Semiperimetrul

Semiperimetrul unui poligon este jumătate din perimetrul acestuia . Deși semiperimetrul este un derivat foarte simplu al perimetrului, el apare atât de des în formulele pentru triunghiuri și alte figuri geometrice încât i s-a dat un nume separat. Dacă semiperimetrul apare în orice formulă, acesta este de obicei notat cu litera p .

Triunghiuri

Semiperimetrul este cel mai frecvent utilizat pentru triunghiuri. Formula semiperimetrică pentru un triunghi cu laturile a , b și c

p={\frac {a+b+c}{2)).

Proprietăți

În orice triunghi, vârful și punctul tangent al cercului de pe latura opusă împart perimetrul triunghiului în două părți egale, adică în două căi, fiecare având o jumătate de perimetru lungime. Figura arată laturile A, B, C și punctele de contact A', B', C' , apoi

$p=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|$

=|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.

Trei segmente care leagă vârfuri cu puncte de contact opuse se intersectează într-un punct - punctul Nagel .

Dacă luăm în considerare segmentele care leagă punctele mijlocii ale laturilor cu puncte distanțate (de-a lungul laturilor) de acest punct de mijloc cu o jumătate de perimetru, atunci aceste segmente se intersectează într-un punct - centrul cercului lui Spieker , care este un cerc înscris în mediană . triunghi . Centrul lui Spieker este centroidul laturilor triunghiului.

O linie dreaptă care trece prin centrul cercului înscris al unui triunghi traversează perimetrul dacă și numai dacă traversează zona.

Semiperimetrul unui triunghi este egal cu perimetrul triunghiului său median .

Inegalitatea triunghiului implică faptul că lungimea celei mai lungi laturi a unui triunghi nu depășește jumătate de perimetru.

Formule cu semiperimetru

Aria K a oricărui triunghi este produsul dintre raza cercului său și semiperimetrul :

K=pr.

Aria unui triunghi poate fi calculată pe baza semiperimetrului său și a lungimii laturilor a, b, c folosind formula lui Heron :

K={\sqrt {p\stanga(pa\dreapta)\stanga(pb\dreapta)\stanga(buc\dreapta))).

Raza cercului circumscris R al unui triunghi poate fi calculată și din semiperimetrul său și din lungimile laturilor:

R={\frac {abc}{4{\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))))).

Această formulă poate fi derivată din teorema sinusului .

Raza cercului înscris este

r={\sqrt {\frac {(pa)(pb)(pc)}{p))}.

Teorema cotangentei dă cotangentele a jumătate din unghiurile de la vârfurile unui triunghi în termeni de semiperimetru, laturi și raza cercului.

Lungimea bisectoarei unghiului interior opus laturii a este [1]

t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcs(pa))}}{b+c)).

Într -un triunghi dreptunghic, raza cercului de la ipotenuză este jumătate din perimetru. Semiperimetrul este egal cu suma razei cercului înscris și de două ori a razei cercului circumferitor. Aria unui triunghi dreptunghic este , unde a și b sunt catete. $(pa)(pb)$

Quadrangles

Formula pentru semiperimetrul unui patrulater cu laturile a , b , c și d

p={\frac {a+b+c+d}{2)).

Una dintre formulele pentru triunghiuri, folosind un semiperimetru, se aplică și patrulaterelor circumscrise , care au un cerc înscris și suma lungimilor laturilor opuse a cărora este egală cu semiperimetrul. Și anume, aceasta este formula pentru aria unei figuri:

K=pr.

Cea mai simplă formă a formulei lui Brahmagupta pentru aria unui patrulater înscris într-un cerc este similară cu formula lui Heron pentru aria unui triunghi:

K={\sqrt {\left(pa\right)\left(pb\right)\left(pc\right)\left(pd\right))).

Relația Bretschneider generalizează formula pentru toate patrulaterele convexe :

K={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma {2)}\right )}},

unde și sunt două unghiuri opuse. $\alfa$ $\gamma$

Cele patru laturi ale patrulaterului bicentral sunt cele patru soluții ale unei ecuații de gradul al patrulea ai cărei parametri sunt semiperimetrul, raza cercului înscris și raza cercului circumferitor.

Poligoane regulate

Aria unui poligon regulat convex este egală cu produsul semiperimetrului său și distanța de la centru la una dintre laturi.

Note

↑ Johnson, 2007 , p. 70.

Literatură

Roger A. Johnson. Geometrie Euclidiană Avansată. - Dover Publ., 2007. (Retipărire a cărții din 1929)

Link -uri

Weisstein, Eric W. Semiperimeter (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .