Descompunere polară

Descompunerea polară este o reprezentare a unei matrice pătrate ca produs al matricelor hermitiene și unitare . Este un analog al descompunerii oricărui număr complex sub forma . $A$ $S$ $U$ $A=SU$ ${\displaystyle z=|z|e^{i\varphi ))$

Proprietăți

Orice matrice pătrată peste (peste ) poate fi reprezentată ca , unde este o matrice definită nenegativă simetrică (hermitiană) , este o matrice ortogonală (unitară). Dacă matricea este nedegenerată , atunci o astfel de reprezentare este unică [1] . $A$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $A=SU$ $S$ $U$ $A$
Orice matrice poate fi reprezentată ca , unde și sunt matrici unitare, este o matrice diagonală [1] . $A$ $A=UDW$ $U$ $W$ $D$
Dacă sunt expansiuni polare ale unei matrice nedegenerate , atunci [1] . $A=S_{{1}}U_{{1}}=S_{{2}}U_{{2}}$ $A$ $U_{{1}}=U_{{2}}$

Existenta

Să demonstrăm că orice matrice pătrată peste poate fi reprezentată ca un produs dintre o matrice definită nenegativă simetrică și o matrice ortogonală . $A$ $\mathbb {R}$

Deoarece , matricea este simetrică. Există [2] o bază, care poate fi notata cu , constând din vectori proprii ortonormali ai matricei , aranjați în ordinea descrescătoare a valorilor proprii. ${\left(A^{T}A\right)}^{T}=A^{T}A$ $A^TA$ $\vec{e}$ $A^TA$

Deoarece , atunci pentru orice vector și bază , . Aceasta înseamnă că imaginea bazei în raport cu transformarea este ortogonală (unghiurile dintre vectorii bazei sunt păstrate, dar nu și lungimile acestora). În timpul transformării, vectorii de bază sunt transformați în vectori . $(A^T(x), y) = (x, A(y))$ $e_{i}$ $e j$ $e$ $\lambda_i (\vec{e_i}, \vec{e_j})=(A^TA(\vec{e_i}), \vec{e_j})=(A(\vec{e_i}), A(\vec{ e j}))$ $\vec{e}$ $A$ $A$ $\vec{e_i}$ $e$ $\sqrt{\lambda_i} \vec{e_k}$

Valorile singulare ale unei matrice sunt rădăcinile pătrate ale valorilor proprii ale matricei . $A$ $\sqrt{\lambda_i}$ $A^TA$

Prin urmare, este evident că . Deoarece în baza luată în considerare vectorii sunt aranjați în ordinea descrescătoare a valorilor lor proprii, există un număr astfel încât . $\lambda_i \ge 0$ $r$ $\forall i \le r \rightarrow \lambda_i > 0$

Fie un sistem de vectori la , suplimentat la o bază ortonormală în mod arbitrar. Fie matricea de tranziție de la bază la bază . Deoarece ambele baze sunt ortonormale, matricea este ortogonală. Deoarece , există o bază ortonormală a vectorilor proprii ai matricei . Aceasta înseamnă că matricea din bază are o formă diagonală și, prin urmare, este simetrică într-o bază ortonormală arbitrară. $f$ $\vec{f_i} = {{\vec{A(e_i)}} \over {\sqrt{\lambda_i}}}$ $i < r$ $Q$ $e$ $f$ $Q$ $Q^{-1} A(e_i) = Q^{-1} \left( \sqrt{\lambda_i} f_i\right)=\sqrt{\lambda_i}e_i$ $Q^{-1} A$ $Q^{-1} A$ $\vec{e}$

Deci, unde matricea este ortogonală și matricea este simetrică. $A=QQ^{-1}A=Q(Q^{-1}A)$ $Q$ $Q^{-1} A$

Note

↑ 1 2 3 Probleme și teoreme ale algebrei liniare, 1996 , p. 224.
↑ valorile proprii ale unei matrice simetrice

Literatură

Prasolov VV Probleme și teoreme ale algebrei liniare. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .