Constanta ghețar-Kinkelin

Constanta Glaisher-Kinkelin în matematică este un număr real , notat cu A , care este asociat cu funcția K și cu funcția G Barnes și poate fi exprimat și în termenii valorii derivatei funcției zeta Riemann , $\zeta '(-1)$

A=\exp \left({\tfrac {1}{12}}-\zeta '(-1)\right)

Această constantă apare în diferite sume și integrale, în special cele care implică funcția gamma sau funcția zeta Riemann .

Valoarea numerică a constantei Glaisher-Kinkelin este exprimată ca o fracție zecimală infinită [1] [2] :

A = 1,282427129100622636875342568869791727767688927 … (secvența A074962 în OEIS )

A fost numit după matematicianul englez James Whitbread Lee Glaisher ( 1848-1928) și matematicianul elvețian Hermann Kinkelin ( 1832-1913 ), care au considerat-o în lucrările lor [3] [4] .

Reprezentări prin intermediul funcției K și al funcției G Barnes

Pentru valori întregi pozitive ale argumentului, funcția K poate fi reprezentată ca

K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k)

Este legat de funcția G Barnes , care, pentru valori întregi pozitive ale argumentului, poate fi reprezentată ca

G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K( n)}}

unde este funcția gamma , . $\Gamma (n)$ $\Gamma (n)=(n-1)!$

Constanta Glaisher-Kinkelin A poate fi definită ca limită [5]

A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{- n^{2}/4}}}

sau, respectiv,

A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(2\pi )^{n/2}n^{n^{2}/2-1/12}e^{-3n ^{2}/4+1/12}}{G(n+1)}}

De asemenea, se știe că [6]

G\left({\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1/24}\pi ^{-1/4}e^{1/8}A^{-3/ 2}

Relația cu funcția zeta Riemann

Constanta Glaischer-Kinkelin A este legată de derivata funcției zeta Riemann pentru unele valori întregi ale argumentului [5] [7] , în special,

\zeta ^{\prime }(-1)={\tfrac {1}{12}}-\ln A

\zeta ^{\prime }(2)=-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2)}}={\frac {\ pi ^{2}}{6}}\left[\gamma +\ln(2\pi )-12\ln A\right]

unde este constanta Euler-Mascheroni . $\gamma$

Câteva integrale și sume

Constanta Glaischer-Kinkelin apare în unele integrale definite și sume infinite [5] ,

\int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)\;{\rm {d}}x={\tfrac {3}{2}}\ln {A}+{ \tfrac {5}{24}}\ln {2}+{\tfrac {1}{4}}\ln {\pi }

\int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\;{\rm {d}}x={\tfrac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\tfrac {1}{24}}-{\tfrac {1}{2}}\ln {A}

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\ln(2k+1)}{(2k+1)^{2))}=\pi ^{2}\left( {\tfrac {3}{2}}\ln {A}-{\tfrac {1}{6}}\ln {2}-{\tfrac {1}{8}}\ln {\pi }-{ \tfrac {1}{8}}\gamma \right)

De asemenea, această constantă poate fi reprezentată ca o sumă [8] [9] , care rezultă din reprezentarea pentru funcția zeta Riemann obținută de Helmut Hasse ,

\ln {A}={\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{ n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}\left(k+1\right)^{ 2}\ln(k+1)

unde este coeficientul binom . ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(nk)!)))$

Note

↑ Fredrik Johansson și colab. 20.000 de cifre ale constantei Glaisher-Kinkelin A = exp(1/12 - zeta'(-1)) (engleză) (HTML) (downlink) . mpmath.googlecode.com. Preluat la 11 septembrie 2012. Arhivat din original la 31 octombrie 2012.
↑ A074962 - Expansiunea zecimală a constantei Glaisher-Kinkelin A (engleză) (HTML). Enciclopedia on-line a secvențelor întregi (OEIS), oeis.org. Preluat la 11 septembrie 2012. Arhivat din original la 31 octombrie 2012.
↑ Hermann Kinkelin , Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung Arhivat la 16 ianuarie 2016 la Wayback Machine , Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, pp.
↑ JWL Glaisher , Despre produsul 1¹.2².3³...nⁿ , Mesagerul matematicii 7, 1878, p. 43–47
↑ 1 2 3 Eric W. Weisstein. Glaisher–Kinkelin Constant (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
↑ J. Choi și HM Srivastava. Anumite clase de serii care implică funcția Zeta // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1999. - Vol. 231 . - P. 91-117. - doi : 10.1006/jmaa.1998.6216 .
↑ Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Jesus Guillera și Jonathan Sondow (2005), Integrale duble și produse infinite pentru unele constante clasice prin continuări analitice ale transcendentului lui Lerch, arΧiv : math.NT/0506319 .
↑ Iisus Guillera și Jonathan Sondow. Integrale duble și produse infinite pentru unele constante clasice prin continuarea analitică a transcendentului lui Lerch // Ramanujan Journal [ . - 2008. - Vol. 16 . - P. 247-270. - doi : 10.1007/s11139-007-9102-0 .

Link -uri

Eric W. Weisstein. Glaisher–Kinkelin Constant (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Eric W. Weisstein. Funcția Riemann Zeta (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .