Semne de divizibilitate

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 11 ianuarie 2022; verificările necesită 7 modificări .

Semnul divizibilității este un algoritm care vă permite să determinați relativ rapid dacă un număr este multiplu al unuia predeterminat [1] . Dacă semnul divizibilității vă permite să aflați nu numai divizibilitatea unui număr cu unul predeterminat, ci și restul diviziunii, atunci se numește semnul echirezistenței .

De regulă, semnele de divizibilitate sunt folosite pentru numărarea manuală și pentru numerele prezentate într-un anumit sistem numeric pozițional (de obicei zecimal ).

Conceptele de divizibilitate, echidivizibilitate și echidistincție

Dacă pentru două numere întregi și există un număr întreg astfel încât $A$ $b$ $q,$

b\,q=a,

atunci spunem că numărul este divizibil cu $A$ $b.$

Două numere întregi și se spune că sunt egal divizibile cu dacă ambele sunt divizibile cu sau ambele nu sunt divizibile cu [2] . $A$ $b$ $m,$ $m,$

Două numere întregi și sunt echidistante atunci când sunt împărțite la un număr natural (sau sunt comparabile modulo ) dacă dau același rest atunci când sunt împărțite cu, adică există numere întregi astfel încât $A$ $b$ $m$ $m$ $m$ $q_{1},\,q_{2},\,r,$

a=m\,q_{1}+r,\;\;b=m\,q_{2}+r.

Principii generale de construcție

Să fie necesar să se determine dacă un număr natural este divizibil cu un alt număr natural. Pentru a face acest lucru, luăm o succesiune de numere naturale: $A$ $m.$

A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3},\,\dots ,\,A_{n},

astfel încât:

$A_{0}=A;$
fiecare membru al secvenței este determinat de cel precedent;
$A_{i}<A_{{i-1}},\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots ,\,n-1;$
ultimul membru al secvenței este mai mic decât $m,$ $0\leqslant A_{n}<m.$
toți membrii unei secvențe au același rest atunci când sunt împărțiți la $m.$

Atunci, dacă ultimul termen al acestei secvențe este egal cu zero, atunci este divizibil cu , altfel nu este divizibil cu. $A$ $m,$ $A$ $m$

Metoda (algoritmul) de construire a unei astfel de secvențe va fi criteriul dorit de divizibilitate prin Matematic, ea poate fi descrisă folosind o funcție care determină fiecare membru următor al șirului, în funcție de cel precedent: $m.$ $f(x),$

A_{i}=f\left(A_{{i-1}}\dreapta),\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots ,\,n,

satisfacand urmatoarele conditii:

când valoarea nu este definită; $x<m$ $f(x)$
când valoarea este un număr natural; $x\geqslant m$ $f(x)$
dacă atunci $x\geqslant m,$ $f(x)<x;$
dacă atunci și sunt echivalente cu $x\geqslant m,$ $f(x)$ $X$ $m.$

Dacă cerința de echidivizibilitate pentru toți membrii secvenței este înlocuită cu o cerință mai strictă de echi-rezidualitate, atunci ultimul membru al acestei secvențe va fi restul împărțirii prin și metoda (algoritmul) pentru construirea unei astfel de secvențe va fi un semn de echi-rezidualitate prin Datorită faptului că din egalitatea restului la împărțirea la zero rezultă divizibilitatea cu , orice semn de echirezistență poate fi folosit ca semn de divizibilitate. Matematic, semnul echirezistenței poate fi descris și folosind o funcție care determină fiecare membru următor al secvenței, în funcție de cel anterior: $A$ $m,$ $m.$ $m$ $m$ $f(x),$

A_{i}=f\left(A_{{i-1}}\dreapta),\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots ,\,n,

satisfacand urmatoarele conditii:

când valoarea nu este definită; $x<m$ $f(x)$
când valoarea este un număr natural; $x\geqslant m$ $f(x)$
dacă atunci $x\geqslant m,$ $f(x)<x;$
dacă atunci și sunt echidistante atunci când sunt împărțite la $x\geqslant m,$ $f(x)$ $X$ $m.$

Functia

f(x)=xm,\quad x\geqslant m,

iar secvența construită cu ajutorul ei va arăta astfel:

A,\,Am,\,A-2m,\,A-3m,\,\puncte

De fapt, folosirea semnului de echirezistență bazat pe această funcție este echivalentă cu împărțirea prin scădere.

Un alt exemplu este binecunoscutul semn de divizibilitate (precum și echi-rezidualitatea) cu 10.

Dacă ultima cifră din reprezentarea zecimală a unui număr este zero, atunci acest număr este divizibil cu 10; în plus, ultima cifră va fi restul împărțirii numărului inițial la 10.

Din punct de vedere matematic, acest semn de rezidualitate egală poate fi formulat după cum urmează. Să fie necesar să aflăm restul după împărțirea la 10 a unui număr natural reprezentat în formă $A,$

A=10\,b+a,\quad 0\leqslant a<10,\quad b\geqslant 0.

Apoi restul după împărțirea la 10 este . Funcția care descrie acest semn de echi-rezidualitate va arăta ca $A$ $A$

f(A)=a,\quad A\geqslant 10.

Este ușor de demonstrat că această funcție îndeplinește toate cerințele de mai sus. Mai mult, secvența construită cu ajutorul ei va conține doar unul sau doi membri.

De asemenea, este ușor de observat că un astfel de semn se concentrează în mod special pe reprezentarea zecimală a unui număr - deci, de exemplu, dacă îl aplicați pe un computer care utilizează notația binară a unui număr, atunci pentru a afla , programul ar trebui mai întâi să împartă la 10. $A$ $A$ $A$

Următoarele teoreme sunt cel mai adesea folosite pentru a construi semne de echirezistență și divizibilitate:

Pentru orice întreg și numere întregi naturale și sunt echidistante atunci când sunt împărțite la $q$ $m$ $A$ $A+mq$ $m.$
Pentru orice număr întreg , natural , întregi și sunt echidivizibile cu dacă întregul este între prime cu $q$ $m$ $A$ $pA+mq$ $m,$ $p$ $m.$

Un exemplu de construire a semnelor de divizibilitate și echirezistență cu 7

Să demonstrăm aplicarea acestor teoreme prin exemplul criteriilor de divizibilitate și echisuficiență pe $m=7.$

Să fie dat un număr întreg

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0.

Apoi, presupunând din prima teoremă , va rezulta că va fi echidistant la împărțirea la 7 cu numărul $q=-a_{1}$ $A$

A'=A-7a_{1}=\left(10-7\right)a_{1}+a_{0}=3\,a_{1}+a_{0}.

Să scriem funcția semnului de rezidualitate egală sub forma:

f(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant A_{{min)),\\A-7,&7\leqslant A<A_{{min} }.\end{cazuri}}

Și, în sfârșit, rămâne să găsim astfel încât pentru orice condiția să fie îndeplinită În acest caz, iar funcția ia forma finală: $A_{{min}}\leqslant 7,$ $A\leqslant A_{{min}}$ $3\,a_{1}+a_{0}<A.$ $A_{{min}}=10$

f(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{cases}}

Și din a doua teoremă, presupunând și coprim cu 7, va rezulta că va fi echidivizibil cu 7 cu numărul $q=3\,a_{1}$ $p=-2,$ $A$

A'=7\cdot 3a_{1}-2A=\left(21-20\right)a_{1}-2\,a_{0}=a_{1}-2\,a_{0}.

Având în vedere că numerele și sunt echidivizibile cu 7, scriem funcția semnului de divizibilitate sub forma: $A'$ $\left|A'\right|$

f(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-2\,a_{0}\right|,&A\geqslant A_{{min}},\\A-7,&7\leqslant A <A_{{min}}.\end{cases}}

f(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-2\,a_{0}\right|,&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end {cazuri}}

Semne de divizibilitate în sistemul numeric zecimal

Test de divizibilitate cu 2

Un număr este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima lui cifră este divizibil cu 2, adică este par .

Funcția corespunzătoare caracteristicilor (a se vedea secțiunea „Principii generale de construcție” ):

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0},<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10\\A-2,&2\leqslant A<10.\end{cases}}

Această funcție, pe lângă semnul divizibilității, stabilește și semnul echirezistenței.

Semn de divizibilitate cu 3

Un număr este divizibil cu 3 când suma cifrelor sale este divizibilă cu 3. De exemplu, numărul 159 este divizibil cu 3 deoarece suma cifrelor sale 1 + 5 + 9 = 15 este divizibil cu 3.

Funcția corespunzătoare caracteristicilor:

A=\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}{\sum _{{i=0}}^{n}a_{i}},&A\geqslant 10,\\A-3,&3\leqslant A<10. \end{cazuri}}

Această funcție, pe lângă semnul divizibilității, stabilește și semnul echirezistenței. De exemplu, numerele sunt 154 și sunt echidistante atunci când sunt împărțite la 3. $1+5+4=10$ $1+0=1$

Testul de divizibilitate cu 4

Un număr este divizibil cu 4 când ultimele două cifre sunt zero sau sunt divizibile cu 4. De exemplu, 14676 este ultimele cifre ale lui 76, iar numărul 76 este divizibil cu 4: 76:4=19. Un număr din două cifre este divizibil cu 4 dacă și numai dacă de două ori cifra de la locul zecilor, adăugată cifrei de la locul unilor, este divizibil cu 4. De exemplu, numărul 42 nu este divizibil cu 4 deoarece nu este divizibil cu 4. $2\cdot 4+2=10$

Funcția corespunzătoare caracteristicilor:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-4,&4\leqslant A<10.\end{cases}}

Această funcție, pe lângă semnul divizibilității, stabilește și semnul echirezistenței. De exemplu, numerele 87 și sunt echidistante atunci când sunt împărțite la 4. $8\cdot 2+7=23$ $2\cdot 2+3=7$

O formulare mai simplă: numărul este divizibil cu 4 dacă ultima cifră este 0, 4, 8, iar penultima cifră este pară; sau dacă ultima cifră este 2, 6 și penultima cifră este impară.

Semn de divizibilitate cu 5

Un număr este divizibil cu 5 dacă și numai dacă se termină cu 0 sau 5.

Funcția corespunzătoare caracteristicilor:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10,\\A-5,&5\leqslant A<10.\end{cases}}

Această funcție, pe lângă semnul divizibilității, stabilește și semnul echirezistenței.

Semn de divizibilitate cu 6

Un număr este divizibil cu 6 dacă și numai dacă este divizibil cu 2 și 3 (adică dacă este par și suma cifrelor sale este divizibil cu 3).

Un alt semn de divizibilitate: un număr este divizibil cu 6 dacă și numai dacă de patru ori numărul zecilor adăugat cifrei din locul celor este divizibil cu 6.

Funcția corespunzătoare caracteristicilor:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}4\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-6,&6\leqslant A<10.\end{cases}}

Această funcție, pe lângă semnul divizibilității, stabilește și semnul echirezistenței. De exemplu, numerele 73 și sunt echidistante atunci când sunt împărțite la 6. $7\cdot 4+3=31,$ $3\cdot 4+1=13$ $1\cdot 4+3=7$

Semn de divizibilitate cu 7

Caracteristica 1 :

un număr este divizibil cu 7 când de trei ori numărul zecilor adăugat cifrei unităților este divizibil cu 7. De exemplu, 154 este divizibil cu 7, deoarece 7 este divizibil cu 1001 este divizibil cu 7, deoarece 7 este divizibil cu 7. $15\cdot 3+4=49.$ $100\cdot 3+1=301,\quad 30\cdot 3+1=91,\quad 9\cdot 3+1=28,\quad 2\cdot 3+8=14,\quad 1\cdot 3+4=7.$

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{cases}}

Această funcție, pe lângă semnul divizibilității, stabilește și semnul echirezistenței. De exemplu, numerele 87 și sunt echidistante atunci când sunt împărțite la 7. $8\cdot 3+7=31,$ $3\cdot 3+1=10$ $1\cdot 3+0=3$

Modificari caracteristica 1 :

a) se ia prima cifră din stânga, înmulțită cu 3, se adaugă următoarea și totul se repetă de la început: de exemplu, pentru 154 :. De asemenea, la fiecare pas, puteți lua restul împărțirii cu 7: rest 1, rest 0. În ambele cazuri, numărul final este egal cu restul atunci când este împărțit la 7 cu numărul inițial. $1\cdot 3+5=8,\quad 8\cdot 3+4=28$ $1\cdot 3+5=8$ $1\cdot 3+4=7$

b) dacă se scade de două ori numărul de unități ale numărului din numărul de zeci rămas și rezultatul este divizibil cu 7, atunci numărul este un multiplu al lui 7. De exemplu: 784 este divizibil cu 7, deoarece 78 − (2 × 4) = 78 − 8 = 70 ( ). $a_{1}-2\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}-6\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}-6\,a_{0}+7\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}+a_{0}=0{\bmod {7))$

Caracteristica 2 :

un număr este divizibil cu 7 dacă și numai dacă modulul sumei algebrice a numerelor care formează grupuri impare de trei cifre (începând cu unu), luat cu semnul „+” și chiar cu semnul „-” este divizibil cu 7. De exemplu, 138 689 257 este divizibil cu 7 deoarece 7 este divizibil cu $|138-689+257|=294.$

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=\sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\left|\sum _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,&A\ geqslant 1000,\\A-7,&7\leqslant A<1000.\end{cases}}

Semnul 3 :

dacă diferența dintre numărul format din ultimele trei cifre ale unui anumit număr și numărul format din cifrele rămase ale unui anumit număr (adică fără ultimele trei cifre) este divizibil cu 7, atunci acest număr este divizibil cu 7 . Exemplu pentru numărul 1730736: 1730 − 736 = 994, 994 / 7 = 142.

Semn de divizibilitate cu 8

Un număr este divizibil cu 8 când ultimele trei cifre sunt un număr care este divizibil cu 8. Un număr din trei cifre este divizibil cu 8 dacă și numai dacă cifra este în locul celor, plus cifra dublă în locul zecilor și cvadruplu cifra din locul sutelor, este divizibil cu 8. De exemplu, 952 este divizibil cu 8 deoarece 8 este divizibil cu $9\cdot 4+5\cdot 2+2=48.$

Funcția corespunzătoare caracteristicilor:

A=1000\,a_{3}+100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{ 1}<10,\quad 0\leqslant a_{2}<10,\quad a_{3}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}4\,a_{2}+2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-8,&8\leqslant A<10. \end{cazuri}}

Această funcție, pe lângă semnul divizibilității, stabilește și semnul echirezistenței. De exemplu, numerele 567 și sunt echidistante atunci când sunt împărțite la 8. $5\cdot 4+6\cdot 2+7=39,$ $3\cdot 2+9=15$ $1\cdot 2+5=7$

Semn de divizibilitate cu 9

Un număr este divizibil cu 9 atunci când suma cifrelor sale este divizibil cu 9. De exemplu, suma cifrelor lui 12345678 este divizibil cu 9, deci numărul în sine este, de asemenea, divizibil cu 9. $1+2+3+4+5+6+7+8=36.$

Funcția corespunzătoare caracteristicilor:

A=\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 10,\\0,&A=9.\end{cases}}

Această funcție, pe lângă semnul divizibilității, stabilește și semnul echirezistenței. De exemplu, numerele 345 și sunt echidistante atunci când sunt împărțite la 9. $3+4+5=12$ $1+2=3$

Semn de divizibilitate cu 10

Un număr este divizibil cu 10 dacă și numai dacă se termină cu zero .

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=a_{0},\quad A\geqslant 10.

Această funcție, pe lângă semnul divizibilității, stabilește și semnul echirezistenței.

Semne de divizibilitate cu 11

Caracteristica 1: Un număr este divizibil cu 11 dacă și numai dacă modulul diferenței dintre suma cifrelor din pozițiile impare și suma cifrelor din pozițiile pare este divizibil cu 11. De exemplu, 9.163.627 este divizibil cu 11 deoarece este divizibil cu 11. Un alt exemplu este 99077 este divizibil cu 11 deoarece este divizibil cu 11. $\left|(9+6+6+7)-(1+3+2)\right|=22$ $\left|(9+0+7)-(9+7)\right|=0$

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i}\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \ ,n,

F(A)=\left|\sum _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,\quad A\geqslant 11.

