Principiul Pauli

Principiul de excludere Pauli ( principiul de excludere Pauli sau pur și simplu principiul de excludere ) este un principiu mecanic cuantic care afirmă că doi sau mai mulți fermioni identici (particule cu spin semiîntreg ) nu pot fi simultan în aceeași stare cuantică într-un sistem cuantic . Acest principiu a fost formulat de fizicianul austriac Wolfgang Pauli în 1925 pentru electroni și apoi extins la toți fermionii în teorema sa de statistică spin în 1940 [1] .

Pentru cazul electronilor din atomi, se poate formula astfel: este imposibil ca doi electroni ai unui atom multielectron sa aiba aceleasi valori ale celor patru numere cuantice n , ( numar cuantic principal ), l (orbital ). numărul cuantic) , m (numărul cuantic magnetic) și m s . ( numărul cuantic al proiecției de spin ). De exemplu, dacă doi electroni sunt în același orbital , atunci valorile lor pentru triplul numerelor cuantice n, l, m sunt aceleași, deci valorile lui m s trebuie să difere și, prin urmare, electronii trebuie să aibă opus proiecțiile spin 1/2 și −1/ 2 (în unități de h).

Particulele cu spin întreg sau bosonii nu sunt supuse principiului excluderii Pauli: orice număr de bozoni identici pot ocupa aceeași stare cuantică, așa cum este cazul, de exemplu, cu fotonii radiației laser sau atomii dintr -un condensat Bose-Einstein .

O afirmație mai riguroasă se referă la schimbul a două particule identice: funcția de undă totală (multe particule) este antisimetrică pentru fermioni și simetrică pentru bosoni. Aceasta înseamnă că dacă coordonatele spațiale și de spin ale două particule identice (identice) sunt interschimbate , atunci funcția de undă totală își schimbă semnul pentru fermioni și nu își schimbă semnul pentru bozoni.

Dacă doi fermioni ar fi în aceeași stare (de exemplu, în același orbital al unui atom cu același spin), rearanjarea lor nu s-ar schimba nimic, iar funcția de undă totală nu s-ar modifica. Singura posibilitate ca funcția de undă totală să schimbe semnul, așa cum este necesar pentru fermioni, și să rămână neschimbată, este dacă este egală cu zero în întregul domeniu de definiție, ceea ce înseamnă că nu există o astfel de stare. Acest raționament nu se aplică bosonilor, deoarece semnul funcției totale de undă nu se modifică.

Principiul Pauli poate fi formulat astfel: în cadrul unui sistem cuantic, doar un fermion poate fi într-o stare cuantică dată, iar starea altuia trebuie să difere cu cel puțin un număr cuantic . În fizica statistică, principiul Pauli este uneori formulat în termeni de numere de ocupație : într-un sistem de particule identice descrise printr-o funcție de undă antisimetrică, numerele de ocupație pot lua doar două valori . Nu există un analog clasic al principiului Pauli [2] . $N_{p}=0,1$

Prezentare generală

Principiul de excludere Pauli descrie comportamentul tuturor fermionilor (particulele cu „ spin pe jumătate întreg ”), în timp ce bosonii (particulele cu „spin întreg”) se supun unor principii diferite. Fermionii includ particule elementare precum quarcii , electronii și neutrinii . În plus, barionii, particulele subatomice compuse din trei quarci, cum ar fi protoni și neutroni și unii atomi (de exemplu , heliu-3 ) sunt fermioni și, prin urmare, sunt supuși principiului excluderii. Atomii pot avea „spinuri” totale diferite care determină dacă sunt fermioni sau bozoni - de exemplu, heliul-3 are un spin de 1/2 și, prin urmare, este un fermion, spre deosebire de heliu-4, care are un spin de 0 și este un boson . [3] :123–125 Astfel, principiul excluderii Pauli stă la baza multor proprietăți ale materiei cotidiene, de la stabilitatea sa pe scară largă până la comportamentul chimic al atomilor .

„Spin pe jumătate întreg” înseamnă că valoarea momentului unghiular intrinsec al fermionilor este (constantea lui Planck redusă ) înmulțită cu un număr semiîntreg (1/2, 3/2, 5/2 etc.). În mecanica cuantică , fermionii sunt descriși prin stări antisimetrice . În contrast, particulele cu spin întreg au funcții de undă simetrice; spre deosebire de fermioni, ei pot avea aceleași numere cuantice. Bosonii includ fotonul , perechile Cooper responsabile de supraconductivitate și bosonii W și Z. (Fermionii își iau numele de la distribuția statistică Fermi-Dirac pe care o respectă, în timp ce bosonii își iau numele de la distribuția Bose-Einstein .) $\hbar=h/2\pi$

Istorie

La începutul secolului al XX-lea, a devenit evident că atomii și moleculele cu un număr par de electroni erau mai stabile din punct de vedere chimic decât cele cu un număr impar de electroni. În lucrarea lui Gilbert N. Lewis din 1916 „Atomul și molecula”, de exemplu, al treilea dintre cele șase postulate ale sale privind comportamentul chimic afirmă că atomul tinde să dețină un număr par de electroni în orice înveliș dat și, mai ales, să dețină opt electroni, despre care se crede că sunt aranjați de obicei simetric la cele opt colțuri ale cubului. [4] În 1919, chimistul Irving Langmuir a sugerat că legea periodică ar putea fi explicată dacă electronii dintr-un atom sunt conectați sau grupați într-un fel. Se credea că grupurile de electroni ocupă un set de învelișuri de electroni în jurul nucleului. [5] În 1922 , Niels Bohr și-a dezvoltat modelul atomului presupunând că un anumit număr de electroni (de exemplu 2, 8 și 18) corespundea unor „cochilii închise” stabile. [6] :203

Pauli a căutat o explicație pentru aceste numere, care au fost la început pur empirice . În același timp, el a încercat să explice rezultatele experimentale ale efectului Zeeman în spectroscopie atomică și în feromagnetism . El a găsit un indiciu important într-o lucrare din 1924 a lui Edmund Stoner , care a indicat că pentru o valoare dată a numărului cuantic principal ( n ), numărul de niveluri de energie ale unui singur electron în spectrele unui metal alcalin într-un câmp magnetic extern. , în care toate nivelurile de energie degenerată sunt separate, este egal cu numărul de electroni din învelișul închis al gazelor nobile pentru aceeași valoare a lui n . Acest lucru l-a determinat pe Pauli să realizeze că numărul complex de electroni din învelișuri închise poate fi redus la o regulă simplă pentru un electron per stare dacă stările electronice sunt definite folosind patru numere cuantice. În acest scop, el a introdus un nou număr cuantic de două cifre, identificat de Samuel Goudsmit și George Uhlenbeck drept spinul electronului . [7] [8]

Relația cu simetria stării cuantice

Principiul de excludere Pauli cu o funcție de undă cu mai multe particule cu o singură valoare este echivalent cu cerința ca funcția de undă să fie antisimetrică în ceea ce privește schimbul de particule . Dacă și treceți prin vectorii de bază ai spațiului Hilbert care descriu un sistem cu o singură particule, atunci produsul lor tensor dă vectorii de bază ai spațiului Hilbert care descriu un sistem de două astfel de particule. Orice stare de două particule poate fi reprezentată ca o suprapunere (adică, suma) a acestor vectori de bază: $|x\rangle$ $|y\rangle$ $|x,y\rangle =|x\rangle \otimes |y\rangle$

|\psi \rangle =\sum _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle ,

unde fiecare factor complex A ( x , y ) este un coeficient scalar. Antisimetria în schimbul de particule înseamnă că A ( x , y ) = − A ( y , x ) . Rezultă că A ( x , y ) = 0 când x = y , ceea ce denotă formularea matematică a principiului excluderii Pauli. Acest lucru este valabil pentru orice bază, deoarece modificările locale ale bazei mențin matricele antisimetrice antisimetrice.

În schimb, dacă mărimile diagonale A ( x , x ) sunt zero în fiecare bază , atunci componenta funcției de undă

A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |{\Big (}|x\rangle \otimes |y\rangle {\Big ))

este neapărat antisimetric. Pentru a demonstra acest lucru, luați în considerare elementul matricei

\langle \psi |{\Big (}(|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ){\Big )}.

Pe de o parte, această expresie este egală cu zero, deoarece două particule au probabilitate zero de a fi într-o stare de suprapunere. . Dar este și la fel $|x\rangle +|y\rangle$

\langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle .

Primul și ultimul termen sunt elemente diagonale și sunt egale cu zero, iar întreaga sumă este egală cu zero. Astfel, elementele matricei funcțiilor de undă se supun:

\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0,

A(x,y)=-A(y,x).

