Formula Brahmagupta

Formula lui Brahmagupta exprimă aria unui patrulater înscris într-un cercîn funcție de lungimile laturilor sale.

Dacă un patrulater înscris are lungimi de laturi și un semiperimetru , atunci aria lui este exprimată prin formula: $a,b,c,d$ $p={\frac {a+b+c+d}{2}}$ $S$

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd))).

Dovada

Aria unui patrulater înscris într-un cerc este egală cu suma ariilor și $\triunghi ABD$ $\triunghi BDC$

S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin C.

Deoarece este un patrulater înscris, rezultă că : $ABCD$ $\angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB.$ $\sin A=\sin C$

S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin A

S^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(ab+cd)^{2}

4S^{2}=(1-\cos ^{2}A)(ab+cd)^{2}

4S^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos ^{2}A(ab+cd)^{2}.

După ce am scris teorema cosinusului pentru latura în și obținem: $CB$ $\triunghi ACB$ $\triunghi BDC,$

a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C.

Folosiți ( și opusul) și apoi introduceți parantezele : $\cos C=-\cos A$ $A$ $C$ $2\cos A$

2\cos A(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.

Înlocuiți rezultatul obținut în formula de suprafață obținută anterior:

4S^{2}=(ab+cd)^{2}-{\frac {1}{4))(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^ {2})^{2}

16S^{2}=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},

Sa aplicam formula : $x^{2}-y^{2}=(x+y)(xy)$

(2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b ^{2}+c^{2}+d^{2})

=((a+b)^{2}-(cd)^{2})((c+d)^{2}-(ab)^{2})

=(a+b+cd)(a+b+dc)(a+c+db)(b+c+da).

De la semiperimetru $p={\frac {a+b+c+d}{2)),$

16S^{2}=16(pa)(pb)(pc)(pd).

Luând rădăcina pătrată, obținem:

S = \sqrt{(pa)(pb)(pc)(pd)}.

Variații și generalizări

Formula lui Brahmagupta generalizează formula lui Heron pentru aria unui triunghi : este suficient să presupunem că lungimea uneia dintre laturi este egală cu zero (de exemplu, ). $d=0$
Pentru cazul patrulaterelor arbitrare , formula lui Brahmagupta poate fi generalizată după cum urmează: $S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }},$

unde este jumătate din suma unghiurilor opuse ale patrulaterului. (Ce pereche de unghiuri opuse să ia nu contează, deoarece dacă jumătatea unei perechi de unghiuri opuse este egală , atunci jumătatea sumei celorlalte două unghiuri va fi , și )

\theta

\theta

180^{\circ }-\theta

\cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta .

Uneori, această formulă mai generală este scrisă astfel:

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)))

unde și sunt lungimile diagonalelor patrulaterului.

u

v

Robbins a demonstrat că pentru orice poligon înscris culaturi, valoareaeste rădăcina unui polinom, ai cărui coeficienți sunt la rândul lor polinoame în lungimile laturilor. El a găsit aceste polinoame pentruși. Alți autori au descoperit că polinomulpoate fi ales astfel încât coeficientul său de conducere să fie egal cu unu, iar gradulsă fie egal cu, dacăși, dacă. Aici $n$ $(4S)^{2}$ $P$ $n=5$ $n=6$ $P$ $N=N(n)$ $\Delta _{k}$ $n=2k+1$ $2\Delta _{k)$ $n=2k+2$ $\Delta _{k}={\frac {2k+1}{2}}{\binom {2k}{k}}-2^{2k-1}=\sum _{j=0}^ {k-1}(kj){\binom {2k+1}{j)),$

unde sunt coeficienți binomi . Pentru poligoane cu un număr mic de laturi, avem , , , (secvența A000531 în OEIS ) și , , , (secvența A107373 în OEIS ).

{\tbinom {k}{j}}={\tfrac {k!}{j!(kj)!}}

\Delta _{1}=1

\Delta _{2}=7

\Delta _{3}=38

\Delta _{4}=187,\dots

N(4)=2

N(5)=7

N(6)=14

N(7)=38,\dots

Dacă în formula Brahmagupta exprimăm jumătate de perimetru prin jumătatea sumei tuturor laturilor patrulaterului dat, pătrați ambele părți, înmulțiți cu -16, deschideți parantezele și aduceți similar, atunci va lua forma:

-16S^{2}=a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}-2(a^{2}b^{2}+b^{ 2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}d^{2}+c^{2}d^{2 })-8abcd

Partea dreaptă este aceeași cu expansiunea determinantului de mai jos atunci când este înmulțită cu -1. Prin urmare, putem scrie că [1]

16S^{2}=-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix))

Există o modificare a formulei Brahmagupta pentru geometria Lobachevsky [2]

Vezi și

Note

↑ Starikov, 2014 , p. 37-39.
↑ Mednykh A.D. Despre formula Brahmagupta în geometria Lobachevsky. Educație matematică 2012. Numărul 16. P. 172–180// http://www.mathnet.ru/links/bdaefb8812875801603ce752bfa911d2/mp299.pdf

Literatură populară

A. Yu. Davidov . Geometrie elementară în volumul cursului gimnazial . — 1863.
V. V. Prasolov . Formula lui Brahmagupta // Matematica la școală . - 1991. - Nr 5 .
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Noi întâlniri cu geometria. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Biblioteca Cercului Matematic).

Literatură științifică

V.V. Varfolomeev. Poligoane înscrise și polinoame Heron // Math. Colectie. . - 2003. - T. 194 , nr 3 . - S. 3-24 .
Starikov V.N. Note despre geometrie // Căutare științifică: științe umanitare și socio-economice: o colecție de lucrări științifice / Cap. ed. Romanova I. V. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - Emisiune. 1 . - S. 37-39 .
M. Fedorchuk, I. Pak Rigiditate și invarianți polinomi ai politopilor convexe // : en:Duke Mathematical Journal|Duke Math. J .: jurnal. - 2005. - Vol. 129 , nr. 2 . - P. 371-404 . - doi : 10.1215/S0012-7094-05-12926-X .