Semnul 2: un număr este divizibil cu 11 dacă și numai dacă suma numerelor care formează grupuri de două cifre (începând cu unități) este divizibilă cu 11. De exemplu, 103785 este divizibil cu 11 deoarece 11 este divizibil cu și $10+37+85=132$ $01+32=33.$

Funcția corespunzătoare caracteristicilor:

A=\sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\A-11,&11\leqslant A<100.\end {cazuri}}

Această funcție, pe lângă semnul divizibilității, stabilește și semnul echirezistenței. De exemplu, numerele 123456 și sunt echidistante atunci când sunt împărțite la 11. $12+34+56=102$ $1+2=3$

Semn de divizibilitate cu 13

Semnul 1 : Numărul este divizibil cu 13 atunci când suma numărului de zeci cu o cifră cvadruplă în locul unităților este divizibil cu 13. De exemplu, 845 este divizibil cu 13, deoarece 13 este divizibil cu și $84+5\cdot 4=104$ $10+4\cdot 4=26.$

Semnul 2 : Numărul este divizibil cu 13 când diferența dintre numărul de zeci cu un număr de nouă ori în locul unităților este împărțită la 13. De exemplu, 845 este divizibil cu 13, deoarece 13 este divizibil cu $84-9\cdot 5=39.$

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+4\,a_{0},&A\geqslant 40,\\A-13,&13\leqslant A<40.\end{cases}}

Caracteristica 3 : Un număr este divizibil cu 13 dacă diferența dintre numărul format din ultimele trei cifre ale acestui număr și numărul format din cifrele rămase ale acestui număr (adică fără ultimele trei cifre) este divizibil cu 13. De exemplu, 192218 este divizibil cu 13, așa cum 218-192=26 și 26 este divizibil cu 13.

Semn de divizibilitate cu 17

Numărul este divizibil cu 17 în următoarele cazuri:

- când modulul diferenței dintre numărul de zeci și cifra înmulțită cu 5 în locul unităților este împărțit la 17. De exemplu, 221 este divizibil cu 17, deoarece este divizibil cu 17. $\left|22-5\cdot 1\right|=17$

- când modulul sumei numărului de zeci și cifra înmulțită cu 12 în cifra unităților este divizibil cu 17. De exemplu, 221 este divizibil cu 17, deoarece este divizibil cu 17. $\left|22+12\cdot 1\right|=34$

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-5\,a_{0}\right|,&A\geqslant 40,\\A-17,&17\leqslant A<40.\end {cazuri}}

Semn de divizibilitate cu 19

Un număr este divizibil cu 19 dacă și numai dacă numărul de zeci adăugat la cifra dublă din locul celor este divizibil cu 19. De exemplu, 646 este divizibil cu 19, deoarece 19 este divizibil cu și $64+2\cdot 6=76$ $7+2\cdot 6=19.$

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+2\,a_{0},&A\geqslant 20,\\0,&A=19.\end{cases}}

Semn de divizibilitate cu 20

Un număr este divizibil cu 20 dacă și numai dacă numărul format din ultimele două cifre este divizibil cu 20.

O altă formulare: un număr este divizibil cu 20 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este 0, iar penultima cifră este pară.

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-20,&20\leqslant A<100.\end{cases}}

Această funcție, pe lângă semnul divizibilității, stabilește și semnul echirezistenței.

Teste de divizibilitate cu 23

Caracteristica 1 : Un număr este divizibil cu 23 dacă și numai dacă numărul de sute adăugat pentru a tripla numărul format din ultimele două cifre este divizibil cu 23. De exemplu, 28842 este divizibil cu 23, deoarece 23 este divizibil cu și $288+3\cdot 42=414$ $4+3\cdot 14=46.$

Caracteristica 2 : Un număr este divizibil cu 23 dacă și numai dacă numărul de zeci adăugate cifrei din locul unităților înmulțit cu 7 este divizibil cu 23. De exemplu, 391 este divizibil cu 23, deoarece este divizibil cu 23. $39+7\cdot 1=46$

Semnul 3 : Un număr este divizibil cu 23 dacă și numai dacă numărul sutelor, adăugat cu cifra din locul zecilor înmulțită cu 7 și cifra din locul unităților triplată, este divizibil cu 23. De exemplu, 391 este divizibil cu 23, deoarece este divizibil cu 23. $3+7\cdot 9+3\cdot 1=69$

Semn de divizibilitate cu 25

Un număr este divizibil cu 25 dacă și numai dacă ultimele sale două cifre sunt un număr care este divizibil cu 25. Cu alte cuvinte, numerele care se termină cu 00, 25, 50 sau 75 sunt divizibile cu 25.

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-25,&25\leqslant A<100.\end{cases}}

Această funcție, pe lângă semnul divizibilității, stabilește și semnul echirezistenței.

Semn de divizibilitate cu 27

Un număr este divizibil cu 27 dacă și numai dacă suma numerelor care formează grupuri de trei cifre (începând cu unu) este divizibil cu 27.

Funcția corespunzătoare caracteristicilor:

A=\sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-27,&27\leqslant A<1000.\end {cazuri}}

Această funcție, pe lângă semnul divizibilității, stabilește și semnul echirezistenței.

Semn de divizibilitate cu 29

Un număr este divizibil cu 29 dacă și numai dacă numărul zecilor adăugat la triplul locului celor este divizibil cu 29. De exemplu, 261 este divizibil cu 29 deoarece este divizibil cu 29. $26+3\cdot 1=29$

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+3\,a_{0},&A\geqslant 30,\\0,&A=29.\end{cases}}

Semn de divizibilitate cu 30

Un număr este divizibil cu 30 dacă și numai dacă se termină cu 0 și suma tuturor cifrelor este divizibil cu 3. De exemplu: 510 este divizibil cu 30, dar 678 nu este.

Semn de divizibilitate cu 31

Un număr este divizibil cu 31 dacă și numai dacă modulul diferenței dintre numărul zecilor și tripla cifră din locul celor este divizibil cu 31. De exemplu, 217 este divizibil cu 31 deoarece este divizibil cu 31. $\left|21-3\cdot 7\right|=0$

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=\left|a_{1}-3\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 31.

Semn de divizibilitate cu 37

Semnul 1: numărul este divizibil cu 37 dacă și numai dacă, la împărțirea numărului în grupuri de trei cifre (începând de la unități), suma acestor grupuri este un multiplu de 37.

Funcția corespunzătoare caracteristicilor:

A=\sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-37,&37\leqslant A<1000.\end {cazuri}}

Această funcție, pe lângă semnul divizibilității, stabilește și semnul echirezistenței.

Caracteristica 2: Un număr este divizibil cu 37 dacă și numai dacă modulul triplului numărului de sute, adăugat la cifra cvadruplă de la locul zecilor, este divizibil cu 37, minus cifra de la locul unilor, înmulțit cu șapte. De exemplu, numărul 481 este divizibil cu 37 deoarece 37 este divizibil cu $\left|3\cdot 4+4\cdot 8-7\right|=37.$

Funcția corespunzătoare caracteristicilor:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)=\left|3\,a_{2}+4\,a_{1}-7\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 37.

Semnul 3: Un număr este divizibil cu 37 dacă și numai dacă modulul sumei numărului de sute cu cifra din locul celor înmulțit cu zece minus cifra din locul zecilor înmulțit cu 11 este divizibil cu 37. De exemplu , numărul 481 este divizibil cu 37, deci cum se împarte la 37 $\left|4-11\cdot 8+10\cdot 1\right|=74.$

Funcția corespunzătoare caracteristicilor:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}\left|a_{2}-11\,a_{1}+10\,a_{0}\right|,&A\geqslant 100,\\A-37,&37 \leqslant A<100.\end{cases}}

Semn de divizibilitate cu 41

Semnul 1 : un număr este divizibil cu 41 dacă și numai dacă modulul diferenței dintre numărul de zeci și cifra de patru ori din locul unităților este divizibil cu 41. De exemplu, 369 este divizibil cu 41, deoarece este divizibil cu 41. $\left|36-4\cdot 9\right|=0$

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=\left|a_{1}-4\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 41.

Semnul 2 : pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 41, acesta trebuie împărțit de la dreapta la stânga în fețe a câte 5 cifre fiecare. Apoi, în fiecare față, înmulțiți primul număr din dreapta cu 1, înmulțiți al doilea număr cu 10, al treilea cu 18, al patrulea cu 16, al cincilea cu 37 și adăugați toate produsele rezultate. Dacă rezultatul este divizibil cu 41, atunci și numai atunci numărul însuși va fi divizibil cu 41.

Există și alte criterii (mai convenabile) pentru divizibilitatea cu 41, vezi 41 (număr) .

Semn de divizibilitate cu 50

Un număr este divizibil cu 50 dacă și numai dacă numărul format din cele două cifre zecimale cele mai puțin semnificative ale sale este divizibil cu 50.

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-50,&50\leqslant A<100.\end{cases}}

Această funcție, pe lângă semnul divizibilității, stabilește și semnul echirezistenței.

Semn de divizibilitate cu 59

Un număr este divizibil cu 59 dacă și numai dacă numărul zecilor adăugat cifrei unilor înmulțit cu 6 este divizibil cu 59. De exemplu, 767 este divizibil cu 59, deoarece 59 împarte și $76+6\cdot 7=118$ $11+6\cdot 8=59.$

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+6\,a_{0},&A\geqslant 60,\\0,&A=59.\end{cases}}

Semn de divizibilitate cu 79

Un număr este divizibil cu 79 dacă și numai dacă numărul de zeci adăugate cifrei unităților înmulțit cu 8 este divizibil cu 79. De exemplu, 711 este divizibil cu 79, deoarece 79 este divizibil cu 79 . $71+8\cdot 1=79$

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+8\,a_{0},&A\geqslant 80,\\0,&A=79.\end{cases}}

Semn de divizibilitate cu 99

Un număr este divizibil cu 99 dacă și numai dacă suma numerelor care formează grupuri de două cifre (începând cu unități) este divizibilă cu 99. De exemplu, 12573 este divizibil cu 99 deoarece 99 este divizibil cu $1+25+73=99.$

Funcția corespunzătoare caracteristicilor:

A=\sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\0,&A=99.\end{cases}}

Această funcție, pe lângă semnul divizibilității, stabilește și semnul echirezistenței. De exemplu, numerele 123456 și sunt echidistante atunci când sunt împărțite la 99. $12+34+56=102$ $1+2=3$

Semn de divizibilitate cu 101

Un număr este divizibil cu 101 dacă și numai dacă modulul sumei algebrice de numere care formează grupuri impare de două cifre (începând cu unu), luate cu semnul „+”, și cele par cu semnul „-” este divizibil. cu 101. De exemplu, 590547 este divizibil cu 101, deoarece este divizibil cu 101 $\left|59-5+47\right|=101.$

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=\sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)=\left|\sum _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,\quad A\geqslant 101.

Test de divizibilitate pentru 1091

Un număr este divizibil cu 1091 dacă și numai dacă diferența dintre numărul de zeci și cifra unității ori 109 este divizibil cu 1091. De exemplu, 18547 este divizibil cu 1091 deoarece 1854 - 7 * 109 = 1091 este divizibil cu 1091.

Semne generale de divizibilitate

Semn de divizibilitate cu un divizor al gradului bazei sistemului numeric

Dacă pentru unele numere naturale și numărul este divizibil cu un număr natural, atunci orice număr întreg scris în sistemul numeric de bază este echidistant cu numărul format din cifrele sale inferioare. Această proprietate vă permite să construiți un semn de divizibilitate și echirezistență la divizorul gradului bazei sistemului numeric. $t$ $n$ $t^{n}$ $m,$ $A,$ $t,$ $n$

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=t^{n}a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<t^{n},\quad a_{1}\geqslant 0,\quad t^{n} \,\vdots \,m,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant t^{n},\\Am,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}

De exemplu, în sistemul numeric zecimal, acest lucru vă permite să construiți semne de divizibilitate cu 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 etc.

Semn de divizibilitate de către un divizor $t^{n}-1$

Dacă pentru unele numere naturale și numărul este divizibil cu un număr natural, atunci orice număr întreg scris în sistemul de bază este divizibil în mod egal cu suma numerelor formată prin împărțirea în grupuri de cifre, începând cu cea mai mică. Această proprietate face posibilă construirea unui test de divizibilitate prin $t$ $n$ $t^{n}-1$ $m,$ $A,$ $t,$ $n$ $m.$

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=\sum _{{i=0}}^{n}t^{{in}}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<t^{n},\quad \quad \left (t^{n}-1\dreapta)\,\vdots \,m,

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant t^{n},\\Am,&m\leqslant A<t^ {n}.\end{cazuri}}

De exemplu, în sistemul numeric zecimal, acest lucru vă permite să construiți semne de divizibilitate cu 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 etc.