Pentru un sistem cu n > 2 particule, stările de bază cu mai multe particule devin produse tensorale de n ori ale stărilor de bază ale unei particule, iar coeficienții funcției de undă sunt dați de n stări ale unei particule. Condiția de antisimetrie spune că coeficienții trebuie să își schimbe semnul ori de câte ori se schimbă oricare două stări: pentru orice pereche . Principiul excluderii este o consecință a faptului că dacă pentru oricare , înseamnă că niciuna dintre cele n particule nu poate fi în aceeași stare cuantică. $A(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ $A(\ldots,x_{i},\ldots,x_{j},\ldots)=-A(\ldots,x_{j},\ldots,x_{i},\ldots)$ $eu \ne j$ $x_{i}=x_{j)$ $i\neq j,$ $A(\ldots,x_{i},\ldots,x_{j},\ldots)=0.$

Teoria cuantică avansată

Conform teoremei statisticii de spin , stările cuantice ale particulelor cu spin întreg sunt descrise prin funcții de undă simetrice, iar stările cuantice ale particulelor cu spin semiîntreg sunt descrise prin funcții de undă antisimetrice. Mai mult decât atât, principiile mecanicii cuantice permit existența doar a valorilor întregi și semiîntregi ale spinului (în spațiul tridimensional). În teoria cuantică relativistă a câmpului, principiul Pauli decurge din aplicarea operatorului de rotație în timp imaginar la particule cu spin semiîntreg.

Într-o dimensiune, bosonii, ca și fermionii, respectă principiul excluderii. Un gaz Bose unidimensional cu funcții delta repulsive infinite este echivalent cu un gaz de fermioni liberi. Motivul pentru aceasta este că într-o dimensiune schimbul de particule impune ca acestea să treacă una prin alta; cu o repulsie infinit de puternică, acest lucru nu se poate întâmpla. Un astfel de model este descris de ecuația Schrödinger cuantică neliniară . În spațiul de impuls, principiul excluderii Pauli este valabil și pentru repulsia finită într-un gaz Bose cu interacțiuni delta-funcționale [9] , precum și pentru spini care interacționează , modelul Hubbard unidimensional și, de asemenea, pentru alte modele care pot fi rezolvate. folosind Bethe ansatz . Starea fundamentală în modelele rezolvabile prin Bethe ansatz este reprezentată de sfera Fermi .

Aplicații

Atomi

Principiul excluderii Pauli ajută la explicarea unei game largi de fenomene fizice. Una dintre cele mai importante consecințe ale acestui principiu este structura complexă a învelișului de electroni a atomilor și modul în care electronii sunt schimbati între atomi, ceea ce explică diversitatea elementelor chimice și a compușilor lor chimici. Într -un atom neutru din punct de vedere electric , numărul de electroni legați este egal cu numărul de protoni din nucleu . Electronii, fiind fermioni, nu pot fi în aceeași stare cuantică ca alți electroni, așa că electronii trebuie să aibă spini diferiți atunci când se află în același orbital de electroni, așa cum este descris mai jos.

Un exemplu este atomul neutru de heliu , care are doi electroni legați, fiecare dintre care poate ocupa cele mai scăzute stări de energie ( 1s ), dobândind astfel spini opuși. Deoarece spinul face parte din starea cuantică a electronului, cei doi electroni sunt în stări cuantice diferite și nu încalcă principiul Pauli. Cu toate acestea, o rotire poate lua doar două valori diferite (valori proprii ). Într -un atom de litiu cu trei electroni legați, al treilea electron nu poate fi în starea 1s și trebuie să ocupe, în schimb, una dintre stările de energie superioară 2s. La fel, elementele din ce în ce mai grele ar trebui să aibă învelișuri de energie mai mare. Proprietățile chimice ale unui element depind în mare măsură de numărul de electroni din învelișul exterior. Atomii cu un număr diferit de învelișuri de electroni ocupate, dar cu același număr de electroni în învelișul exterior, au proprietăți similare, ceea ce stă la baza proprietăților elementelor chimice [10] :214–218 .

Pentru a testa principiul de excludere Pauli pentru atomul He, Gordon Drake [11] a calculat foarte precis energiile stărilor ipotetice ale atomului He care îl încalcă, așa-numitele stări paron (stări parafermion) . Mai târziu K. Deilamian et al. [12] a folosit un spectrometru cu fascicul atomic pentru a căuta starea de vapori 1s2s 1 S 0 calculată de Drake. Căutarea s-a dovedit a fi nereușită și a arătat că ponderea statistică a acestei stări paron are o limită superioară de 5x10 −6 . (Principiul excluderii implică greutate zero.)

Proprietățile unui corp rigid

În conductori și semiconductori, există un număr foarte mare de orbitali moleculari care formează efectiv o structură de bandă continuă a nivelurilor de energie . În conductori ( metale ), gazul de electroni este atât de degenerat încât nici măcar nu poate contribui mult la capacitatea de căldură a metalului la temperaturi ridicate. [13] :133–147 Multe proprietăți mecanice, electrice, magnetice, optice și chimice ale solidelor sunt o consecință directă a excluderii lui Pauli.

