Transformarea Holstein-Primakov

Transformarea Holstein-Primakov este trecerea de la operatori de spin la operatori pentru crearea și anihilarea magnonilor (care sunt bosoni [1] ). A fost propusă de Theodor Holstein (1915-1985, uneori numele de familie este scris „Holstein”) și Henry Primakov (1914-1983) [2] într-o lucrare originală din 1940 [3] .

Prima transformare Holstein-Primakov

În studiul undelor de spin , se trece de obicei la combinații ciclice de componente de spin . Acest lucru se face în felul următor. Dinamica momentelor magnetice (sau spinurilor) este descrisă de ecuația Landau-Lifshitz . Presupunând că un feromagnet este plasat într-un câmp magnetic puternic cu o putere de-a lungul axei z și este aproape de saturație (adică, pentru componentele spin de lungime S , relațiile $H_{\mathrm {ext} }$ $S_{z}\aprox S$ $S_{x,y}\ll S$

{\frac {\mathrm {d} S_{j}^{x}}{\mathrm {d} t}}=-S\sum _{j}J_{ji}(S_{i}^{ y}-S_{j}^{y})+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{y},

{\frac {\mathrm {d} S_{j}^{y}}{\mathrm {d} t}}=-S\sum _{j}J_{ji}(S_{j}^{ x}-S_{i}^{x})+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{x},

unde anizotropia magnetică este inclusă în integrala de schimb , g este factorul Lande și este magnetonul Bohr . Pentru a studia undele de spin, aceste două ecuații sunt scrise pentru operatori $J_{ji)$ $\mu _{B}$

S_{j}^{\pm }=S_{j}^{x}\pm iS_{j}^{y},

in forma

{\frac {\mathrm {d} S_{j}^{\pm }}{\mathrm {d} t}}=\mp i\left(S\sum _{j}J_{ji}( S_{j}^{\pm }-S_{i}^{\pm })+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{\pm }\right),

unde i este unitatea imaginară. [patru]

În acest caz, transformarea Holstein-Primakov (prima) este înlocuirea

S_{j}^{+}={\sqrt {2S}}\left(1-{\frac {1}{2S}}a_{j}^{\dagger }a_{j}\right) ^{1/2}a_{j},\quad S_{j}^{-}={\sqrt {2S}}a_{j}^{\dagger }\left(1-{\frac {1}{ 2S}}a_{j}^{\dagger }a_{j}\right)^{1/2},

unde este operatorul creării excitațiilor de spin ( cvasiparticule ), este operatorul anihilării lor. [2] [5] $a_{j}^{\dagger )$ $a_{j}$

Această transformare este valabilă la temperaturi scăzute, când numărul de cvasiparticule poate fi considerat mic. Cerința de diagonalizare a hamiltonianului de spin arată că excitațiile elementare ale unui feromagnet ar trebui să fie unde de spin (adică excitații colective) și nu abateri de spin de la starea de echilibru localizate la locurile rețelei. [6]

A doua transformare Holstein-Primakov

Uneori se vorbește despre a doua transformare Holstein-Primakov, adică trecerea la operatorii de creare și anihilare a undelor de spin prin transformarea Fourier a operatorilor pentru cvasiparticule și reprezentarea lor în termeni de vectori de undă : $a_{j}$ $a_{j}^{\dagger )$ ${\mathbf k}$

a_{\mathbf {k} }={\frac {1}{\sqrt {N)}}\sum _{j}a_{j}e^{-i\mathbf {k} \mathbf {r } _{j)),\quad a_{\mathbf {k} }^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {N))}\sum _{j}a_{j}^{\ pumnal }e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} _{j}}.

Noii operatori satisfac aceleași relații de comutație ca și cei „vechi” și de aceea pot fi considerați și operatori ai creării și anihilării particulelor Bose, dar care sunt deja colectivizați. Hamiltonianul de spin exprimat în termenii acestora este diagonalizat, iar operatorii înșiși sunt numiți operatorii anihilării și creării undelor de spin sau magnonii . [7] ${\displaystyle a_{\mathbf {k} ))$ $a_{\mathbf {k} }^{\dagger )$

Vezi și

A doua cuantizare

Note

↑ Gurevici, Melkov, 1994 , p. 225.
↑ 12 Rössler , 2009 , p. 173.
↑ T. Holstein, H. Primakoff. Dependența de câmp a magnetizării domeniului intrinsec a unui ferromagnet // Phys. Rev. - 1940. - T. 58 , nr 12 . — S. 1098–1113 . - doi : 10.1103/PhysRev.58.1098 .
↑ Rössler, 2009 , pp. 171-172.
↑ Gurevici, Melkov, 1994 , p. 230.
↑ Gurevici, Melkov, 1994 , p. 231-232.
↑ Gurevici, Melkov, 1994 , p. 232-233.

Literatură

Gurevich A. G., Melkov G. A. Oscilații și unde magnetice. - M. : Fizmatlit, 1994. - 464 p. - 2000 de exemplare. — ISBN 5-02-014366-9 .
Davydov A.S. Teoria Solidelor . - M . : Nauka, 1976. - S. 106 -108. — 646 p.
H. Haken. Teoria cuantică a câmpurilor solide. — M .: Nauka, 1980.
T. Holstein, H. Primakoff. Dependența de câmp a magnetizării domeniului intrinsec a unui ferromagnet // Phys. Rev. - 1940. - T. 58 , nr 12 . — S. 1098–1113 . - doi : 10.1103/PhysRev.58.1098 .
Kei Yoshida. Teoria magnetismului. - Springer, 1998. - Vol. 122. - P. 120-125. — 320p. - (Seria Springer în științe solide). — ISBN 9783540606512 .
Ulrich Rossler. Teoria stării solide: o introducere. — Ed. a II-a. - Springer, 2009. - 398 p. — ISBN 9783540927617 .