Semn de divizibilitate de către un divizor $t^{n}+1$

Dacă pentru unele numere naturale și numărul este divizibil cu un număr natural, atunci orice număr întreg scris în sistemul numeric de bază este echidivizibil cu modulul sumei alternante de numere formate prin împărțirea în grupuri de cifre, începând cu cea mai mică. Această proprietate face posibilă construirea unui test de divizibilitate prin $t$ $n$ $t^{n}+1$ $m,$ $A,$ $t,$ $n$ $m.$

Funcția corespunzătoare acestei caracteristici este:

A=\sum _{{i=0}}^{n}t^{{in}}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<t^{n},\quad \quad \left (t^{n}+1\dreapta)\,\vdots \,m,

F(A)={\begin{cases}\left|\sum _{{i=0}}^{n}(-1)^{i}a_{i}\right|,&A\geqslant t^{ n},\\Am,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}

De exemplu, în sistemul numeric zecimal, acest lucru vă permite să construiți semne de divizibilitate cu 7, 11, 13, 73, 77, 91, 101, 137, 143, 1001, 10001 etc.

Împărțire lungă

Timpul de rulare al unui algoritm care verifică divizibilitatea unui număr cu un alt număr prin împărțirea „într-o coloană” este . Astfel, în multe cazuri, așa-numitele „criterii de divizibilitate” nu dau un câștig notabil în numărul de operații elementare efectuate. O excepție o constituie criteriile de divizibilitate după numere din formularul , al cărui timp de rulare nu depinde de mărimea numărului verificat. $n$ $O(\log n)$ $2^{a}5^{b)$

Semne de divizibilitate în alte sisteme numerice

Semnele de divizibilitate din alte sisteme numerice sunt similare cu cele din zecimală. În special, în orice sistem de numere (numerele sunt scrise în sistemul în care lucrăm în acest moment):

un număr este divizibil cu 10 n dacă se termină în n zerouri.

Dacă baza sistemului de numere este 1 modulo un număr k (adică restul împărțirii bazei la k este 1), atunci orice număr este divizibil cu k dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu k fără un rest. În special:

un număr este divizibil cu 10 − 1 dacă suma cifrelor sale este divizibil cu 10 − 1;
dacă baza sistemului numeric este impară, atunci numărul este divizibil cu 2 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 2.

Dacă baza sistemului numeric este egală cu k − 1 modulo un număr k , atunci orice număr este divizibil cu k dacă și numai dacă suma cifrelor care ocupă locuri impare este fie egală cu suma cifrelor care ocupă locuri pare, fie diferă de la ea cu un număr divizibil cu până la k fără rest. În special:

un număr este divizibil cu 11 dacă suma cifrelor care ocupă locuri impare este fie egală cu suma cifrelor care ocupă locuri pare, fie diferă de aceasta printr-un număr divizibil cu 11.

Dacă baza unui sistem numeric este divizibil cu un număr k , atunci orice număr este divizibil cu k dacă și numai dacă ultima sa cifră este divizibilă cu k . În special:

dacă baza sistemului numeric este pară, atunci numărul este divizibil cu 2 dacă ultima sa cifră este divizibil cu 2.

Vezi și

Testul lui Pascal este un test de divizibilitate universal care permite oricăror numere întregi a și b să determine dacă a este divizibil cu b . Mai precis, vă permite să obțineți aproape toate caracteristicile de mai sus.

Literatură

Vorobyov N. N. Semne de divizibilitate . - a 4-a ed. - M. : Nauka, 1988. - T. 39. - 94 p. - ( Prelegeri populare despre matematică ). — ISBN 5-02-013731-6 .

Note

↑ În termeni practici, „relativ rapid” înseamnă „mai rapid decât s-ar putea face împărțirea reală” prin aceleași mijloace. Mai mult, eficacitatea acestui algoritm depinde în mare măsură de forma de reprezentare a numerelor și de capacitățile de calcul disponibile.
↑ Vorobyov N. N. Semne de divizibilitate. - Ed. a IV-a, Rev. - M . : Nauka, 1988. - P. 42. - ( Prelegeri populare de matematică ). — ISBN 5-02-013731-6 .