Stabilitatea materiei

Stabilitatea fiecărei stări electronice dintr-un atom este descrisă de teoria cuantică a atomului, care arată că apropierea unui electron de nucleu crește în mod necesar energia cinetică a electronului, în conformitate cu principiul incertitudinii Heisenberg . [14] Cu toate acestea, stabilitatea sistemelor mari cu mulți electroni și mulți nucleoni este o altă problemă care necesită aplicarea principiului de excludere Pauli.

S-a demonstrat că principiul excluderii Pauli este responsabil și pentru faptul că materia obișnuită este stabilă și ocupă volum. Această presupunere a fost făcută pentru prima dată în 1931 de Paul Ehrenfest , care a subliniat că electronii unui atom nu pot cădea toți în orbital cu cea mai mică energie și trebuie să ocupe învelișuri din ce în ce mai îndepărtate de nucleu (orbitali cu numere cuantice principale mari). Prin urmare, atomii ocupă un volum și nu pot fi comprimați prea mult în condiții normale. [cincisprezece]

O dovadă mai riguroasă a fost oferită în 1967 de Freeman Dyson și Andrew Lenard ( de ), care au luat în considerare echilibrul forțelor atractive (electron-nucleare) și repulsive (electron-electron și nuclear-nuclear) și au arătat că materia obișnuită se va prăbuși și va ocupa un volum mult mai mic.fără principiul Pauli. [16] [17]

Din principiul Pauli rezultă că electronii cu același spin sunt separați spațial printr-o interacțiune de schimb repulsiv , care este un efect de rază scurtă care acționează în combinație cu o forță electrostatică sau Coulomb cu rază lungă . Acest efect este parțial responsabil pentru observația de zi cu zi în lumea macroscopică, când două obiecte solide nu pot fi în același loc în același timp.

Astrofizică

Dyson și Lenard nu au luat în considerare forțele magnetice sau gravitaționale extreme care apar în unele obiecte astronomice . În 1995, Elliot Lieb și colegii săi au arătat că principiul Pauli încă conduce la stabilitatea materiei în câmpuri magnetice intense, cum ar fi stelele neutronice , deși la o densitate mult mai mare decât în materia obișnuită. [18] Din teoria generală a relativității rezultă că, sub câmpuri gravitaționale suficient de intense, materia se prăbușește, formând o gaură neagră .

Astronomia oferă exemple impresionante ale efectului principiului Pauli asupra materiei sub formă de pitice albe și stele neutronice . În ambele corpuri, structura atomică este ruptă de presiunea extremă, dar stelele sunt menținute în echilibru hidrostatic prin presiunea degenerativă , cunoscută și sub numele de presiune Fermi. Această formă exotică a materiei este cunoscută sub numele de materie degenerată . Forța gravitațională enormă a masei unei stele este de obicei menținută în echilibru prin presiunea termică cauzată de căldura eliberată prin fuziune în miezul stelei. La piticele albe, în care nu au loc reacții de fuziune nucleară, forța care se opune gravitației este furnizată de presiunea de degenerare a electronilor . În stelele neutronice , supuse unor forțe gravitaționale și mai puternice, electronii s-au contopit cu protonii pentru a forma neutroni. Neutronii sunt capabili să producă o presiune de degenerare și mai mare , presiunea de degenerare a neutronilor , deși într-un interval mai restrâns. Acest lucru stabilizează stelele cu neutroni de la colapsul ulterioar, dar la o dimensiune mai mică și o densitate mai mare decât la piticele albe. Stelele neutronice sunt cele mai „dure” obiecte cunoscute; modulul lor Young (mai precis, modulul în vrac ) este cu 20 de ordine de mărime mai mare decât cel al diamantului . Cu toate acestea, chiar și această rigiditate enormă poate fi depășită de câmpul gravitațional al unei stele neutronice a cărei masă depășește limita Tolman-Oppenheimer-Volkov , ducând la formarea unei găuri negre . [19] :286–287

