Maparea brutarului este o mapare neliniară a pătratului unității pe sine, care prezintă un comportament haotic .
Denumirea „ecran de brutar” vine de la asemănarea sa cu frământarea aluatului .
Pentru a obține această mapare, luați în considerare o secvență simbolică de caractere binare (0 și 1) care este infinită în ambele direcții
… S - 2 , S - 1 , S0 ; S 1 , S 2 ,…Să comparăm această secvență cu două numere reale (în cod binar)
x = 0. S 1 S 2 S 3 ... y = 0. S 0 S -1 S -2 ...Deoarece în sistemul binar deplasarea întregului număr la stânga cu o cifră corespunde înmulțirii cu 2, deplasarea la dreapta corespunde împărțirii cu 2 și luând partea fracțională la eliminarea celei mai mari cifre, este ușor pentru a verifica că atunci când secvența simbolică este deplasată la stânga, se obțin noi valori
x' = 2x mod 1 y' = 1 / 2 (y + [2x])unde [x] este numărul întreg și (mod 1) este partea fracțională a lui x . Punctele obținute prin iterarea mapării se numesc orbita punctului (x o , y o ) . Punctele orbitei pot fi identificate cu punctele pătratului unității.
Transformarea constă în comprimarea uniformă a pătratului de 2 ori în direcția verticală și întinderea în direcția orizontală. Apoi, jumătatea dreaptă trebuie tăiată și pusă pe partea stângă. Acțiunea primelor două iterații este prezentată în figură.
Evident, dacă în secvența de caractere prima cifră după punct și virgulă este 0, atunci x se află în jumătatea stângă a pătratului, iar dacă 1, atunci în dreapta. Pentru o secvență aleatorie de caractere, punctele orbitei vor vizita aleatoriu jumătatea stângă sau dreaptă a pătratului. Existența unui continuum de traiectorii complexe este considerată una dintre semnele distinctive ale haosului.
Orbitele periodice ale hărții sunt ușor de găsit din secvența simbolică. Deci, secvențe simbolice formate doar din 0 și 1 corespund punctelor fixe (x, y) = (0, 0) și (1, 1) . Secvența periodică (10) corespunde unei orbite de două puncte (1/3, 2/3) și (2/3, 1/3) .
Orice x și y pot fi aproximați în mod arbitrar cu precizie prin secvențe binare 0.X o …X n și 0.Y o …Y m , unde n și m sunt suficient de mari. Prin urmare, orbita șirului periodic (Y m …Y o X o …X n ) va trece în mod arbitrar aproape de orice punct al pătratului. Adică, orbitele periodice instabile formează un set dens peste tot.
Întinderea de-a lungul axei x duce la faptul că la fiecare iterație distanța pe direcția orizontală dintre orice pereche de puncte apropiate δx va crește de 2 ori. Prin urmare, după un anumit număr de iterații (când δx 2 n devine mult mai mare decât 1), traiectorii se vor deplasa uniform pe întregul pătrat.
Se crede că starea inițială a unui sistem fizic nu poate fi specificată în mod absolut exact, adică este întotdeauna necesar să se ia în considerare o anumită zonă (deși foarte mică) a condițiilor inițiale. Evident, în timpul iterațiilor de cartografiere, orice zonă selectată se va transforma într-o colecție de dungi orizontale înguste, care vor acoperi uniform pătratul unității. După o astfel de amestecare, este lipsit de sens să vorbim despre coordonatele particulei, dar puteți calcula probabilitatea ca aceasta să fie într-un anumit punct (pentru o mapare dată, toate punctele pătratului vor fi la fel de probabile). Transformarea brutarului este reversibilă; atunci când se repetă în direcția opusă, orice zonă va fi ruptă în dungi verticale înguste și, de asemenea, amestecată în jurul întregului pătrat.
O secvență simbolică aleatorie infinită (undeva în infinit) conține în mod necesar orice șir Y m …Y o X o …X n (vezi #Orbite periodice instabile ). Prin urmare, orbita unui astfel de punct trece în mod arbitrar aproape de fiecare punct al pătratului, iar media peste orbită („timp”) poate fi înlocuită cu media asupra ansamblului (așa-numita ipoteză ergodică ).