluția sistemului

Pentru a facilita rezolvarea sistemului, normalizăm factorii. Atribuim valoarea normalizată +1 valorilor superioare ale factorilor, valoarea normalizată -1 valorilor inferioare, valoarea normalizată 0 valorii medii. În general, normalizarea factorului este exprimată prin formula

{\tilde {x}}_{i}={\frac {2(x_{i}-x_{iC})}{x_{iB}-x_{iH}}}={\frac {2x_ {i}-x_{iB}-x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}}.

Ținând cont de normalizarea factorilor, sistemul de ecuații și matricea experimentului vor lua următoarea formă:

{\begin{cases}{\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}-{\tilde {a}}_{2}=140\\{\ tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}+{\tilde {a}}_{2}=210\\{\tilde {a}}_{0}+{ \tilde {a}}_{1}-{\tilde {a}}_{2}=170\\{\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}+ {\tilde {a))_{2}=220\end{cases));\left({\begin{array}{ccc|c}{\tilde {x))_{0}&{\tilde { x}}_{1}&{\tilde {x}}_{2}&y\\\hline +1&-1&-1&140\\+1&-1&+1&210\\+1&+1&-1&170\\+1& +1&+1&220\end{array}}\right).

Deoarece suma termenilor din a doua și a treia coloană a matricei este zero, interceptarea modelului poate fi găsită prin adăugarea tuturor celor patru ecuații:

4\ {\tilde {a}}_{0}=140+210+170+220=740;

{\tilde {a}}_{0}=185.

Pentru a găsi orice alt coeficient al modelului, trebuie să schimbați semnele din ecuații, astfel încât să existe doar unele în coloana corespunzătoare, apoi să adăugați toate cele patru ecuații:

4\ {\tilde {a}}_{1}=-140-210+170+220=40;

{\tilde {a}}_{1}=10.

4\ {\tilde {a}}_{2}=-140+210-170+220=120;

{\tilde {a}}_{2}=30.

Astfel, modelul liniar al procesului tehnologic din vecinătatea punctului (55, 30) are forma

\ y=185+10{\tilde {x}}_{1}+30{\tilde {x}}_{2}.

În general, soluția sistemului va arăta ca

{\tilde {a}}_{k}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=1}^{2^{n}}y_{i}{ \tilde {x}}_{ki}

Reveniți la factorii nenormalizați

Trecerea de la factorii normalizați la cei nenormalizați se realizează prin transformarea inversă

{x}_{i}={\tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{x}_{iC}={ \tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{\frac {x_{iB}+x_{iH}}{2}}.

Pentru a găsi parametrii modelului pentru coordonatele nenormalizate, înlocuim expresiile pentru coordonatele normalizate în ecuația modelului:

\ y={\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}{\tilde {x}}_{1}+{\tilde {a}}_{ 2}{\tilde {x}}_{2}=

\ ={\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}{\frac {2(x_{1}-x_{1C})}{x_{1B} -x_{1H))}+{\tilde {a}}_{2}{\frac {2(x_{2}-x_{2C})}{x_{2B}-x_{2H}}}=

\={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {2x_{1C}}{x_{1B}-x_{1H}}}- {\tilde {a}}_{2}{\frac {2x_{2C}}{x_{2B}-x_{2H}}}+{\frac {2{\tilde {a}}_{1}} {x_{1B}-x_{1H}}}x_{1}+{\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}-x_{2H}}}x_{2} =

\ ={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {x_{1B}+x_{1H}}{x_{1B}-x_{ 1H}}}-{\tilde {a}}_{2}{\frac {x_{2B}+x_{2H}}{x_{2B}-x_{2H}}}+{\frac {2{\ tilde {a}}_{1}}{x_{1B}-x_{1H}}}x_{1}+{\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}- x_{2H}}}x_{2}.

