Lista limitelor

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 8 ianuarie 2017; verificările necesită 3 modificări .

Aceasta este o listă de limite și reguli pentru calcularea acestora pentru funcțiile de bază . În exemplele de mai jos, a și b sunt constante în raport cu x .

Proprietăți generale ale limitelor

Lasă și . Apoi:

\lim_{x \to c} f(x) = L_1

\lim_{x \to c} g(x) = L_2

\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2

\lim_{x \to c} \, [f(x)g(x)] = L_1 \times L_2

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2}

, dacă

L_2 \ne 0

\lim_{x \to c} \, f(x)^a = L_1^a

, dacă există numărul din partea dreaptă și toate valorile funcției din stânga în vecinătatea lui m. x=c.

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}

, dacă , sau ( regula L'Hospital )

\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0

\lim_{x \to c} |g(x)| = +\infty

\lim_{h\la 0}{f(x+h)-f(x)\over h}=f'(x)

(definiția derivatului )

\lim_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)^\frac{1}{h}=\exp\left(\frac{f'( x)}{f(x)}\dreapta)

\lim _{h\to 0}{\left({f(e^{h}x) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\ exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)

Limite legate de constantele cunoscute

\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e

( Constanta lui Napier ) - A doua limită remarcabilă

\lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}

\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!)}}=e

\lim_{n\to \infty }\, 2^{n} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\text{...} +\sqrt{2)))) }_n=\pi

( pi ), iar dacă înlocuim radicalul cel mai interior cu , atunci limita va fi egală cu

{\sqrt {2}}

\sqrt{3}

{2\pi \over 3}

Dovada

Folosind valoarea primei limite remarcabile , avem

\lim _{n\to \infty }2^{n+1}\sin {\pi \over 2^{n+1}}=\lim _{m\to \infty }m\sin { \pi \over m}=\lim _{m\to \infty }\pi {\sin {\pi \over m} \over {\pi \over m))=\pi

(unu)

Pentru că

\cos {x}={\sqrt {{1 \over 2}(1+\cos {2x)}))),x\in \left(0,{\pi \over 2}\right)

avem

\cos {\pi \over 2^{2}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 2}\right)))={1 \ peste 2}{\sqrt {2}}

\cos {\pi \over 2^{3}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 4}\right)))={1 \ peste 2}{\sqrt {2+{\sqrt {2))))

\cos {\pi \over 2^{4}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 8}\right)))={1 \ peste 2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))))

Aplicând metoda inducției matematice , obținem

\cos {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}} }}} _{n},n\în \mathbb {N}

De aici

\sin {\pi \over 2^{n+1}}={\sqrt {1-\cos ^{2}{\pi \over 2^{n+1)}})={\sqrt {1-\left({1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots {\sqrt {2))))}} _{n}\right)^{2} }}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}_{n}

Înlocuind această expresie în (1), obținem

\lim _{n\to \infty }2^{n+1}{1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2)} }}}} _{n}=\lim _{n\to \infty }2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2)))) }} _{n}=\pi

Q.E.D. În schimb, pentru radicalul cel mai interior , dovada este similară, dar, în schimb, trebuie să luați . $\sqrt{3}$ ${\sqrt {2}}$ $2^{n+1}$ $3\cdot 2^{n+1}$