Note

↑ V. Pauli Principiul prohibiției, grupul Lorentz, reflectarea spațiului, timpului și încărcăturii // Niels Bohr și dezvoltarea fizicii. - M., IL, 1958. - p. 46-74
↑ Fizica microlumii. - M., Enciclopedia Sovietică, 1980. - p. 304
↑ Kenneth S. Krane. Introducere în fizica nucleară. - Wiley, 5 noiembrie 1987. - ISBN 978-0-471-80553-3 .
↑ Linus Pauling și Natura legăturii chimice: O istorie documentară . Centrul de cercetare pentru colecții și arhive speciale - Universitatea de Stat din Oregon. Preluat la 19 martie 2021. Arhivat din original la 3 noiembrie 2013. (nedefinit)
↑ Langmuir, Irving (1919). „Dispunerea electronilor în atomi și molecule” (PDF) . Jurnalul Societății Americane de Chimie . 41 (6): 868-934. DOI : 10.1021/ja02227a002 . Arhivat din original (PDF) pe 2012-03-30 . Extras 2008-09-01 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ Shaviv, Glora. Viața stelelor: începutul controversat și apariția teoriei structurii stelare. - Springer, 2010. - ISBN 978-3642020872 .
↑ Straumann, Norbert (2004). „Rolul principiului de excludere pentru atomi la stele: o relatare istorică.” Discurs invitat la cel de-al 12-lea Atelier de Astrofizică Nucleară . arXiv : quant-ph/0403199 . Cod biblic : 2004quant.ph..3199S . Parametru necunoscut |ссылка=( ajutor )
↑ Pauli, W. (1925). „Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren”. Zeitschrift blana Physik . 31 (1): 765-783. Cod biblic : 1925ZPhy ...31..765P . DOI : 10.1007/BF02980631 .
↑ A. G. Izergin (iulie 1982). „Principiul Pauli pentru bosonii unidimensionali și algebricul bethe ansatz” (PDF) . Litere în fizică matematică . 6 (4): 283-288. Cod biblic : 1982LMaPh ...6..283I . DOI : 10.1007/BF00400323 . Arhivat (PDF) din original pe 25.11.2018 . Extras 2021-03-19 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (ed. a 2-a) , Prentice Hall, ISBN 0-13-111892-7
↑ Drake, GWF (1989). „Schimbări de energie estimate pentru heliu „paronic”” . Fiz. Rev. A. _ 39 (2): 897-899. Cod biblic : 1989PhRvA..39..897D . DOI : 10.1103/PhysRevA.39.897 . PMID 9901315 . Arhivat din original pe 03.03.2021 . Extras 2021-03-19 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ Deilamian, K. (1995). „Căutarea micilor încălcări ale postulatului de simetrie într-o stare excitată a heliului”. Fiz. Rev. Lett . 74 (24): 4787-4790. Cod biblic : 1995PhRvL..74.4787D . DOI : 10.1103/PhysRevLett.74.4787 . PMID 10058599 .
↑ Kittel, Charles (2005), Introduction to Solid State Physics (ed. a 8-a), SUA: John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-41526-8
↑ Lieb, Elliott H. (2002). „Stabilitatea materiei și electrodinamica cuantică”. arXiv : math-ph/0209034 . Cod biblic : 2002math.ph ...9034L . Parametru necunoscut |ссылка=( ajutor )
↑ După cum a descris F.J. Dyson (J.Math.Phys. 8 , 1538-1545 (1967)), Ehrenfest a făcut această sugestie în discursul său cu ocazia acordării medaliei Lorentz lui Pauli.
↑ FJ Dyson și A. Lenard : Stabilitatea materiei , părțile I și II
↑ Dyson, Freeman (1967). „Energia de stare fundamentală a unui sistem finit de particule încărcate” . J Math. Fiz . 8 (8): 1538-1545. Cod biblic : 1967JMP .....8.1538D . DOI : 10.1063/1.1705389 .
↑ Lieb, EH (1995). „Stabilitatea materiei în câmpuri magnetice”. Scrisori de revizuire fizică . 75 (6): 985-9. arXiv : cond-mat/9506047 . Cod biblic : 1995PhRvL..75..985L . DOI : 10.1103/PhysRevLett.75.985 . PMID 10060179 .
↑ Martin Bojowald. Universul: O vedere din gravitația clasică și cuantică. - ISBN 978-3-527-66769-7 .

Literatură

Pauli W. „Despre legătura dintre ocuparea grupurilor de electroni într-un atom și structura complexă a spectrelor” (Primit la 16 ianuarie 1925) în Wolfgang Pauli Proceedings of Quantum Theory: Quantum Theory. Principii generale ale mecanicii ondulatorii. Articolele 1920-1928.” M.: Nauka, 1975. p. 645-660
Pauli W. Uber den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen în Atom mit der Komplexstruktur der Spektren, Z. Phys., 1925, 31, 765-783.
Pauli V. Principii generale ale mecanicii ondulatorii. — M.-L. : GITTL, 1947.
Davydov A. S. Mecanica cuantică. - Nauka, 1973. - S. 334.