Compararea ultimei expresii cu expresia pentru modelul liniar în coordonate nenormalizate

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))

obținem expresii pentru parametrii modelului:

\ a_{0}={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {x_{1B}+x_{1H}}{x_{1B }-x_{1H))}-{\tilde {a}}_{2}{\frac {x_{2B}+x_{2H}}{x_{2B}-x_{2H}}};

\ a_{1}={\frac {2{\tilde {a}}_{1}}{x_{1B}-x_{1H}}};

\ a_{2}={\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}-x_{2H}}};

În general

a_{0}={\tilde {a}}_{0}-\sum _{i=1}^{n}{\tilde {a}}_{i}{\frac {x_{iB }+x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

$a_{k}={\frac {2{\tilde {a}}_{k}}{x_{kB}-x_{kH}}}.$

Pentru exemplul de mai sus

\ a_{0}=185-10\cdot {\frac {60+50}{60-50}}-30\cdot {\frac {35+25}{35-25}}=-105;

\ a_{1}={\frac {2\cdot 10}{60-50}}=2;

\ a_{2}={\frac {2\cdot 30}{35-25}}=6.

În cele din urmă, obținem modelul în coordonate naturale:

\ y=-105+2x_{1}+6x_{2)

Experiment factorial complet

Matricea PFE în formă generală

În general, matricea unui experiment factorial complet cu n factori are forma

\left({\begin{array}{cccc | c}{\tilde {x}}_{0}&{\tilde {x}}_{1}&...&{\tilde {x }}_{n}&y\\\hline +1&-1&...&-1&y_{1}\\+1&-1&...&+1&y_{2}\\...&...&. ..&...&...\\+1&+1&...&+1&y_{2^{n}}\end{array}}\right).

Proprietățile matricei PFE

Matricea PFE are următoarele proprietăți:

Numărul de rânduri din matrice este 2 n ;
Coloana zero a matricei este formată din:

{\tilde {x}}_{0i}=1;

Coloanele 1... n conțin toate cele 2 n combinații posibile de valori -1 și +1;
Ultima coloană conține rezultatele măsurătorilor obținute cu valorile factorilor înscriși în rândurile corespunzătoare din coloanele 1… n .
Suma elementelor coloanei zero este întotdeauna egală cu 2 n :

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{0i}=2^{n};

Suma elementelor oricărei coloane, cu excepția zero și a ultimei, este egală cu zero:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}=0\qquad (k=1...n);

Ultimele două expresii pot fi combinate într-o singură relație:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}=2^{n}\delta _{k0}\qquad (k=0.. .n),

unde este matricea de identitate, ; $\delta _{{ij}}$ $(i,j=0...n)$

Suma pătratelor elementelor oricărei coloane (cu excepția ultimei) este întotdeauna egală cu 2 n :

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}^{2}=2^{n}\qquad (k=0...n );

Suma produselor elementelor corespunzătoare din oricare două coloane (cu excepția ultimei) este egală cu zero:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}{\tilde {x}}_{mi}=0\qquad (k,m= 0...n;k\neq m);

Ultimele două expresii pot fi scrise ca ortogonalitatea coloanelor matricei:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}{\tilde {x}}_{mi}=2^{n}\delta _ {km}\qquad(k,m=0...n);

Calculul coeficienților unui model liniar

Coeficienții modelului liniar în coordonate normalizate sunt calculați prin formulele:

{\tilde {a}}_{k}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=1}^{2^{n}}y_{i}{ \tilde {x}}_{ki}\qquad (k=0...n);

Coeficienții modelului liniar în coordonate naturale (nenormalizate) sunt calculați prin formulele:

a_{0}={\tilde {a}}_{0}-\sum _{i=1}^{n}{\tilde {a}}_{i}{\frac {x_{iB }+x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

a_{k}={\frac {2{\tilde {a}}_{k}}{x_{kB}-x_{kH}}}\qquad (k=1...n).

Conversia factorilor naturali în cei normalizați și invers

{\tilde {x}}_{i}={\frac {2x_{i}-x_{iB}-x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

{x}_{i}={\tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{\frac {x_{iB}+ x_{iH}}{2}}.

Vezi și

Planificarea experimentului

Surse

Modele de construcție și testare la limită a mijloacelor electronice: Metoda. instructiuni / Comp. A. N. Jirabok, V. N. Lyakhov. - Vladivostok: Editura Universității Tehnice de Stat din Orientul Îndepărtat, 2006. - 32 p.

Adler Yu. P., Markova EV, Granovsky Yu. V. Planificarea experimentului în căutarea condițiilor optime. - M .: Nauka, 1976. - 279 p., ill.

Montgomery D.K. Proiectare experimentală și analiza datelor: Per. din engleza. - L .: Construcţii navale, 1980. - 384 p., ill.